Sobolve空间中范数的一个注记
2017-11-23刘红军
刘红军
【摘要】本文主要在学习张恭庆主编的《泛函分析讲义》之后，讨论Sobolve空间中范数满足三角不等式的一点注记。
【关键词】Sobolve空间 范数 三角不等式
【基金项目】贵州师范大学博士启动基金（11904/0517078）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）42-0139-02
一、Sobolve空间的定义
设Rn是欧氏空间， n≥1，Ω为Rn中的有界连通开集， u∈Cm（Ω），其中m是一个非负整数。设实数p满足1 ‖u‖ = u（x） dx = ‖ u‖ （1.1） 将Cm（Ω）的子集S=u∈Cm（Ω）|‖u‖ <∞ 按照模（1.1）完备化，得到的完备化空间称为Sobolve空间[1][2]，记为H （Ω）。它在偏微分方程论中起着非常重要的作用。特别当p=2时，H （Ω）简单地记成H （Ω）张恭庆等人所编写的《泛函分析讲义》中所说不难验证（1.1）中‖·‖ 是一个范数，事实上要证明它是一个范数，其中三角不等式的证明并非显然。文中我们将给出这个三角不等式证明的一种方法，即任取u，v∈C （ ）需要证明‖u+v‖ ≤‖u‖ +‖v‖ 成立。 二、几个引理 引理1（H？觟lder不等式）设函数f（x），g（x）∈L 则有‖fg‖ ≤‖f‖ ·‖g‖ 成立，其中1 引理2（Minkowski不等式）设函数f（x），g（x）∈L ，实数p满足1 对于H？觟lder不等式和Minkowski不等式已经有很多的证明方法，下面给出Minkowski不等式证明的一种简单叙述。 证明：已知函数f（x），g（x）∈L ，则已有f+g∈L ，fg∈L 。再根据范数定义，有 ‖f+g‖ = f（x）+g（x） dμ（x） = f（x）+g（x）·f（x）+g（x） dμ（x） ≤ f（x）+g（x） ·f（x）+g（x） dμ（x） = f（x） ·f（x）+g（x） dμ（x）+ g（x） ·f（x）+g（x） dμ（x） =Ⅰ+Ⅱ 其中Ⅰ= f（x） ·f（x）+g（x） dμ（x），Ⅱ= g（x） ·f（x）+g（x） dμ（x）。 根據引理1的H？觟lder不等式，以及实数q满足 + =1，可以得到Ⅰ≤ f（x） dμ（x） f（x）+g（x） dμ（x） = f（x） dμ（x） f（x）+g（x） dμ（x） =‖f‖ ·‖f+g‖ 同理，可得Ⅱ≤‖g‖ ·‖f+g‖ 因此，结合上面的式子，我们可以推出‖f+g‖ ≤‖f+g‖ ·‖f‖ +‖g‖ ，再结合 + =1得出Minkowski不等式的证明。 三、三角不等式的证明 下面给出Sobolve空间中范数的三角不等式的证明，即得到如下问题： 问题：设u，v∈C （ ），是否存在不等式‖u+v‖ ≤‖u‖ +‖v‖ （3.1）成立？ 证明：任取u，v∈C （ ），根据Sobolve空间中范数的定义以及引理2中的Minkowski不等式，可以得到 ‖u+v‖ = ‖ （u+v）‖ = ‖ u+ v‖ = ‖ u‖p+‖ v‖ ·‖f+g‖ ≤‖f‖ +‖g‖ 回顾数列的Minkowski不等式，设数列a 和b ， 有‖a +b ‖ ≤‖a ‖ +‖b ‖ = a 考虑数列a 和b ，其中设a =‖ u‖ 和b =‖ v‖ 利用上面数列的Minkowski不等式，可以得到‖a ‖ = a = ‖ u‖ ，‖b ‖ = b = ‖ v‖ ，以及‖a +b ‖ = a +b = ‖ u‖ +‖ v‖ 再利用上面的分析及其记号，我们还可以得到 ‖u+v‖ ≤ ‖ u‖ +‖ v‖ =‖a +b ‖ ≤‖a ‖ +‖b ‖ = ‖ u‖ + ‖ v‖ =‖u‖m，p+‖v‖m，p 因此不等式（3.1）成立。这也就证明了Sobolve空间中的范数满足三角不等式，证毕。 关于Sobolve空间中的范数有以下两点说明： （1）如果对于多重指标和偏导数不熟悉的话，我们不妨考虑一元函数u，范数（1.1）就可以改写成： ‖u‖ = u （x） = ‖u ‖ （3.2） 其中u （x）表示函数u的n阶导数， u （x）=u（x）。特别的，当p=2，m=1以及Ω=[a，b]时，范数（3.2）就变成了 ‖u‖ = u （x） dx = u （x） dx+ u '（x） dx = u （x） dx+u '（x） dx （2） 在Sobolve空间中还可以定义与‖·‖ 等价的范数，‖u‖' = ‖ u‖ = u（x） dx 对于上述中的范数‖·‖' 很容易验证它满足三角不等式，事实上‖·‖' 与‖·‖ 是等价的。 参考文献： [1]张恭庆，林源渠. 泛函分析讲义[M].北京：科技出版社，2007. [2]陈志华. 近代分析基础[M].北京：科学出版社，2006.