抓住好方法 解题有“钥匙”

丁建生

抓住好方法 解题有“钥匙”

丁建生

数学思想方法是数学知识的精髓和灵魂，是研究和解决数学问题的“金钥匙”.“一元一次方程”这一章含有许多重要的数学思想方法，下面举例说明.

一、化归思想

解方程的过程就是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程转化为x=a的最简形式，这就是一个化归的过程，也就是化复杂为简单、化困难为容易、化陌生为熟悉的过程.

例1 已知a∶b∶c=2∶3∶4，a+b+c=27，求a-2b-2c的值.

【分析】要求所给式子的值，必须先求出a，b，c的值.

解：由a∶b∶c=2∶3∶4，可设a=2k，b=3k，c=4k.

再由a+b+c=27得2k+3k+4k=27.解得k=3.

故a=6，b=9，c=12.

所以a-2b-2c=6-2×9-2×12=-36.

【反思】（1）本题是把求代数式值的问题转化为建立方程的问题，而当引进参数k后，已知的两个式子就建立了一种联系.今后遇到连比一般都可以引进参数k，从而将问题迅速转化.

（2）本题也可这样解：由a∶b∶c=2∶3∶4，也就是a∶c=2∶4，b∶c=3∶4.

这种解法显然没有第一种解法简洁！但这两种解法都体现了一种转化思想：把多个字母（多元）a、b、c转化为一个字母（一元）k或c.

二、整体思想

有时解决问题的过程中需要我们不拘泥于问题中的局部与细节，而将问题中的某一部分（某些元素）视为整体才能顺利正确解决.

【分析】问题看似超过了我们的学习要求，无从下手.但若我们将 ||x-1看作一个整体，就柳暗花明了.

去分母：y-1-5=6-y.

解得y=6.所以 ||x-1=6.

故 x-1=±6，所以x1=7，x2=-5.

【分析】分别求a、b、c、d、e、f，这不可能！但在变化的过程中，a、b、c、d、e、f的大小、顺序不变，只是“整体”地移动了位置，故可将看作整体.

根据题意得5000000+M=3（10M+5）+8.

解得M=172413.

所以原数为5172413.

【反思】在上述两个问题中，当把 ||x-1看作整体并设为y、把看作整体并设为M后，问题就都变成了一元一次方程.如果没有这样的整体看问题的数学眼光，解决问题就很复杂，甚至无法解决.

三、分类讨论

在解答一些数学问题时，会遇到多种情况，需要我们对各种情况加以分类，并逐一求解，才能综合得解，这就是分类讨论法.运用分类讨论，才能使问题的解决全面而严谨.

例4 当a为何整数时，关于x的方程2ax=（a+1）x+6有正整数解？并求出所有解的和.

【分析】从“关于x的方程”知，x为未知数；从“x为正整数解”知，必须先求x.

解：原方程可化为（a-1）x=6，

要使x为正整数，a-1必须是6的正约数.

故当a-1=1即a=2时，x=6.

当a-1=2即a=3时，x=3.

当a-1=3即a=4时，x=2.

当a-1=6即a=7时，x=1.

所以，所有解的和=6+3+2+1=12.

【反思拓展】若把“正整数解”改为“整数解”，a是哪些整数？这要求我们看题目必须斟字酌句；本题中对a与x的两个整数的限制，使不确定的（无限）问题变成了有限的、可列举的几个确定性问题.延用这种方法，可以解决下列问题：

将2到10这9个自然数填入3×3的表格中，每个数只能填一次，且使中间行、中间列及表的对角线各经过的三格上的三个数的和相同，则中间方格中的数是多少？和是多少？【提示：设中间方格里的数是x，中间行（列、对角线）上三个数的和是y，由题意得4y-3x=2+3+4+5+6+7+8+9+10，所以x=y-18，再由x只能取2到10的整数，故y应为3的倍数，所以y=15，18，21，对应的x=2，6，10.】

例5 已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你帮助设计一下商场的进货方案.

【分析】三种型号，两两组合，应分三种情况讨论.

解：（1）设同时购进甲、乙两种电视机，甲种x台、乙种（50-x）台，则1500x+2100（50-x）=90000，解得x=25.

50-x=50-25=25.

（2）设同时购甲、丙两种电视机，甲种x台、丙种（50-x）台，则1500x+2500（50-x）=90000，解得 x=35.

50-x=50-35=15.

（3）设同时购进乙、丙两种电视机，乙种y台、丙种（50-y）台，则 2100y+2500（50-y）=90000.

解得y=87.5（不合题意，舍去）.

故商场进货方案为：购甲种25台，乙种25台；或购甲种35台，丙种15台.

【反思拓展】一般方案设计与选择问题，都要作分类讨论，本题很明显要分三种情况计算（.1）如果题目再加一个条件：甲每台卖出价1650元，乙每台卖出价2300元，丙每台卖出价2750元，为了获得最大利润，应选择哪种方案？这时应对已有的两种方案再作讨论（两种情况），计算比较后进行选择（.2）如果题目条件不变，要求用9万元同时购进三种不同型号的电视机，请你设计购买方案.这时可设购甲种x台、乙种y台、丙种（50-x-y）台，方程为1500x+2100y+2500（50-x-y）=90000，解得x=35-y，再由x、y是非负整数的约束条件，不难得到四种方案.

当然，这一章还充分体现了数学模型思想和数形结合等思想.事实上，方程是数学中的重要模型，把实际问题转变为方程问题就是建立方程模型的过程；用方程解决实际问题的过程中有时需用线段图、柱状图等表示数量之间的关系，进而找出其中的等量关系并列出方程，这就是数形结合思想的典型运用.只要我们用心学习、体悟数学思想方法，就一定能迅速选择合适的“钥匙”解决问题，并提高解决问题的能力.

（作者单位：南京师范大学第二附属初级中学）