平方根的无理性及其一种有理迭代算法

王元恒

摘要：本文说明了平方根的无理数性质，给出了一种中学生都能很好理解的迭代算法来求平方根的有理数近似值，并且要想多近似就多近似。

关键词：平方根；无理数性质；迭代算法；有理数近似值

中图分类号：O177.91 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）48-0209-02

人们在中学都知道■，■，…，■（a不是完全平方数）是无理数，但是为什么它们是无理数？如何用有理数来近似逼近计算■，■，…，■以达到事先指定的精确度？这些问题常常被中学生、甚至大学生、研究生们问到。把此问题提得更一般些，就是：设有理数a>0（a不是完全平方数）是任意给定的，则■是无理数，并且如何来求■的有理数近似值。下面证明了平方根的无理数性质，给出一种中学生都能很好理解的迭代算法。

定义1 设自然数p>1，如果它只能被1和它自身整除，则称p为质数（素数）。例如2，3，5，7，11，13，17等都是质数。

应用数学归纳法和整除性质可以证明如下的基本定理。

定理2[1] 自然数a>1都可以唯一（乘法交换律除外）表示为若干个质数幂的乘积形式，即存在唯一的m，n1，n2，…nm和质数p1，p2，…，pm使得

a=p■■p■■…p■■

定理3 在定理2的表示式中，a>1为平方数的充分必要条件是n1，n2，…，nm皆为偶数，即n1=2k1，n2=2k2，…，nm=2km.

证明 如果n1=2k1，n2=2k2，…，nm=2km，则

a=p■■p■■…p■■=（p■■p■■…p■■）■=b■

所以a>1为完全平方数。反之，a=b2，b>1为完全平方数，则由定理2知，即存在唯一的m，k1，k2，…，km和质数p1，p2，…pm，使得b=p■■p■■…p■■.

从而a=b2=（p■■p■■…p■■）■=2p■■p■■…p■■=p■■p■■…p■■

于是，由定理2的唯一性知n■=2k■，n■=2k■，…，n■=2k■都是偶数。证毕。

推理4 质数p能够整除b>1的充分必要条件是 p能够整除b2。

定理5 设自然数a>1不是完全平方数，则■是无理数。

证明（反证法） 假设自然数存在x，y≠1使得

■=x/y，x=■y，

则由定理2知

a=p■■p■■…p■■，

x2=ay2=p■■p■■…p■■y2.

所以，由定理3知道x2中一定含有质数p1且p1的指数一定是偶數，y2中可能含有质数p1且p1的指数也一定是偶数，或者y2中也可能不含有质数p1即p1的指数为0也是偶数，故指数n1等于x2中含质数p1的指数减去y2中含有质数p1的指数：

n1=偶数-偶数=2k1为偶数。

同理可得n■=2k，…，n■=2k■。于是

a=p■■p■■…p■■=（p■■p■■…p■■）■=b■为一个完全平方数，这与已知矛盾。证毕。

定理6 设有理数数a>0不是完全平方数（两个自然数的平方之比），则■是无理数。

证明 因为a>0为有理数，所以存在自然数u，v使得a=u/v，且不妨设u，v不含有相同的质数p，即它们不能被相同的质数p整除，否则可以约分，并由定理5，不妨设u>1，v>1。所以，由定理2得

u=p■■p■■…p■■，v=q■■q■■…q■■，

p■≠q■，i=1，2，…，m，j=1，2，…，t.全为质数。

于是（反证法），假设自然数存在x，y≠1使得

■=x/y，x=■y，

则由定理2知

vx2=uy2，

q■■q■■…q■■x■=p■■p■■…p■■y■.

所以，由定理知道3x2中一定含有质数p1且p1的指数一定是偶数，y2中可能含有质数p1且p1的指数也一定是偶数，或者y2中也可能不含有质数p1即p1的指数为0也是偶数，故指数n1等于x2中含质数p1的指数减去y2中含有质数p1的指数：

n1=偶数-偶数=2k1为偶数。

同理可得n■=2k■，…，n■=2k■，s■=2l■，s■=2l■，…，

s■=2l■。于是

a=■=■=■■=■■

为一个完全平方数，这与已知矛盾。证毕。

下面给出平方根的一种有理数近似值的计算方法：

任意给定■的一个有理数近似值x0>0，在两个正有理数数x0，■中，一定有一个大于■，另一个小于■，除非x0正好就是■.我们有理由认为这两个有理数数的算术平均值x1=■x0+■可能更加靠近■，这便得到了一个更好的有理数近似。事实上：

x1-■=■x0+■-■=■（x■■+a-2x■■■）

=■（x0-■）2≥0

这说明无论初值有理数x0如何，得出的第一次有理数近似值x1是过剩近似值。不妨设初值x0本身就是过剩近似值，因此x0>x0-■>0.由此得出

0≤x1-■=■x0-■■≤■x0-■.

即第一次有理数近似值x1到■的距离至多是初值x0 到■的距离的一半。

重复施行上述的步骤，便产生数列x0，x1，…，xn，…，其中

xn=■x■+■，n∈N*，

0≤xn-■≤■xn-1-■≤■xn-2-■≤…≤■x0-■.

所以■x■=■，即对于充分大的n，数xn与■的距离很快变小，并且以1/2n的速度快速让它们的距离趋向于零。

这种方法在实际应用中非常方便。例如求■的近似值，就取初值x0=2，反复迭代的结果是：

x0=2.0，

x1=1.5，

x2=1.4166…，

x3=1.4142566…，

x4=1.41421356…，

x5=1.41421356…，

于是，x5就是一个与■相当精确的近似值，它们的距离小于1/25=1/32.

参考文献：

[1]华罗庚.数论导引[M].北京：科学出版社，1957.endprint