半参数模型在区域地磁场建模中的应用

郭云飞，汪金花，吴兵，陈晓停

(华北理工大学 矿业工程学院，河北 唐山 063210)

半参数模型在区域地磁场建模中的应用

郭云飞，汪金花，吴兵，陈晓停

(华北理工大学 矿业工程学院，河北 唐山 063210)

半参数模型；多项式拟合；区域地磁场建模

地磁场本身及环境影响使测量数据存在着各种误差，为了更好地实现区域地磁场建模，在多项式的基础上添加一个非参数分量构成半参数回归模型，并且将半参数回归模型与原有的多项式拟合模型的拟合结果进行对比。结果表明，半参数回归模型避开参数模型的局限性的同时也填补了无参数模型的缺点，在区域地磁场建模中可以达到更好的拟合效果，所构建的区域地磁场模型也更加贴近客观实际。

地磁由于其独有的特点引起了国内外研究机构和学者的关注，而利用地磁进行定位和导航的一项基础工作是地磁基准图的制备，因此如何构建地磁模型非常关键。常见的区域地磁建模方法有: 幂函数、三角函数和指数函数、样条以及简谐样条函数、本征函数、多项式拟合、矩谐分析(RHA)和球冠谐分析等方法(SCHA)。其中，李明明等人研究了基于矩谐分析的高精度局部地磁场建模[1]；寇义民等人用线性平面拟合的方法拟合出磁场曲面[2]；宁新稳等在海磁研究中运用了多项式拟合模型[3]；杨云涛等分析了泰勒多项式在区域地磁建模中的应用[4]。地磁建模中运用多项式模型进行拟合的方法最为广泛。

虽然多项式拟合的建模方法简单易行，计算地磁场诸要素也很方便快捷，但是地磁测量过程中因为仪器、地磁本身以及外界因素等影响，不仅存在偶然误差和粗差，而且还有系统误差。多项式拟合模型因忽略了观测过程中这一系列的影响因子，得到的结果也会对参数估计造成很大影响。而半参数模型既包括了参数分量又包括了非参数分量，不但能解决参数模型和无参数模型难以解决的问题，使得模型的适用性得到了提高，而且它还填补了无参数模型中信息损失过多的问题，所以它描述的实际问题更加接近实际情况，能够更加充分利用数据本身所提供的信息，提高了实际问题的精度，因此具有比较高的精确度。

1 地磁拟合理论基础

地磁导航由于具有无辐射、抗干扰、可提供全天候、全地域导航等优点而被开发应用，利用地磁进行导航的一项基础工作是地磁基准图的制备，实现稳定导航定位的关键在于高精度的地磁基准图的制备。因为令绝大多数已有的地磁导航方法陷入困境的是地磁场随空间变化平缓的特性，所以提出了用线性平面来拟合磁场曲面，然后求解线性方程组，最后求得地磁场测量点的位置估计区域。常见的局部区域拟合磁场曲面有2类，第1类是幂函数、三角函数、指数函数、样条和简谐样条函数、多项式拟合等纯数值模型的方法，这些方法会忽略其物理上的合理性而只考虑了模型对观测数据拟合的近似程度；第2类是矩谐分析和球冠谐分析等基于磁位理论的数学模型，虽然符合了物理上无源性质，但是它们在数值上的偏差比较大。

因为最常见的多项式拟合方法无法考虑到实际测量中系统误差等复杂情况，所以多项式拟合并不能完全满足需要，因此在多项式拟合的基础上加入非参数分量来构造半参数回归函数模型，可在数值偏差小的基础上同时满足接近实际情况的要求。

2 半参数回归数学模型及实验

2.1 半参数回归模型

因为半参数回归模型是在线性的参数模型基础上加入了非参数的量，所以需要运用补偿的最小二乘原理获得唯一解。在这个模型中，模型误差的形态比较复杂，没有办法用少量的参数来表示，所以在每一个观测方程上都添加了一个待定的量，就是非参数分量。半参数回归模型通常用L=BX+S+Δ表示，它的误差方程表示为：V=Bx+S-l。在这个式子中Δ是n维观测误差向量；B为列满秩设计矩阵；观测量L表示的是关于非参数S与未知参数X与的函数，X和S都是待估的未知数。

在地磁拟合过程中首先构造一个二次多项式模型，在其基础上加入非参数分量S，最后将观测的数据代入到函数模型中。

zi+vi=b0+b1xi+b2yi+b3xi2+b4yi2+b5xiyi+Si(i=1,2…,n)

(1)

式(1)中Zi表示点的地磁观测值，xi、yi是点的相对地理坐标,b0、b1、b2、b3、b4、b5为多项式的待定系数，描述模型误差的n维的未知向量用Si表示，随机误差用vi表示，。

误差方程

vi=b0+b1xi+b2yi+b3xi2+b4yi2+b5xiyi+Si-zi

(2)

其中：

式(2)的误差方程中的待定参数个数大于误差方程的个数，不可能得到唯一解。因此，结合实际测量选择最小二乘补偿原理，在误差方程的基础上附加最优化准则：

(3)

其中：

半参数回归模型它的关键在于正则矩阵R以及平滑因子α的选择。

R的选择与具体问题有关。常见的有用自然样条光滑方法确定、用时间序列的特性来确定、用观测量值之间的某种距离来确定、根据先验方差的特性来确定、通过非参数分量判定得到正则矩阵[6]。

在极小化的过程中平滑因子α起到了对V和S的平衡作用，平滑因子的选择常见方法有信噪比法、效率法、控制法、L-曲线法、交叉核实法和广义交叉核实法(GCV)等[7]，其中比较好的方法是L-曲线法。L-曲线法是依据V和S构造出来2个用α为自变量的加权范数SN(α)、VN(α)，其中：

根据不同的α得到不同的SN(α)、VN(α)。用VN作为纵坐标、SN作为横坐标画图，能够获得很多点SN(α)、VN(α)，把这些点拟合出一条新的曲线。这条曲线形似“L”，用这条曲线来选择出平滑因子的办法叫做L-曲线法，并且采用最短距离的方法确定出平滑因子α。

2.2 数学实验

为了验证半参数估计模型能够使数学模型与客观实际更为接近，实现更加充分利用观测所提供信息的功能,实验选取了唐山市某地的地磁场数据为研究对象，在二次多项式拟合模型的基础上加入非参数分量并且将其与原模型进行比较来论证半参数估计模型的实用性。

2.2.1数据介绍

研究区位于唐山市某空旷地区道路，路下无管线且车流量稀少，长约为118 m宽约为4 m的区域进行布点测量。基本上是按照横向间隔为2 m、纵向间隔为6 m进行等间距测量来获取点位的地磁数据，共得到66个点位的相对地理坐标及其地磁总量。测区内布设的控制点分布均匀，为了检测模型的精度在测区内选取5个点作为检验点测量它们的相对地理坐标以及地磁场并进行记录。检验点常常不参与模型的建立，样本点参与模型的建立。由于采集的地磁总场与相对地理坐标数量级相差较大，需将采集的样本数据以及检验数据全部进行归一化处理，其中部分处理后的数据如表1所示。

表1 部分处理后的数据

把预处理后的数据导入到matlab软件，构建多项式拟合模型，并且根据要求设定合适的正则矩阵以及平滑因子来实现加入半参数分量后的半参数模型。

2.2.2拟合过程

在最小二乘准则下用二次多项式进行地磁与其相对地理坐标进行拟合得到参数B。在二次多项式拟合基础上加入非参数的分量S构建出半参数模型，文中认为相邻观测误差模型差别不大，所以选取时间序列法中的相邻观测点的模型误差的平方和来确定正则矩阵R，R=GTG其中：

用L-曲线法绘制出平滑因子α的图像如图1所示：

图1 L-曲线图

由图1判断最终可以选取最优点α=0.84。

将得到的半参数模型中的参数β及非参数分量S用matlab计算其最小二乘估计准则下的多项式拟合以及含非参数分量的半参数回归模型下得到的地磁拟合模型的残差ei(i=1,2)、均方误差MSE、中误差δ以及模型误差如表2和表3所示。

表2 拟合残差对比表

表3 拟合误差对比

根据表2和表3可知，由于多项式拟合的中误差、均方误差以及模型误差均大于半参数回归模型，所以半参数模型得到的地磁拟合精度更高，其平差效果较好。将样本点以及检验点分别代入多项式和半参数回归模型中可得到残差。通过对比可知，无论是样本点还是检验点半参数回归模型的残差值大部分小于多项式模型。总之，半参数回归模型拟合效果更好。

根据得到的参数，其二次多项式拟合的方程为：

(1)

半参数回归模型的拟合方程为：

(2)

3 分析与讨论

将原始的地磁数据、多项式拟合后的地磁数据、半参数回归模型下的地磁数据用matlab进行绘图，其拟合效果图如图2所示。

(a) 样本散点图

(b) 多项式拟合效果图

(c) 半参数拟合效果图

由图2的3幅图可知，与多项式拟合相比较，半参数回归模型的拟合效果更佳，更加接近真实效果，可更好地描述该区域的属性信息。

综合各项指标的对比结果可知，半参数回归模型不仅更加贴近于客观实际，无需事先确定模型误差量与观测量之间的函数形式，并且增加的非参数分量无需通过增加额外的控制点来求解。半参数回归模型既能够在数据处理过程中尽可能的用实验分析得到结论，又可以不排除参数模型本身可能存在的系统性偏差，具有极强的解释能力。但是，半参数模型建立的关键点是怎样选择最为合适的R和α；误差补偿模型的确定和选择存在一定的困难；系统误差补偿参数的精确解算依赖于足够数量、分布合理的地面控制点。

4 结论

半参数模型已被广泛运用于系统误差、模型误差和某些不宜归在偶然误差中，但又明显对模型有影响的未知因素等数据处理领域。通过建立半参数回归模型处理复杂环境的测量问题，得到的拟合精度更高，拟合效果更好。尤其是文中对于区域地磁场建模过程中半参数模型相较于原有的二次多项式拟合效果更贴近客观实际。但半参数回归模型也存在边界效应、模型的参数部分如何选择并没有固定标准，所以其精度仍有一个可以提升的空间。

[1] 李明明，黄显林，卢鸿谦，等.基于矩谐分析的高精度局部地磁场建模研究[J].宇航学报.2010,31(07):1 730-1 736.

[2] 寇义民，温奇咏，王常虹，等.一种基于地磁场曲面线性化拟合的快速导航定位方法[J]. 宇航学报,2009,30(02):497-502+590.

[3] 宁新稳，刘岳峰，徐遵义，等.基于多项式拟合模型的实测海磁数据平差处理[J].中国知网：地球物理学进展，2011,26(01):157-161.

[4] 杨云涛，石志勇，吕建刚，等.适于地磁导航的高精度区域地磁场建模研究[J].中国知网：兵工学报，2009,30(03):380-384.

[5] 邱卫宁，陶本藻，姚宜斌，等.测量数据处理理论与方法[M].武汉：武汉大学出版社.

[6] 孙海燕，吴云.半参数回归与模型精化[J].武汉大学学报(信息科学版),2002,(02):172-174+207.

[7] 胡宏昌，孙海燕.正规矩阵R及平滑因子α的选取[J].中国知网：测绘工程.2003,(04):5-8.

ApplicationofSemi-parametricModelinRegionalGeomagneticFieldModeling

GUO Yun-fei, WANG Jin-hua, WU Bing, CHEN Xiao-ting

(College of Mining Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei 063210, China)

semi-parametric model; polynomial fitting; regional geomagnetic field modeling

There are various errors in the measurement data due to the influences of the geomagnetic field and the environment. In order to realize the regional geomagnetic field modeling better, a nonparametric component was added to form a semi-parametric regression model on the basis of the polynomial, and the semi-parametric regression model was compared with the original model. The results show that the semi-parametric regression model, avoids the limitations of the parametric model and also fills up the shortcomings of the nonparametric model, and that it can achieve a better effect in the geomagnetic field modeling. The magnetic field model constructed by the semi-parametric regression model is also more close to the objective reality.

2095-2716(2017)04-0001-06

2017-04-18

2017-09-18

P224.3

A