由递推式求数列通项公式的四种常见类型研究

李曦霞

(昆明官渡区第二中学,云南 昆明 650041)

由递推式求数列通项公式的四种常见类型研究

李曦霞

(昆明官渡区第二中学,云南 昆明 650041)

数列是高中数学的重要内容之一，而数列问题中出现最频繁的要数是求数列通项公式.本文结合高中新课改教材(人教A版)及最新高考大纲要求，谈一谈由递推式求数列通项公式的四种常见类型方法，利于培养学生的创造力、观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣.

递推式 数列 通项公式

数列是高中数学的重要内容之一，是连接初等数学与高等数学的桥梁，在历年高考试题中占有一定的比例.而数列问题中出现最频繁的要数是求数列通项公式.如何求数列的通项公式成为解决数列问题的关键.但是求数列通项往往灵活性较强，特别是由数列的递推式找数列的通项公式，直接求解有时比较困难，而在一些综合性比较强的数列问题中，求解过程往往方法不一，技法较强，给初学者在学习过程中带来困惑.本文从这点出发，结合高中新课改教材(人教A版)及最新高考大纲要求，谈一谈由递推式求数列通项公式的四种常见类型，希望能对初学者有所帮助.

类型一形如an+1=an+f(n)

递推式形如an+1=an+f(n)，可转化为an+1-an=f(n)，与等差数列的递推式相似，可仿照等差数列求通项公式的方法“累加法”来求其通项公式.

由an+1=an+f(n),

有an+1-an=f(n),

a2-a1=f(1),

a3-a2=f(2),

a4-a3=f(3),

…

an-an-1=f(n-1) (n≥2).

以上n-1个式子相加，

an-a1=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1),

类型二形如an+1=f(n)·an(f(n)≠0,an≠0)

以上n-1个式子相乘，

故an=a1f(1)f(2)f(3)…f(n-1) (n≥2).再对a1进行检验.

类型三形如an+1=pan+q的递推式

当p=1时，数列为等差数列；当p≠0,q=0时，数列为等比数列.

当p≠1,p≠0,q≠0时，令an+1-λ=p(an-λ)，展开整理，

an+1=pan+(1-p)λ.

对比an+1=pan+q有(1-p)λ=q，

例1 已知数列an满足：a1=1，an+1=pan+q，且a2=3，a4=15，求p,q的值及数列an的通项公式.

解得p=-3，q=6 或p=2，q=1.

由(2)中an+1=2an+1，有an+1+1=2(an+1)，所以an+1+1是以a1+1=2为首项，公比q=2的等比数列， 故an=2n-1.

类型四形如an+1=pan+f(n) (p≠0)的递推式

将上式两边同时除以pn+1，得

例2 数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2Sn+n2-n+1 (n≥1),求数列an的通项公式.

解由an+1=2Sn+n2-n+1, (1)

有an=2Sn-1+(n-1)2-(n-1)+1 (n≥2) (2).

(1)-(2)得：an+1-an=2an+2n-2 即an+1=3an+2n-2.

∴b2-b1=0,

…

以上n-1个式子相加，

经检验此式对b1也成立,

由数列的递推式求数列的通项公式，需要渗透多种数学思想方法，尤其转化思想，类型三与类型四就是通过构造新数列，把不熟悉的数列转化为熟悉的等差或等比数列或常见类型一或类型二，特别是即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，除了采用不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，还可以通过构造新数列转化为上述四种类型来处理，有助于初学者理解数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促进学生对知识进一步掌握，同时有利于培养学生的创造力、观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣.

[1]王朝银.高中数学步步高大一轮复习讲义[M]，哈尔滨：黑龙江教育出版社,2015.

[2]周贞雄.百试百乐专题考王高中版[M].长沙：湖南教育出版社，2005.

[责任编辑：杨惠民]

2017-07-01

李曦霞(1971-)，女，汉族，湖南人，学士，中学一级教师，从事高中数学教学.

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1008-0333(2017)28-0011-02