麦克斯韦分布与概率论中典型分布的比较教学

2017-11-28邹剑飞杨永富邹华

科技创新导报 2017年28期

邹剑飞++杨永富++邹华

摘要：对比研究了大学物理中的麦克斯韦分布和概率论中典型分布的区别和联系，指出了无量纲的麦克斯韦速度分布是三维空间的正态分布，麦克斯韦速率分布是一种χ分布，阐明了理想气体的统计物理量与概率论中统计数字特征之间的关系。麦克斯韦分布和对应概率论知识的比较教学，既能让教师讲解麦克斯韦分布更清楚透彻，又能让学生融会贯通并牢固掌握相关大学物理和数学知识。

关键词：麦克斯韦分布概率论比较教学

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）10（a）-0175-03

Abstract：We study the differences and relation between the Maχwell distribution in the college physics and the typical distributions in probability theory. It is found that the dimensionless Maχwell velocity distribution is just a normal distribution in the three dimensional space， while the Maχwell speed distribution is actually a kind of χ distribution. We also demonstrate the relationship between the statistical quantities of the ideal gap and the numerical characteristics in probability theory. We argue that the comparison of MaXwell distributions and the corresponding probability theory could help teachers eXplain the Maχwell distribution more clearly， so that the students could have a deep understanding on the relevant knowledge in college physics and mathematics.

Key Words：Maχwell distribution； Probability theory； Comparative teaching

大学物理和高中物理的衔接教学已经受到大学教师足够的重视和研究[1-3]。大学物理的数学基础是大学数学，特别是微积分和概率论。关于大学物理和大学数学课程的有效衔接和融汇教学国内也有初步的研究和实践[4-6]。本文笔者在河海大学多年的《大学物理》教学经历中明显感觉到学生对大学物理中所需数学知识准备不足，这既增加了大学物理课程教学的难度，也影响了学生的学习效果。具体说来，是教师在讲授大学物理知识的时候，学生所需的相关数学知识在《大学数学》课程中还没有提前或同步学习到。例如在力学部分讲运用分量变量法求解动力学问题的时候，学生还没有在《高等数学》课程中接触常微分方程。还有的原因是，物理和数学中的术语差别导致学生不能融会贯通，从而影响学生对物理知识的理解和应用。例如对于《大学物理》中理想气体的麦克斯韦速度和速率分布及其有关的统计物理量，大多数学生就不知道与概率论中的相关概念的联系，更不会进行比较学习。

麦克斯韦速度、速率分布及其相关的统计物理量是《大学物理》和《热学》课程中的重点和难点部分[7-9]。要把这部分知识点在有限的时间内讲解清楚、易于学生接受，我们认为教师应该引导学生把这部分物理学知识和他们已经具备的相关的概率论知识紧密地联系在一起[10-12]，从而让学生快速而准确的掌握相关的物理和数学知识。本论文用概率論的语言详细分析了麦克斯韦速度和速率分布及其统计物理量的物理和数学上的意义，对比分析了这些物理量与概率论中相关数学对象或概念之间的区别和联系。

1 麦克斯韦速度分布与正态分布

理想气体是热力学系统中最简单的研究对象。在一定温度下，理想气体的每一个分子都在做永不停息的无规则运动。我们无法知道每一时刻每个分子的速度，但所有这些分子的速度却服从统计规律，即麦克斯韦速度分布。它的具体函数表达式为

其中T是平衡态下的温度，k是玻尔兹曼常数，m和分别为分子的质量和速度。麦克斯韦速度分布函数的物理意义是分子速度在到+d之间的分子占气体总分子数的比率为。对分子所有可能的速度进行积分即得到

归一化条件：

由于三维理想气体的各向同性性质，麦克斯韦速度分布函数可以写成直角坐标系中三个独立方向上的分布函数的乘积形式：

其中

表示理想气体关于方向上的速度分量的分布函数。在数学上，这其实就是一个一维的正态（高斯）分布，它的概率密度函数的标准形式是

比较公式（4）和（5），得到随机变量（速度分量）的期望（平均值），方差和标准差。

所以用概率论的语言说，麦克斯韦速度分布函数是关于三个独立速度分量的联合概率密度。换句话说，麦克斯韦速度分布其实就是一种特殊的三维正态分布，其中向量值期望，协方差矩阵C为对角矩阵且对角元均为，各随机变量分量，即速度分量的相关系数为0。

一般地，可以证明n维理想气体满足的麦克斯韦速度分布是一个n维的各速度分量独立的正态分布。图1展示了二维理想气体的速度分布函数。

2 麦克斯韦速率分布χ与分布

考虑到理想气体的各向同性，可以推断气体分子的速度分布只与速度的大小（速率）有关，而与速度的方向无关，这也可以从麦克斯韦速度分布公式（1）中直接看出来。因此，若用球坐标系描述气体分子的速度分布，可以得到分布函数只与速度的径向分量即速率有关，而与极角θ和方位角φ无关。对速度空间中半径为的球面进行积分，即得麦克斯韦速率分布函数endprint

它的物理意义是分子速率在到+d之间的分子占分子总数的比率为，满足归一化条件

从上面的推导可以看到，麦克斯韦速率分布是从速度分布中取径向分量得到的。用数学的语言描述就是，麦克斯韦速率分布是三维正态分布的随机向量的模（欧几里得长度）所服从的概率分布，也就是概率论中重新标度的χ分布。一般的χ分布的概率密度函数[13]为

其中随机变量χ>0，自由度≥1表示随机向量的分量个数，Γ是gamma函数。当=3，时χ分布的概率密度公式（8）变换为麦克斯韦速率分布公式（6）。因此，麦克斯韦速率分布，严格的讲是无量纲约化速率分布，是一个自由度为3的χ分布，记为。

需要说明的是，国内大多概率论与数理统计的教程中没有提及χ分布，但都有介绍χ2分布[10-12]。这两者的关系是，把χ分布的随机变量的平方当作新的随机变量就得到了χ2分布。所以，我们也可以说理想气体无量纲的分子速率的平方服从自由度为3的χ2分布。图2显示了麦克斯韦分布与概率论中典型分布的关系。

3 统计物理量与期望和方差

根据麦克斯韦速度和速率分布函数，可以计算一些统计物理量。这些统计物理量与概率论中的期望、方差等随机变量的数字特征紧密关联。

最概然（可几）速率p表示理想气体分子速率分布在p附近的单位速率区间的分子数占总分子数的比率最大。它对应麦克斯韦速率分布曲线的峰值位置，统计学上称为众数（mode），其取值条件为

由此得到最概然速率。

平均速率即所有分子速率的算术平均值，概率论中也称为期望，其表达式为

分子的平均速率可以用来计算气体的泄流、扩散和热传导等输运性质。

方均根速率的定义为。我们先计算速率平方的平均值（二阶原点矩）

再对上式开方得到方均根速率。方均根速率可用来计算分子的平均平动能和气体压强。

可以看到这些统计物理量都和温度或温度质量比（温质比）有关。在物理课程中我们说，温度反映了气体分子无规则运动的剧烈程度[7]。从概率论的角度，可以说温度或温质比表征了理想气体分子随机的速度和速率相对平均值的涨落，也就是方差。根据以上的计算，得到速率的方差为

从而得到温质比

温质比正比于速率的方差，而方差在分布曲线上的直接表现就是曲线的胖瘦形态。所以针对不同温度的同种气体，曲线越矮胖，速率涨落越大，方差越大，温质比就越大，温度就越高。对于同温度的不同种气体，曲线越矮胖，方差越大，分子质量就越小。图3画出了和气体在一定温度下的速率分布曲线。

我们还可以根据麦克斯韦速度分布得到速度的方差

它其实就是对应的三维正态分布的协方差矩阵的迹Tr（C）。从而又得到温质比

因此，质温比也表征了分子速度的方差（涨落）。

4 统计速率的大小关系与分布的偏度（skewness）

根据上面的计算结果，可以得到三个统计速率的大小关系为

其实这三者的大小关系还可以直接从分布曲线的不对称形状分析出来。概率论中引入偏度的概念来描述统计数据分布偏离正态分布的程度和方向。麦克斯韦速率分布曲线左侧的尾部到零截止，而右侧的尾部拖得很长，一直延伸到了无穷远处。这种情形称为正偏态（右偏态）。具有这种正偏态的分布，它的概率密度分布的众数小于中位数，中位数小于平均值，平均值小于方均根，并且满足不等式，其中n≥1。

5 结语

本文用概率论的语言详细阐述了麦克斯韦速度和速率分布及其相关统计物理量的意义，揭示了麦克斯韦速度、速率分布与概率论中的相关分布的关系，论证了统计速率、温质比等物理量与期望、方差等概率论中的数字特征之间的联系。需要强调的是，本文中有些概率论的知识甚至超出了许多专业对《大学数学》的要求。因此，把麦克斯韦分布和概率论的相关知识做比较教学时，对学生讲解的时候必须适可而止。我们这里提倡的《大学物理》和《大学数学》对比融合的教学方式主要适用于数学、物理和对数学和物理要求较高的专业的学生以及其他专业的优秀学生。

致谢

作者感谢河海大学理学院林建伟副教授和朱永忠教授给予的有益讨论。

参考文献

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