让变式教学从标准走向非标准

变式教学是中国数学传统教学的精华，被称为“促进有效的数学学习的中国方式”[1]，其以在变与不变的博弈中突显本质的优势被广泛使用于各学段的数学教学中。在小学阶段，由于儿童的生活经验、阅历都不够丰富，抽象思维、逻辑思维发展缓慢，变式教学如同一把双刃剑，既给儿童的思维提供生长空间，同时也制约着这个空间。笔者近年来一直关注小学生的数学学业求助问题，发现儿童的许多学习困难或知识错误中，影响思维发展的症结就在于变式教学的过于标准化，导致儿童思维的固化。主要表现在形态的标准呈现使儿童的思维聚焦但不够开阔、表述的单一固化使儿童的思维朴实但缺少关联、结构的亦步亦趋使儿童的思维标配但难以灵活、方法的直接优化使儿童的思维跳跃但无法创新。

实践表明，充分利用非标准变式，可以有效拓展儿童思维发展的空间，使儿童的数学思维跳出固化的藩篱，走进本然的通道，从而获得有效的学业求助。小学数学非标准变式是指在小学数学各层面教学中，相对于标准变式，一些不经常被教师使用，但有利于拓宽知识的外延、凸显知识的本质、引导学生更深入思考的非标准形态、表述、结构和方法。在教学中，以儿童的思维发展为指向，有效实施非标准变式，让学生在变与不变中辨析知识的本质属性，自主建构知识体系，同时形成稳定的学习能力，为后续学习提供主体性帮助。

一、改变形态，让儿童思维从局部走向全面

形态主要是指空间与图形这部分内容。基于运动和构造的观点，图形的非标准变式可以从平面与立体、感知与辨析、位置与变换来设计，通过变换外形的变异维度，以突显本质特征，从而使学生对图形有更为全面的认知。

例如苏教版《数学》三年级上册“正方形的认识”可分这样三步教学：首先展示师生课前搜集的各种几何物体，实现从体到面的图形引入；接着利用正方形与其他图形的对比明晰正方形角与边的特点；最后从大小、位置、方向的变式和反例性变式达成图形认知的巩固。

1.基于平面与立体的角度设计认识度与变式度的对接

当知识的某一个方面不变而其他发生变化时，变式的一个维度就产生了。在“正方形的认识”这个内容中，从实物抽象出正方形圖形，正方形边的特点，正方形角的特点这三个认识度可以对接这样的变式度：立体图形的变式，边长度、条数的变式，角大小的变式和图形的大小变式。

2.基于感知与辨析的角度进行教学度与变式度的实施

首先利用多个几何形体让学生进行观察、感知表面的不同，接着聚焦到表面是正方形的立体图形，抽象出正方形图形，让学生初步感知形来自于体，这里通过多个形体的变式教学解决第一个认识度；第二、三个认识度同样也不直接给出结论，而通过多种四边形和其他图形变式进行边与角的对比，让学生在非本质属性的变化中感知正方形较为稳定的本质特征。

3.基于位置与变换的角度完成知识系统的整体建构

通过多种非标准变式学生已经对正方形建立了表象，对其特征也有了深刻的认知。最终利用位置的多种变式、大小的多种变化强化学生的整体认知，在运用中形成知识的整体建构。比如边长不同的正方形、位置变化的正方形、反例性变式。在这一步，非标准变式已经由外延空间的变化转为知识本身的非本质属性变化。

对于形象思维慢慢向抽象思维过渡的小学阶段，图形适合儿童的认知与识记，但空间观念却是儿童须要加强的方面，如果在教学中一味呈现一些标准模型或是标准变式，当学生遇到并不标准的图形和变式时，往往会产生学业困难。因此在此类教学中，应引入外形的非标准变式，尽量丰富表征、图形的外延空间，有层次地 拓宽变异维数。

二、改变表述，让儿童数学思维从浅层走向深度

表述主要指教学示例、条件和问题的呈现方式。表述的非标准变式通过数形结合、图文转换、文字叙述将例题多方面、多角度地进行相应的变化，让学生在变化中剔除非本质属性，指向更深层次的理解。

例如在教学苏教版《数学》一年级下册“两位数加减两位数的进位加和退位减”这一难点时，可利用图形结合等变式设计如下表述，将零散的知识组合在一起：

填空题： □+3=70 80-□=7

文字题：小明要写30个大字，已经写了9个，还要写多少个？

变化的是表述路径，不变的是知识本身，这样一组练习在强化算理的同时将不同的题型串起来，让学生的认知形成一个完整而又四通八达的体系。

1.利用数形结合搭建理解的桥梁

数形结合是数学学习的重要方法，通常数形结合分为以形助数和以数解形。在变式教学中，主要通过数形的相互转换完成教学目标。例如低年级可借助直线认识数的顺序和大小，高年级可画线段图帮助理解实际问题中的数量关系。

2.善用图文转换打通知识的链接

围绕“40-5=”这一核心设计表述不同的两层变式：表述形式变式和表述内容变式。表述形式变式为：全图→半图半文→全文，遵循儿童的思维特点从形象向抽象过渡。在表述内容上首先将“40-5=”作为本质（不变）放在买书包的情境（变化）中，帮助儿童理解“商品价钱、找回的钱和付出的钱”之间的关系；接着再将买东西的数量关系作为本质（不变）进行商品和数字的变式。

3.巧用文字叙述明晰思维的指向

在掌握上述两个知识点后，从式子（符号）和文字表述两方面进行非标准变式。像“□+3=70”和“80-□=7”这样的题型有利于学生进一步理解和掌握加减法各部分间的关系，为高年级的方程教学打基础。在利用文字进行问题的表述时，可以进行不同层次的转换，如情境不变变数字，指向数学情境的熟悉和利用；数字不变变情境，指向在不同的情境中理解知识的本质；数字情境均变，指向更高层次的数学理解。

语言文字通俗易懂、图形式子直观形象，两者结合或相互转换可以将数学知识灵动地串成一个整体，也是儿童数形结合思想形成的有效途径。对于还处在以具体形象思维为主，逐步向抽象思维过渡的小学生来说，利用数形结合、图文转换、文字叙述等方式设计一些表述不同的概念辨析题组，尤其是非标准变式的练习，可以帮助儿童在学习中去除非本质属性，指向更深层次的理解。endprint

三、改变结构，让儿童数学思维从连续走向非连续

结构包括外显的知识学习进程和内部的知识建构过程。结构的非标准变式是将二者相结合，以关注儿童更加灵活的探究为设计原则，通过改变既定而又被动的学习过程，从而达到儿童内部知识建构的优化。

例如在教学苏教版《数学》三年级下册“小数的初步认识”一课时，可以首先从对购物清单上的数据分类来引出小数，通过整数与小数的对比初步认识小数；接着引导学生探索如何在代表1元的长方形中表示出0.4元，从而认识0.4的意义，同时建立小数与分数之间的联系；最后利用课件将长方形纸变成尺子和数轴进行小数知识的变式建构。

1.利用反例突显，在对比辨析中触摸知识

新知为什么是新知？和旧知有什么不同和联系？在课初，设计利用消费清单上金额的不同，让学生进行分类。学生在分类中明白了我们之前学习的数是整数，而今天学习的数和整数不一样，它有小数点，由三部分构成……分类的过程就是一个对比、分析的过程，分类的结果也是一个总结、提升的过程。非标准反例变式可以提供有利于辨别的信息，让学生在对比、反思中辨析，突出知识的本质属性，帮助学生更准确地形成模型。

2.改变构建方式，在原有体系上衍生新知

如何建立小数与分数的联系？如何让学生体会到十进制分数可以用小数表示？改变例题的常规教学，给学生创设操作的条件：把长方形纸当作1元，表示其中的4角，学生自然想到平均分成十份，涂其中的4份，这个操作过程成功地唤醒了学生原有的知识储备（），水到渠成地将小数与分数联系起来。

3.转换练习视角，在层层变式中扩大视野

在练习环节中利用非标准变式将不同系统模型（货币模型→米制模型→数轴）联结在一起，变化的是模型的外形和表述形式，不变的是小数的意义本质。教学实践表明，学生在通过自主探究发现“零点几就是十分之几”后，对后面的变式练习完成得很好，特别是数轴的变式，让学生避免产生小数就是比1小的数这样的错觉。学生学习过程的优化直接影响学生内部知识体系的建构。

改变被动的学习方式，适时创设有效的非标准变式活动及练习，给学生提供观察、猜想、操作、验证、归纳等机会，能够激发学生的求知欲，促进学生更积极地参与活動，学习方式和学习结构的优化同时也促进了儿童内部知识体系的优化建构。

四、改变方法，让儿童数学思维从套路走向多元

方法具体包括探索的方法、计算的方法和解决问题的方法。在此类教学中，方法的优化固然重要，但方法的多样却可以给儿童的思维带来一份不一样的理解和生长。

例如苏教版《数学》四年级上册“平均数”一课，可以这样设计：全课从统计全班同学看书的本数这一活动展开，首先引导学生讨论用哪个数代表，从而引出平均数；其次利用移补贴图和平均数的计算进一步理解平均数；最后在变式题组中领悟平均数最大值和最小值之间的关系，体会平均数的敏感性。

1.以情境的变式突显探索的核心

需求是有效探索的前提。教学中，在分析学生现有知识和生活经验的基础上通过统计“看书多少”这个活动情境，让学生在自身的活动中不由自主地进入对知识的需求和探究。通过探索情境的创设与改变、条件的辨析与选择、材料的选取与应用，学生在变化中剔除非本质属性，聚焦本质特征，打破原有的思维空间，培养学生的探究与理解能力。

2.以适切的方法丰富计算的空间

求平均数通常带给学生的就是先加再除，如何让学生打破这一思维定势？安排操作让学生在实际的变化中感受平均数的形成；利用不同数据引导学生进行方法优化；巧设变式练习让学生体会到计算也需“因材”。计算方法的优化固然重要，但方法的形成、辨析、筛选需要一个过程，这个过程会因学生的思维层次不同呈现可变性，也会因具体的数字不同呈现灵活性，更会因解决问题的不同呈现多样性。在教学中关注计算的这些可变因素，就不会出现“硬逼列竖式计算”等做法，从而关注到学生的巧算、口算、估算等多种计算方法的培养。

3.以多层的铺垫提升问题的价值

问题解决的方法是多样的。在多种解决方法中须要提取学生的知识储备也各不相同。在教学中，可以针对不同的知识点和训练点，以多层次的问题铺垫引导学生将这个过程变得更有价值。上述课例中，将单一的计算彩带平均长度的问题增加了“前估”“后变”两个层次的问题变式：计算前先估一估平均长度，引导学生思考平均数的范围；计算验证后又利用一根彩带长度的增加或减少引导学生体会每一个数据发生变化都会引起平均数的变化。通过多层的变式铺垫，使学生对知识的理解、对问题的思考更加深刻。

无论是探索的过程、计算的思路还是问题的解决都需要非标准变式在过程中进行适当铺垫，变化原本已“定型”的方法，给儿童的思维提供多一份的选择。在设计探索活动时，可以借助变化问题的情境、条件呈现的形式，选择更贴近儿童认知的活动；在计算的优化前，可以提供不同数字的算式，让儿童在不同的数字中体会到计算的灵巧和多样；在问题的解决中，既可以改变条件的呈现方式来突显数量关系的本质，又可以对问题进行多角度的衍生与提升，让儿童的思维从既定的套路走向多元的探究。

小学数学非标准变式的实践，为数学课堂的变化提供了可能：灵活、多元地变化非本质属性以突出事物的本质属性，学生在变与不变中进行对比、分析、猜想、验证、归纳，从而明确知识的本质特点，促进知识全面建构，更重要的是这个过程拓宽了学生的思维发展空间，打破了原本 “固化”的思维成长路径，帮助学生获得有效的学业求助，让其思维发展走向开阔与深刻。

参考文献

[1] 顾泠沅，黃荣金，费兰伦斯.变式教学：促进有效的数学学习的中国方式[J].时代数学学习，2006（7）.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3] 顾非石，顾泠沅.诠释“中国学习者悖论”的变式教学研究[J].课程·教材·教法，2016（3）.

[4] 严育洪. 课堂高点：学生思想的生成[M].北京： 首都师范大学出版社，2011.

[5] 胡芸.交往学习的视角：高年级学生数学学习求助研究[J].小学数学教育，2015（7-8）.

[6] 胡芸.学业求助：儿童数学学习的另一扇窗[J].现代中小学教育，2016（7）.

[责任编辑：陈国庆]endprint