数学中的“任意”与“存在”

阎宜伟

(河南省许昌市建安区教师进修学校,河南 许昌 461100)

数学中的“任意”与“存在”

阎宜伟

(河南省许昌市建安区教师进修学校,河南 许昌 461100)

数学中有一类题目含有任意、存在字样，很多学生对此类型题不知如何下手.本文对任意类即恒成立问题、存在性问题、任意与存在双变量混在一起三种类型分别举例说明解题思路及过程，希望能给大家启发.

任意 存在 解题 策略

一、恒成立问题

A.(-∞，0] B.(-∞，1]

C.[-2，1] D.[-2，0]

分析本题是对任意x∈R不等式恒成立问题.考查二次函数、对数函数、分段函数等知识及考生的转化能力和数形结合思想解答问题的能力.

易知函数f(x)=-x2+2x的图象开口向下且零点为0和2，但由于x≤0，故只取y轴左侧开口向下部分图象.取绝对值后把图象沿x轴对折上去(解析式为f(x)=x2-2x,x≤0)；当x>0时f(x)=ln(x+1)的图象是函数f(x)=lnx的图象向左平移1个单位长度后仅取y轴右侧部分，由此f(x)图象确定.由题意f(x)≥ax要想恒成立，只需f(x)图象在直线y=ax上方即可.借助导数求出f(x)=x2-2x,x≤0在x=0处切线的斜率为-2，因此选D.

例2 已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1(k∈R)，若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围.

分析可采取分离参数构造函数求最值来处理.

恒成立问题常见的解法是利用转化和化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、分离变量构造函数法等去解决.

二、“存在性”问题

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题可以和数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识联系.解此类问题的一般思路是：假设存在、推理计算、得出结论，若能求出结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断.

分析先求出函数f(x)的最小值，然后令最小值等于0，建立关于a的方程，从而把问题转化为方程解的存在性问题进而求解.

综上，这样的实数a不存在.

三、题目中同时出现两个变量，且两个变量以“任意(∀)”和“存在(∃)”形式出现

例4 已知函数f(x)=lnx-x+a,g(x)=lnx-ax,a∈R.若∃x1,x2∈1,e，使f(x1)≤g′(x2)+a成立，其中e为自然对数的底数.求a的取值范围.

∴当x∈0,1时f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈1,+∞时，f′(x)<0，f(x)单调递减.

∴1-e+a≤1，即a≤e.

分析注意本类型题是一个“∃”，一个“∀”，它不同于两个都是“∀”的情形，也就是说若本题条件“∃x1∈0,2”改为“∀x1∈0,2”时，解题思路为要使f(x1)≥g(x2)恒成立，保证f(x1)的最小值不小于g(x2)的最大值即可；而本题思路应该是让f(x1)的最大值不小于g(x2)的最大值.

∴当x∈0,1时，f′(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈1,2时，f′(x)<0，f(x)单调递减

∴在0,2上，f(x)max=f(1)=-2.

[1]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准试验教科书( 必修)数学4(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2014.

[责任编辑：杨惠民]

2017-07-01

阎宜伟(1970-)，男，河南郑州人，本科，讲师，主要研究数学教学及课改新理念.

G632

A

1008-0333(2017)28-0022-02