浅议初中数学教学中学生逆向思维能力的培养

胡均辉

由于所学知识的局限性，初中生在学习数学的过程中在某些地方存在着思维弱点。主要有：第一，思维呆板。主要体现在思维状态不活跃，思维领域狭小，不能从多个角度去思考问题，即不能做到举一反三。第二，思维逻辑性差。这体现在做题时推理能力弱。第三，思维独创性差。这主要表现在缺乏独立思考和分析问题的能力。在这些思维弱点的影响下，往往会形成单一的思维定式。

思维的可逆性，指的是心理过程中思维方向的改变，即从正向思维转向逆向思維。正向思维与逆向思维路径互为相反，但这种可逆联想思维往往产生科学发明。如，法拉第由电流的磁效应联想到磁也能生电，而发现了电磁感应定律；爱迪生运用逆向思维从电话中感觉到声音，而发明了留声机。这些无不体现出善于运用逆向思维的重要性。

逆向思维广泛存在于数学教学中，它是学习和研究数学问题的重要思维方法之一。如，互逆运算，互逆定理，公式和法则的逆向运用，综合法与分析法，反证法等。要使学生真正掌握初中数学知识，克服上述思维弱点，重视思维的可逆性培养和训练有着十分重要的作用。以下是我对如何培养学生的逆向思维所提出的几点想法。

一、打基础，注意开发学生逆向思维方面的智力

首先，要使学生产生逆向思维能力，在早期的数学教育中就应对其进行逆向思维的渗透与培养。在教学时由浅入深，学习了课本中大量的概念、定理、公式、法则后，利用其中知识，从反面或另一角度来进行分析，以增强学生对已学知识的理解，从而使逆向思维潜移默化地影响着学生的思考。比如，在讲有理数时，我们可以用如下一组具有逆向思维的题目来循序渐进地对学生进行初步培养：

a、b互为相反数？圳a+b=（ ）；a、b互为倒数？圳ab=（ ）

|a|=a？圳a是______数；|a|=-a？圳a是______数；

a>b？圳在数轴上表示a在b_______边；ab>0？圳a、b是_______号（填“同”还是“异”）；

ab=0？圳a、b中至少有一个为_______；a（b+c）=ab+ac？圳ab+ac=a（b+c）……

这样既能使学生更好地掌握有理数有关概念及性质，又对学生进行了互逆思维的渗透。

二、强训练，提高学生的思维能力

逆向思维能力的提高是需要以一定的思维经验和推理能力作基础的，只有通过不断的、长期的训练，才能逐步提高。

数学中有很多法则。比如，=×（a≥0，b≥0），=|a|，（ab）n=an×bn，=（a≥0，b>0），±=等，逆向运用可得×=（a≥0，b≥0），|a|=，an×bn=（ab）n，=（a≥0，b>0），=±等，初看起来平淡无奇，但在有些具体运算中可表现得十分活跃。

例1 计算82008×2007

分析：若按顺序先乘方后乘，显然这计算量很大且易做错，若运用an×bn=（ab）n则较易解。

解：82008×2007=8×82007×2007=8×8×2007=8×1=8

例2 计算：++++…+

分析：若按常规就是先通分再相加，显然运算量很大。观察本题，每个分数中的分母的两个因数之差刚好都是1，我们可有意识地引导学生把原有知识±=逆向运用，则可得=±，这就可把每个分数化为两个分数之差，如=1-。

解：原式=1-+-+-+-+…+-=1-=

在讲解数学中某些公式的正向运用时，还要研究这些公式的逆向运用。运用逆用公式，是培养和提高学生通过逆向思维解题能力的重要过程，虽然学生刚开始或许不适应由反向正的逆向解题方法，但是逆用公式可以增强学生对公式的理解程度，更能开发学生的智力，并对公式进行各种变形，从而产生不同形式的新公式，这将大大丰富它的内容，增强学生对公式思维的灵活性。如，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，反过来就是a2±2ab+b2=（a±b）2，这是多项式的因式分解。这里的a、b可以是单项式也可以是多项式，再进一步可得：a2+b2=（a±b）2？芎2ab，以及（a-b）2=（a+b）2-4ab等。

例3 已知：x+y=5，xy=2，求x2+y2和（x-y）2的值。

分析：本题若先利用x+y=5，xy=2，解出x、y，再代入式子求值，则解方程组较麻烦，但我们用公式a2+b2=（a+b）2-2ab和（a-b）2=（a+b）2-4ab显然问题就简单多了。

解：x2+y2=（x+y）2-2xy=52-2×2=21

（x-y）2=（x+y）2-4xy=52-4×2=17

例4 已知：x+=4，求x-的值。

分析：本例若先由x+=4解出x，再代入x-求出值，显然较烦琐。若利用恒等式（a-b）2=（a+b）2-4ab，可求得x-2的值，再逆用公式=|a|问题便可得解。

解：∵x-====2

∴x-=±2

通过逆向思维解题让学生能够更加理解各种公式及其变形，使学生在解题时，可以依据题目的结构特征、表示形式、数量关系等信息，及时调动有关公式及其变形来寻求解题路径。

三、重实践，培养学生思维的灵活性、独创性

初中生的数学逆向思维能力要靠高强度的训练，才能够有效地提高。在掌握了正确的逆向思维的基础上，通过大量的实践，才能使学生的逆向思维能力得到提高。

例5 已知△ABC中，AB=AC，D是线段AB延长线上一点，且AB=BD，CE是腰AB上中线，求证：CD=2CE。

分析：本题若直接从已知出发考虑证法则显然较难，我们可从所要证的结论出发考虑问题。欲证CD=2CE，常有两种思想方法：（1）证一线段等于2CE，再证这一线段等于CD；（2）要证CD=2CE，只要证CD=CE，即证一线段是CD的一半，再证这一线段等于CE。辅助线可如下添法：endprint

（1）延长CE至EF，使FC=EC，即FC=2CE，联结AF、BF，再证CF=CD，只要证△FBC≌△DBC。

（2）∵E是线段AB中点，作BF∥AC交AC延长线于F，则EC是△ABF的中位线，这样BF=2EC，再证BF=DC，只要证△ADC≌△AFB。

（3）∵E是線段AB中点，也可作AF∥EC交BC延长线于F，∴EC是△ABF的中位线，则AF=2EC，再证AF=CD，只要证△ACF≌△CBD。

（4）∵B是AD中点，∴过B作BF∥DC交AC于F，则BF是△ADC的中位线，则BF=CD，再证CE=BF，只要证△AEC≌△AFB。

以某一问题为开端，根据教学的需要和学生所掌握的知识逐渐向纵向和横向扩展，由简到繁，由顺到逆，经过一定的训练，引导学生的思维不断向深处发展，向广处联想，举一反三，学生既能够获取灵活的思考方法，又掌握了解题的一般规律，其所学知识能够融会贯通，继而提高了思维的灵活性。

例6 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h。

（1）若点P在一边BC上，如图1，此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h，请说明理由。

（2）请你探索：当点p在△ABC内如图2时h1，h2，h3与h之间有怎样的关系？请写出你的猜想，并简要说明理由。

（3）请你探索：当点p在△ABC外如图3时，h1，h2，h3与h之间有怎样的关系？请写出你的猜想，并简要说明理由。

分析：（1）题要证h1+h2+h3=h，而此时h=0，所以只要证h+h=h。本题若用常规截长补短法来解，困难就很大。观察本题h1、h2、h分别是各边上的高，由此想到突破常规思维，连接AP，用等积法来解该题就既捷又优。按此思路（2）题、（3）题也就迎刃而解了。

解：（1）理由如下：连接PA

∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，AB=AC=BC

∴BC×h=AB×h1+AC×h2

∴h=h1+h2，又∵h3=0，∴h1+h2+h3=h

（2）猜想：h=h1+h2+h3

理由如下：连接PA、PB、PC

∵S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP

∴BC×h=AB×h1+AC×h2+BC×h3，又AB=AC=BC

∴h=h1+h2+h3

（3）猜想：h1+h2=h+h3

理由如下：连接PA、PB、PC

∵S△ABP+S△ACP=S△ABC+S△BCP

∴AB×h1+AC×h2=BC×h+BC×h3，又AB=AC=BC

∴h1+h2=h+h3

初中数学中，如果单纯地运用正向思维来解决问题往往会存在着许多困难。当学生把正向思维突变为逆向思维或突破常规思维后，就会豁然出现“柳暗花明又一村”的美景，这就是逆向思维的妙处！

学生数学思维能力的强弱直接影响到对问题独立思考的能力，思维的发展和提高要靠持之以恒地培养，长期不懈地锤炼。总之，在数学教育中应注重培养学生的逆向思维能力，打破定向思维，越出固定的轨迹，这样，不仅能激发学生对学习数学的兴趣，还能增强学生对基础知识的理解程度，提高学生的解题技能，开拓解题思路。

参考文献：

1.叶坚.思维的可逆性和数学教学.中学数学教育研究与实践，中国农业出版社，1998.7.

2.杨玉环.初中数学逆向思维能力的培养.上海教育，1999.7.

3.王烈.在公式中设法提高学生的思维能力.中小学数学，2004.9.

（作者单位：浙江省缙云县新碧学校）endprint