基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中应用分析

2017-11-23廖凤紫

数理化解题研究 2017年28期

关键词：波利亚极大值等式

廖凤紫

(广西融水苗族自治县中学，广西柳州 545300)

基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中应用分析

廖凤紫

(广西融水苗族自治县中学，广西柳州 545300)

波利亚的解题模型是在世界上流传较广且影响深刻的解题模型，在数学中尤其是高中数学中被广泛运用.本文通过介绍波利亚模型的主要内容，以及对具体数学题型的运用来阐述该模型在高中数学解题中的作用，以帮助学生提高解题效率，教师完善教学工作.

波利亚解题模型；高中数学；应用分析

1.何为波利亚解题模型

波利亚解题模型是波利亚的经典书目《怎样解题》中的重要理论，他将该模型分为四个部分：第一，看到数学题目时应先理清题目思路，看清题目的已知、未知还有所求问题；第二，分析题目的各个要素包括已知、未知、问题之间的相互联系，找到解题的方向所在，形成基本的解题策略；第三，将解题策略具体运用于数学题目中；第四，对整个解题过程包括理解题目、思路的形成、计划的执行检验评价.

2.波利亚解题模型在高中数学解题中的具体运用

波利亚的解题模型的重要思想除了包括上述的四个部分，一般被称为“怎样解题表”，还包括更加细致的四个模型，分别是双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式.这四种解题模式被更多的运用于数学实际解题过程中.下面将结合具体数学事例进行详细阐释.

(1)双轨迹模式双轨迹模式，顾名思义，要运用两条轨迹来解题，类似于换位思考的思想.譬如我们确定三角形ABC，已知为边a、点B、点C，未知为点A，问怎么确定点A.换种方式理解我们发现，点A即是以点B为圆心、以边c为半径的圆和以点C为圆心、以边b为半径的圆的交点.这里就把问题归结为一个点，再把已知的条件转换成两个部分，每一个部分都可以看成是点的轨迹，结论即在两条轨迹的交点处.

(2)笛卡尔模式笛卡尔在数学的解析几何方面做出了重要贡献，在解决数学问题的过程中也形成了独特的数学思想.他认为，所有的数学问题都可以转换成代数问题进行解决，而所有的代数问题又可以转换成解方程的思想.波利亚利用了这一思想，但又加以具体化，具体运用通过具体的高中数学题目来加以阐释.

例1 已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx在x处有极大值4,它的导函数的图象过点(2,0)，(4,0)，并且导函数的图象有最小值，求a、b、c的值.

该题目应先求出极大值x的值，通过导函数的性质我们很容易就能分析出f(x)的极大值x为1，接下来就可以运用笛卡尔解方程的思想来进行求解a、b、c.已知一：f(x)在(1,5)处取得极大值，可列出方程a+b+c=4；已知二：f(x)的导函数3ax2+2bx+c经过点(2,0)，(4,0)，可列出两个方程12a+4b+c=0，48a+8b+c=0，联立三个方程，可分别求出a、b、c的值.

(3)递归模式在解决数学问题中，递归模式概括的说就是运用有限的已知条件来获得更多的已知，该模式多用于解决高中数学中的数列问题，学生可以利用此模式迅速的找到解题方法.

例2 已知S=1+4+9+16+25+36+…+n2，求S的值.

我们可以从已知得出这样一个等式(n+1)3=n3+3n2+3n+1，可列出(n+1)3-n3=3n2+3n+1，然后再将实际数值代入式子中，就可以得到23-13=3×12+3×1+1和33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×22+3×3+1,…这样我们就可以归纳出这样的规律：(n+1)3-n3=3n2+3n+1.此时将两边相加就可得到(n+1)3-1=3S2+3S1+n，求出S1的代数式，再代入最初列的等式，即可得出S的结果.

(4)叠加模式在高中数学中，有许多题目的条件很多，这就会使学生错误的认为该题目难度较大，不好驾驭，但经过仔细分析发现，许多同学只是被绊倒在分析题干上，这个时候就需要我们耐心的对题目的多个已知进行叠加，找出它们的联系，直到最后找到解题思路.