《结构随机振动》研究生课程教学的几点思考

宋杰 邹良浩

【摘要】《结构随机振动》涉及的数学理论多，概念比较抽象，学生不易理解。本文通过三个方面的讨论，即时域频域分析的理解，数学公式物理意义的分析，和考核方式的探讨，提出了一些增进学生理解的教学方法，以便提高该课程讲授效率。

【关键词】结构随机振动 时域频域分析 考核方式 课堂教学

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）42-0208-02

一、引言

《结构隨机振动》课程是结构工程、防灾减灾与防护工程，以及工程力学等多个土木工程相关专业的研究生主干课程[1-2]。土木工程领域内大部分结构，如高层建筑和桥梁等，在实际过程中会受到诸如地震、风、爆炸冲击荷载都随机性荷载的作用。这些结构的设计与结构随机振动理论息息相关。因此，相关专业的研究生需要掌握好该课程的基础理论，并能运用到科学研究和工程实际之中。但是，由于《结构随机振动》课程涉及的数学理论多，如概率论与数理统计、复变函数，偏微分方程，而且概念比较抽象，一般性的讲授学生不易理解。因此，本文拟讨论《结构随机振动》课程讲授中的几个典型问题，以提高该课程讲授效果，增强学生对该门课程基础知识的掌握和理解。

二、时域频域分析的理解

时域分析和频域分析是《结构随机振动》两个重要的概念和分析手段。时域分析比较直接易懂，概念比较清晰，学生易于理解，但是不能直接得到随机过程在频域内的信息。频域分析比较抽象，学生不易理解，但频域分析可以直接得到随机过程在频域上的能量分布。连接时域和频域分析著名的帕萨伐尔公式，学生对其时域部分很好理解，但对于频域部分理解起来有些困难。但是如果我们把时域和频域分析同时描绘在图1所示的图中，将会大大便于学生的理解。如图1所示，对于一个随机时域信号，其为几个正弦随机信号的叠加，但是在时域内不能直接表现出来。我们将信号的傅里叶变换同时描绘在图中，可以看到，对应每一个正弦子信号，频域上都对应一个脉冲，那么总的能量就是这些脉冲幅值的叠加。这就跟时域内信号的能量的定义很相似，易于学生的理解。所以，对于时域和频域分析以及其相互关系，可以多借助这样多个维度的图形来方便讲授和学生理解。

图1 随机振动信号在时域和频域内的表现[3]

三、数学公式物理意义的分析

《结构随机振动》里面涉及大量的数学公式，其形式一般较为复杂，推导过程也较为冗长。但是应当指出，数学公式固然重要，但是应该跳出来抓住其本身的物理性质，讲授其本质上的物理意义，这样才能便于学生理解。对于此，作者以线性单自由度体系响应计算（式1）为例说明此过程。线性单自由度体系响应位移谱SX（ω）计算的表达式如式1所示：

SX（？棕）=H？棕■SF（？棕）

=■SF（？棕） （1）

如果教师只是花大量时间推导出这个式子，学生不但渐渐会失去兴趣，最终也只能对这个式子死记硬背，对其没有深刻的理解。但是，我们可以进行如下的讨论[4]：

（a）当结构频率ω0趋于0时，式（1）中H？棕■趋于1/（mω20）2= 1/k2，所以式（1）等价于X = F/k，即胡克定律。也就是说，当结构频率很小（即低频），即周期无限大时，结构振动主要由位移控住，即速度和加速度可以看做零，所以运动可以简单用胡克定律来描述。

（b）当ω>>ω0时，即ω/ ω0>> 1， 式（1）中H？棕■趋于1/（mω2）2，这个时候响应加速度谱SX（？棕）=SF（？棕）/m2。所以这时式（1）等价于加速度a=F/m， 即牛顿第二定律。也就是说，当结构频率较高时（即高频），结构振动主要是惯性力控制，速度和位移都可看做零，运动可以近似由牛顿第二定律来描述。

（c）当ω≈ω0，且阻尼比ξ<< 1时，式（1）中H？棕■趋于1/（cω）2，即这个时候响应速度谱SX（？棕）=SF（？棕）/c2。可以看到，这时式（1）等价于速度v=F/c，即粘滞阻尼力的形式。也就是说，结构在中间频率且阻尼较低时，控制结构振动的主要是阻尼确定。

所以通过以上的分析，我们发现式（1）中每一个参数都控制结构振动低频，中频或高频的部分，都有其物理意义。这样，通过以上的讨论不仅容易记住式（1），对式（1）也有了比较深刻的认识，而且对结构振动的特点也有了进一步的理解。可以看到，虽然说本门课程数学公式繁多，但是通过讲述公式背后的物理意义，对于提高学生的理解和记忆很有帮助。

四、考核方式的探讨

国内研究生的课程大多采用课程报告的形式来进行考核。此方式对于概述形式的课程可以采用，但对于《结构随机振动》这样的课程，单纯的报告考核方式不利于学生的学习，也很难了解到学生学习的情况。所以，笔者根据在香港科技大学学习期间的经历，对该门课程的考核进行了全新的设计。首先，不同于大部分研究生课程没有课外作业的情况，本课程调研国内外大部分课程的课件和上课内容，有针对性的选择了具有代表性的习题来作为学生的课外作业。这些课外习题的设置，不是为了“考住”学生，而是让学生在做这些习题的过程中，学会思考和运用，巩固课堂上所学的知识。第二，除了课外作业之外，作者在这门课上还设计了很多需要学生自己上机编程内容。如前所述，本门课程涉及大量的数学公式，如果单纯只是推导公式，学生即不容易掌握，也容易失去兴趣。鉴于此，作者根据课程内容，设计了很多需要学生自己上机编程计算的课题。比如根据风速谱模拟风速时程的课题。学生通过这些实践，即解决了实际的问题，对整个数学原理也有了更深层次的理解。此外，根据课程内容，选择了一些与课程内容相关的前沿研究内容。学生结合课程内容，研读这些前沿内容，并通过报告的形式，讲述自己的所得。最后在期末考试环节，采用开卷考试的形式，不让学生拘泥于公式的记忆，并允许学生携带可编程计算器或是电脑。这样，即解放了学生繁冗的计算量，又可以增大考察的范围。通过以上这四个方面，对学生的综合素质进行全面的考察。

五、结论

针对《结构随机振动》数学公式多，概念抽象的特点，本文对该课程中时域频域分析的理解，数学公式物理意义的分析，和考核方式的探讨等三个方面进行了讨论。对着三个方面，根据教学实践，提出了一些有代表性的能够增进学生对课程的理解的方法和措施。总的来说，这些方法和措施对于提高《结构随机振动》讲授效率很有帮助。

参考文献：

[1]陈英俊，结构随机振动[M].北京：人民交通出版社，1993.

[2]欧进萍，王光远.结构随机振动[M].北京：中国社会科学出版社，1998.

[3]http：//uran.donntu.org/～masters/2008/eltf/naftulin/library/letter5.htm[EB].

[4]Loren D. Lutes，Shahram Sarkani，Random Vibrations： Analysis of Structuraland Mechanical Systems[M]，Elsevier Butterworth–Heinemann，2004.

作者简介：

宋杰（1986.1-），男，汉族，湖南常德人，博士，讲师，主要从事结构振动、结构风工程的研究。