导数复习几点例谈

冯厚发

(南京市雨花台中学,江苏 南京 210000)

导数复习几点例谈

冯厚发

(南京市雨花台中学,江苏 南京 210000)

导数教学是函数教学的升华，运用导数知识可以将函数模型的研究上升到更高的层面，解决各种高次函数、复合函数等一系列复杂函数.如何运用导数解决相关问题，在复习中注重哪些知识层面，本文做一番简单的梳理．

导数；函数；基础；单调性；最值；分类；多元降解

有了导数，中学数学对于函数的学习向前大大推进了一大步．以往的初等基本函数可以各式各样的进行整合，对于学生理解函数、解决函数问题有了更广阔的空间．导数的基本知识并不是太复杂，如何利用好这些基本知识以及所涉及到的其他相关数学思想，才是导数复习最为关注的地方．本文结合基本的知识使用，利用一定的知识层面、数学思想方法，将导数复习做一番合理的梳理，力争让导数知识在解决函数问题时更为有效．

一、注重几何意义

导数最基本的几何意义是切线的斜率，对于基本知识的理解需要从几何意义出发．

问题1 若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为________．

分析导数的几何意义是在该点处切线的斜率，中学数学教材对此有明确的推导和证明，要掌握和理解几何意义是问题解决的最基本保障．与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0，即y=x4在某一点的导数为4，而y′=4x3，所以y=x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x-y-3=0．

二、注重单调最值

导数的作用在于方便地解决了函数单调性，与定义研究单调性不同的是，导数站在更高的系统的角度思考了函数的变化，进而方便地获得了函数的最值．

x00，1/2()1/21/2，1()1f′(x)-0+f(x)-7/2↘-4↗-3

三、注重分类讨论

对于定值研究，学生并没有特别的困难，但是对于变量的引入，往往产生了大量的讨论，这也是很多学生开始陷入导数复习困扰的地方．学会变量的如何介入讨论，是导数复习的关键．

1.二次项系数的切入

问题3 已知函数f(x)=plnx+(p-1)x2+1，当p>0时，讨论函数f(x)的单调性．

显然，本题的讨论主要是从二次项系数出发的，与二次函数讨论一致，二次项系数是突破本题的关键．

2.对称轴引发的思考

分析由已知得g(x)=ln(x+1)+3-(-2x2+4ax+3)=ln(x+1)+2x2-4ax，

综上,实数a的取值范围是a≤0．

对于导函数来说，二次项系数为定值时，一次项系数为变量，从而从这里介入讨论是最为合适的．

四、注重多元降解

导数考查的更高层次是多元变量的介入，当遇到多元变量时，我们如何利用导数解决问题？从思想角度来说，笔者将其称之为多元变量讲解，即多元转少元．

问题5 函数f(x)=alnx+x2+bx存在极大值．(1)若a=1，求b的取值范围；(2)求a的最大值，对满足题意的所有的b而言，函数f(x)的极大值恒小于0．

总之，导数是一种工具性的知识，和向量知识一样，其解决初等数学问题的时候，大大向前推进了一大步，这是我们学习导数的主要目的．复习导数最为关键的是依赖其本质出发，本文阐述的前两个方面就是点出了这两点，即如何思考运用几何意义和单调性最值的解决，是导数最基本的工具性作用；进一步运用导数是借助其工具性作用和思想方法的结合，笔者认为比较重要的是分类讨论思想和多元降解方式的处理，这是导数复习问题中较难掌控的因此值得复习教学多加以关注．

[1]柴贤亭.数学教学中的导数问题设计[J].数学教学研究,2015(10).

[2]鲍建生等.导数变式教学研究[J].数学教学,2013(1).

[责任编辑：杨惠民]

2017-07-01

冯厚发(1971.04-)，男，江苏南京人，大学本科，从事数学教学.

G632

A

1008-0333(2017)28-0005-02