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完全二部图优美性质探索

2017-11-22把丽娜刘信生

大连理工大学学报 2017年6期
关键词:条边图论标号

把丽娜, 刘 倩, 刘信生, 姚 兵

( 西北师范大学 数学与统计学院, 甘肃 兰州 730070 )

完全二部图优美性质探索

把丽娜, 刘 倩, 刘信生, 姚 兵*

( 西北师范大学 数学与统计学院, 甘肃 兰州 730070 )

图论的二部图及其标号在实际应用中较多,尤其最近图标号被应用于新型的图形密码设计.首先构造出了组合完全二部图与串联完全二部图,发现了一种叫做奇边魔幻全标号的标号,并给出了组合完全二部图具有奇边魔幻全标号的证明.此外,得出了串联完全二部图是优美图、(k,d)-优美图的结论.

树;完全二部图;优美标号;(k,d)-优美标号

0 引 言

图的标号设计是图论中具有实际应用背景的研究课题.在图论的研究中,图的第一个标号问题是在20世纪60年代由Ringel[1]提出的,人们根据应用的需要发现了许多关于简单图的标号和猜想.优美图是图的标号理论中十分重要的课题之一.1966年,Rosa在其关于图同构分解问题的研究中提出了关于优美树的猜想,认为“所有的树图都是优美的”[2].猜想的提出引起了图论研究者的广泛关注,使得包括优美标号、奇优美标号在内的图标号问题研究得到了空前的发展.图的优美标号问题是组合数学研究专题,它不仅属于图论的领域而且在设计理论的范畴.优美图在物流运输、编码理论、雷达、天文学、电路设计等方面都有应用[3].优美图是图论中的一个重要分支,研究优美图标号问题有助于研究其他类型的图标号问题,定义一个图的顶点标号是图的顶点集到整数集的映射,边标号是图的边集到整数集的映射[4].根据对映射的不同要求,新的图标号以及新问题不断涌现.经过多年的研究,目前已经有许多关于优美图的研究成果,也导致了一大批新的标号产生.例如:(k,d)-优美标号、边魔幻标号、反魔幻标号、幸福标号及和谐标号等[5].

一个图G是二部图,如果它的顶点集V(G)可以分成两个子集X和Y,且图G中的每一条边都有一个顶点在X中,另一个顶点在Y中,图G可以记作G(X,Y).如果在二部图G(X,Y)中,X中的每个顶点都与Y中每个顶点相连,则称G(X,Y)为完全二部图,若X中有m个顶点,Y中有n个顶点,则完全二部图G(X,Y)记为Km,n[6].

本文所提到的图都是简单的、无向的并且是有限的,所定义的记号同文献[4].为叙述方便,把一个有p个顶点和q条边的图叫做(p,q)-图G.设(p,q)-图G有一个映射f:V(G)→[0,q].记f(V(G))={f(u):u∈V(G)},f(E(G))={f(uv)=|f(u)-f(v)|:uv∈E(G)}.

本文中用到的[m,n]是指集合{m,m+1,m+2,…,n},即从m到n的自然数;[s,t]o表示奇数集合{s,s+2,s+4,…,t},即从s到t的全体奇数;[k,l]e表示偶数集合{k,k+2,k+4,…,l},即从k到l的全体偶数[7].文中未给出的符号及定义参见文献[4].

1 基本概念

定义1[5-7]如果(p,q)-图G有一个映射f:V(G)→[0,q],使得图G中任意两个顶点x、y满足f(x)≠f(y)且定义边uv∈E(G)的标号为f(uv)=|f(u)-f(v)|.当{f(uv):uv∈E(G)}=[1,q]时,则称f为图G的一个优美标号,图G为优美图.

定义2[8]对于给定的(p,q)-图G,如果存在一个映射f:V(G)→[0,k+(q-1)d],使得图G中任意两个顶点x、y满足f(x)≠f(y)且边标号集合f(E(G))={k,k+d,k+2d,…,k+(q-1)d},则称f为图G的一个(k,d)-优美标号,图G为(k,d)-优美图.

定义3对于给定的(p,q)-图G,如果存在一个映射f:V(G)→[0,2q-1],使得图G中任意两个顶点x、y满足f(x)≠f(y)且定义边uv∈E(G) 的标号为f(uv)=f(u)+f(v).当{f(uv):uv∈E(G)}=[1,2q-1]o时,则称f为图G的一个奇边魔幻全标号,图G为奇边魔幻图.

图1是组合完全二部图的示意图,它由支架与完全二部图组成,而支架是由顶点a1,a2,…,as依次连接,完全二部图则是由图Gi(i∈[1,s])构成,Gi即为Km,n.其中V(Gi)={ai,bi,t,ci,k|t∈[1,m],k∈[1,n],i∈[1,s]},E(Gi)={aibi,1,bi,tci,k,aiai+1|t∈[1,m],k∈[1,n],i∈[1,s]},再将每个完全二部图Gi中的ai(i∈[1,s])相连.

图1 一个组合完全二部图

图2是串联完全二部图示意图,它由n个完全二部图依次连接而成,完全二部图则是由图Gi构成,Gi即为Kmi,ni,其中V(Gi)={bi,ti,ci,ki|i∈[1,s],ti∈[1,mi],ki∈[1,ni]},E(Gi)={bi,tici,ki,bi,1ci-1,n|i∈[1,s],ti∈[1,mi],ki∈[1,ni]}.

图2 一个串联完全二部图

2 主要结论

定理1组合完全二部图具有奇边魔幻标号.

证明设图G是组合完全二部图,定义图G的一个标号f:令f(b1,1)=0.对i∈[1,s],t∈[1,m],k∈[1,n]分情形证明.

若m=3,n=4.当s=1时,有

f(b1,2)=8,f(b1,3)=16;f(c1,1)=1,

f(c1,2)=3,f(c1,3)=5,f(c1,4)=7;

f(b1,tc1,k)=2(t-1)n+(2k-1);

f(a1b1,1)=f(b1,3c1,4)+2

即结论成立.

当s≥2,i为奇数,且m、n为任意数时,边标号如下:

f(bi,tci,k)=2(mn+2)(i-1)+2n(t-1)+

2k-1;

f(aibi,1)=2mn+1+2(mn+2)(i-1);

f(aiai+1)=2mn+3+2(mn+2)(i-1)

当i为偶数时,边标号如下:

f(bi,tci,k)=2m+7+2(mn-1)-2(k-1)-

2(t-1)n+2(mn+2)(i-2);

f(aibi,1)=2mn+5+2(mn+2)(i-2);

f(aiai+1)=2mn+9+2(mn-1)+

2(mn+2)(i-2)

顶点标号如下:

f(a1)=f(a1b1,1)-f(b1,1);

f(ai+1)=f(aiai+1)-f(ai);

f(bi,1)=f(aibi,1)-f(ai);

f(ci,k)=f(bi,1ci,k)-f(bi,1);

f(bi,t)=f(bi,tci,k)-f(ci,k);

f(c1,k)=f(b1,1c1,k)-f(b1,1);

f(b1,t)=f(b1,tc1,k)-f(c1,k)

根据上述标号可知,图G的边f(bi,tci,k)、f(aibi,1)、f(aiai+1)标号均为奇数.

下证所有边标号在[1,2q-1]o中.在上述的公式中可知,当i=1时,f(b1,1c1,1)=1是最小的,f(b1,1c1,2)=3,f(b1,1c1,3)=5.类推得f(b1,1c1,n)=2n-1,则这n条边的边标号均在[1,2n-1]o中.

将f(b1,1c1,1)代入上述式中可得f(b1,2c1,1)=2n+1,f(b1,2c1,2)=2n+3,…,f(b1,2c1,n)=4n-1,则这n条边的边标号被包含在[2n+1,4n-1]o里.

由公式知,f(b1,mc1,1)=2n(m-1)+1,f(b1,mc1,2)=2n(m-1)+3,…,f(b1,mc1,n)=2nm-1,由f(b1,mc1,1),f(b1,m,c1,2),…,f(b1,mc1,n)构成的集合为[2n(m-1)+1,2nm-1]o.

当i=1时,f(a1b1,1)=2nm+1,f(a1a2)=2nm+3.

当i=2时,f(b2,mc2,n)=2nm+7,f(b2,mc2,n-1)=2nm+9,…,f(b2,mc2,1)=2n(m+1)+5,显然n条边的边标号所在的集合为[2nm+7,2n(m+1)+5]o.且f(a2b2,1)=2nm+5.

当i=2,t=m-1,k=n时,f(b2,m-1c2,n)=2n(m+1)+7,f(b2,m-1c2,n-1)=2n(m+1)+9,依此类推,得出f(b2,m-1c2,1)=2n(m+2)+5,有

{f(b2,m-1c2,n),f(b2,m-1c2,n-1),…,f(b2,m-1c2,1)}=[2n(m+1)+7,2n(m+2)+5]o

当i=2,t=1,k=n时,f(b2,1c2,n)=4mn-2n+7,f(b2,1c2,n-1)=4mn-2n+9,…,f(b2,1c2,1)=4mn+5,则这n条边的边标号包含在[4mn-2n+7,4mn+5]o中.且f(a2a3)=4mn+7.

当i=3时,f(b3,1c3,1)=4mn+9.依次下去标出整个图.若s为奇数,则最大的边标号为f(asbs,1)=2(smn+2s-1)-1;若s为偶数,则最大的边标号为f(bs,1cs,1)=2(smn+2s-1)-1.

由上述标号可得f(V(G))→[0,2q-1],f(E(G))=[1,2q-1]o(其中q=smn+2s-1,表示图的总边数),f(uv)=f(u)+f(v).则f是一个奇边魔幻全标号,图G是奇边魔幻图.

一个具有奇边魔幻全标号的组合完全二部图在图3中给出.

图3 奇边魔幻全标号图

定理2若图G是串联完全二部图,则图G有优美标号.

证明对于完全二部图Km,n,其中X中有m个点,Y中有n个点,则完全二部图Km,n有mn条边,有如图4所示的优美标号.设f为图G的标号.

f(b1,2)=1,f(b1,3)=2;f(c1,1)=31,

f(c1,2)=28,f(c1,3)=25,f(c1,4)=22;

f(b2,1)=3,f(b2,2)=4,f(b2,3)=5;

f(c2,1)=21,f(c2,2)=18,f(c2,3)=15,

f(c2,4)=12,f(c2,5)=9,f(c2,6)=6;

f(b2,3c2,6)=1,f(b2,2c2,6)=2,f(b2,1c2,6)=3;

f(b2,3c2,5)=4,f(b2,2c2,5)=5,f(b2,1c2,5)=6;

f(b2,3c2,4)=7,f(b2,2c2,4)=8,f(b2,1c2,4)=9;

f(b2,3c2,3)=10,f(b2,2c2,3)=11,f(b2,1c2,3)=12;

f(b2,3c2,2)=13,f(b2,2c2,2)=14,f(b2,1c2,2)=15;

f(b2,3c2,1)=16,f(b2,2c2,1)=17,f(b2,1c2,1)=18;

f(b2,1c1,4)=19;f(b1,3c1,4)=20,f(b1,2c1,4)=21,

f(b1,1c1,4)=22;f(b1,3c1,3)=23,f(b1,2c1,3)=24,

f(b1,1c1,3)=25;f(b1,3c1,2)=26,f(b1,2c1,2)=27,

f(b1,1c1,2)=28;f(b1,3c1,1)=29,f(b1,2c1,1)=30,

f(b1,1c1,1)=31

可知它满足优美标号的条件.

图4 一个完全二部图

推广到一般情况可按以下过程进行顶点标号:

f(b1,1)=0;f(bi,t)=(i-1)m+(t-1);

f(ci,ki)=f(ci-1,n)-1-(ki-1)m

可按以下过程进行边标号:f(ci,kibi,t)=f(ci,ki)-f(bi,t);f(ci,nbi+1,1)=f(ci,n)-f(bi+1,1).其中i∈[1,s],t∈[1,m],ki∈[1,ni].

可知,f(b1,1c1,1),f(b1,2c1,1),f(b1,3c1,1),…,f(b1,mc1,1)分别是q,q-1,q-2,…,q-m+1;f(b1,1c1,2),f(b1,2c1,2),f(b1,3c1,2),…,f(b1,mc1,2)分别等于q-m,q-m-1,q-m-2,…,q-2m+1;依次下去,f(b1,1c1,n1),f(b1,2c1,n1),f(b1,3c1,n1),…,f(b1,mc1,n1)的值是q-(n1-1)m,q-(n1-1)m-1,q-(n1-1)m-2,…,q-n1m+1;…;f(b2,1c1,n1)=q-n1m,f(b2,1c2,1),f(b2,2c2,1),f(b2,3c2,1),…,f(b2,mc2,1)为q-n1m-1,q-n1m-2,q-n1m-3,…,q-(n1+1)m.

边b2,1c2,2,b2,2c2,2,b2,3c2,2,…,b2,mc2,2所对应的标号分别为q-(n1+1)m-1,q-(n1+1)m-2,q-(n1+1)m-3,…,q-(n1+2)m;依次下去,f(b2,1c2,n2),f(b2,2c2,n2),f(b2,3c2,n2),…,f(b2,mc2,n2)分别为q-(n1+n2-1)m-1,q-(n1+n2-1)m-2,q-(n1+n2-1)m-3,…,q-(n1+n2)m;f(b2,mc3,1)=q-(n1+n2)m-1,…,f(bs-1,mcs,1)=nsm+1,f(bs,1cs,1),f(bs,2cs,1),f(bs,3cs,1),…,f(bs,mcs,1)与数值nsm,nsm-1,nsm-2,…,(ns-1)m+1对应相等;f(bs,1cs,2),f(bs,2cs,2),f(bs,3cs,2),…,f(bs,mcs,2)的值是(ns-1)m,(ns-1)m-1,(ns-1)m-2,…,(ns-2)m+1;依次下去,f(bs,1cs,ns),f(bs,2cs,ns),f(bs,3cs,ns),…,f(bs,mcs,ns)与m,m-1,m-2,…,1对应相等.

若n=3,m1=4,m2=6.当s=2时,有

f(b1,1)=0,f(b1,2)=1,f(b1,3)=2,

f(b1,4)=3;f(c1,1)=31,f(c1,2)=27,

f(c1,3)=23;f(b2,1)=4,f(b2,2)=5,

f(b2,3)=6,f(b2,4)=7,f(b2,5)=8,

f(b2,6)=9;f(c2,1)=22,f(c2,2)=16,

f(c2,3)=10;f(b2,6c2,3)=1,f(b2,5c2,3)=2,

f(b2,4c2,3)=3,f(b2,3c2,3)=4,f(b2,2c2,3)=5,

f(b2,1c2,3)=6;f(b2,6c2,2)=7,f(b2,5c2,2)=8,

f(b2,4c2,2)=9,f(b2,3c2,2)=10,f(b2,2c2,2)=11,

f(b2,1c2,2)=12;f(b2,6c2,1)=13,f(b2,5c2,1)=14,

f(b2,4c2,1)=15,f(b2,3c2,1)=16,f(b2,2c2,1)=17,

f(b2,1c2,1)=18;f(b2,1c1,3)=19;f(b1,4c1,3)=20,

f(b1,3c1,3)=21,f(b1,2c1,3)=22,f(b1,1c1,3)=23;

f(b1,4c1,2)=24,f(b1,3c1,2)=25,f(b1,2c1,2)=26,

f(b1,1c1,2)=27;f(b1,4c1,1)=28,f(b1,3c1,1)=29,

f(b1,2c1,1)=30,f(b1,1c1,1)=31

可知它满足优美标号的条件.

当s>2时,有以下标号过程:

f(b1,1)=0,f(b1,t1)=t1-1,

f(b2,t2)=n1+(t2-1),

f(b3,t3)=(n1+n2)+(t3-1),

f(c2,1)=f(c1,n)-1,

f(c2,k)=f(c2,1)-m2(k-1),

f(ci,1)=f(ci-1,n)-1,

f(ci,k)=f(ci,1)-mi(k-1)

图G的边标号按以下方程进行:

f(ci,kbi,t)=f(ci,k)-f(bi,t);

f(ci,nbi+1,1)=f(ci,n)-f(bi+1,1)

有f(b1,1c1,1),f(b1,2c1,1),f(b1,3c1,1),…,f(b1,m1c1,1) 分别等于q,q-1,q-2,…,q-m1+1;边b1,1c1,2,b1,2c1,2,b1,3c1,2,…,b1,mc1,2的标号分别为q-m1,q-m1-1,q-m1-2,…,q-2m1+1;…;f(b1,1c1,n1),f(b1,2c1,n1),f(b1,3c1,n1),…,f(b1,m1c1,n1) 分别为q-(n-1)m1,q-(n-1)m1-1,q-(n-1)m1-2,…,q-nm1+1;依次下去,f(b2,1c1,n)=q-nm1,f(b2,1c2,1),f(b2,2c2,1),f(b2,3c2,1),…,f(b2,m2c2,1)的值为q-nm1-1,q-nm1-2,q-nm1-3,…,q-nm1-m2;f(b2,1c2,2),f(b2,2c2,2),f(b2,3c2,2),…,f(b2,m2c2,2) 分别为q-nm1-m2-1,q-nm1-m2-2,q-nm1-m2-3,…,q-n(m1+m2);…;f(bs,1cs-1,n)=nms+1,f(bs,1cs,1),f(bs,2cs,1),f(bs,3cs,1),…,f(bs,mscs,1)与nms,nms-1,nms-2,…,(n-1)ms+1对应相等;f(bs,1cs,2),f(bs,2cs,2),f(bs,3cs,2),…,f(bs,mscs,2)分别等于(n-1)ms,(n-1)ms-1,(n-1)ms-2,…,(n-2)ms+1;依次下去,f(bs,1cs,n),f(bs,2cs,n),f(bs,3cs,n),…,f(bs,mcs,n)的值是ms,ms-1,ms-2,…,1.

若m1=4,m2=6,n1=3,n2=2.当s=2时,得

f(b1,1)=0,f(b1,2)=1,f(b1,3)=2,

f(b1,4)=3;f(c1,1)=25,f(c1,2)=21,

f(c1,3)=17;f(b2,1)=4,f(b2,2)=5,

f(b2,3)=6,f(b2,4)=7,f(b2,5)=8,

f(b2,6)=9;f(c2,1)=16,f(c2,2)=10;

f(b2,6c2,2)=1,f(b2,5c2,2)=2,f(b2,4c2,2)=3,

f(b2,3c2,2)=4,f(b2,2c2,2)=5,f(b2,1c2,2)=6;

f(b2,6c2,1)=7,f(b2,5c2,1)=8,f(b2,4c2,1)=9,

f(b2,3c2,1)=10,f(b2,2c2,1)=11,f(b2,1c2,1)=12;

f(b2,1c1,3)=13;f(b1,4c1,3)=14,f(b1,3c1,3)=15,

f(b1,2c1,3)=16,f(b1,1c1,3)=17;f(b1,4c1,2)=18,

f(b1,3c1,2)=19,f(b1,2c1,2)=20,f(b1,1c1,2)=21;

f(b1,4c1,1)=22,f(b1,3c1,1)=23,f(b1,2c1,1)=24,

f(b1,1c1,1)=25

可知它满足优美标号的条件.推广到一般情况,可按以下过程进行顶点标号:

f(b1,1)=0,f(b1,t1)=t1-1;

f(b2,t2)=n1+(t2-1),

f(b3,t3)=n1+n2+(t3-1),

f(c2,1)=f(c1,n1)-1,

f(c2,k2)=f(c2,1)-m2(k2-1),

f(ci,1)=f(ci-1,ni-1)-1,

f(ci,ki)=f(ci,1)-mi(ki-1)

由上述顶点标号可推导出图G的边标号:

f(ci,kibi,ti)=f(ci,ki)-f(bi,ti);

f(ci,nibi+1,1)=f(ci,ni)-f(bi+1,1)

按上述公式标号可知,第一个完全图的边标号:f(b1,1c1,1),f(b1,2c1,1),…,f(b1,m1c1,1),…,f(b1,m1c1,2),…,f(b1,m1c1,n1)分别为q,q-1,…,q-m1+1,…,q-2m1+1,…,q-n1m1,f(b2,1c1,n1)=q-n1m1-1,按上面的顺序,串联完全二部图的第二个完全二部图的边标号在[q-(n1m1+n2m2-2,q-n1m1-2)]内,f(b3,1c2,n2)=q-(n1m1+n2m2-3),…,f(bs,1cs-1,n)=nms+1,f(bs,1cs,1),f(bs,2cs,1),f(bs,3cs,1),…,f(bs,mscs,1)分别为nms,nms-1,nms-2,…,(n-1)ms+1;f(bs,1cs,2),f(bs,2cs,2),f(bs,3cs,2),…,f(bs,mscs,2)为(n-1)ms,(n-1)ms-1,(n-1)ms-2,…,(n-2)ms+1;依次下去,f(bs,1cs-1,ns-1)=nsms+1,第s个完全二部图的边标号在[1,nsms]中.

综上,可得标号f满足f:V(G)→[0,q],f(E(G))=[1,q],则串联完全二部图G为优美图,f为图G的一个优美标号.

推论1每个串联完全二部图G都有(k,d)-优美标号.

证明类似定理1的分类,进行讨论.

g(b1,1)=f(b1,1)d,g(bi,t)=f(bi,t)d;

g(c1,1)=k+(f(c1,1)-1)d,

g(c1,k1)=k+(f(c1,k1)-1)d,

g(ci,ki)=(f(ci,ki)-1)+k;

g(ci,kibi,t)=g(ci,ki)-g(bi,t),

g(ci,nbi+1,1)=g(ci,n)-g(bi+1,1)

其中i∈[1,s],t∈[1,m],ki∈[1,ni].

g(b1,1)=f(b1,1)d,g(bi,ti)=f(bi,ti)d;

g(c1,1)=k+(f(c1,1)-1)d,

g(c1,k)=k+(f(c1,k)-1)d,

g(ci,k)=(f(ci,k)-1)d+k;

g(ci,kbi,ti)=g(ci,k)-g(bi,ti),

g(ci,nbi+1,1)=g(ci,n)-g(bi+1,1)

其中i∈[1,s],ti∈[1,mi],k∈[1,n].

g(b1,1)=f(b1,1)d,g(b1,t1)=f(b1,t1)d,

g(bi,ti)=f(bi,ti)d;

g(c1,1)=(f(c1,1)-1)d+k,

g(c1,k1)=(f(c1,k1)-1)d+k;

g(c2,1)=(f(c2,1)-1)d+k,

g(c2,k2)=(f(c2,k2)-1)d+k,

g(ci,1)=(f(ci,1)-1)d+k,

g(ci,ki)=(f(ci,ki)-1)d+k;

g(ci,kibi,ti)=g(ci,ki)-g(bi,ti),

g(ci,nibi+1,1)=g(ci,ni)-g(bi+1,1)

其中i∈[1,s],ti∈[1,mi],ki∈[1,ni].

综上,标号g满足g:V(G)→[0,k+(q-1)d] 和f(E(G))={k,k+d,k+2d,…,k+(q-1)d},则串联完全二部图为(k,d)-优美图,标号g为的它一个(k,d)-优美标号.

3 结 语

本文对完全二部图的一些性质做了简要总结,并且在其他标号的基础上研究出一类新的标号:奇边魔幻标号.先对奇边魔幻标号、组合完全二部图、串联完全二部图进行定义,对组合完全二部图、串联完全二部图的性质进行了简单分析,并且证明了组合完全二部图是奇边魔幻图,串联完全二部图是优美图.当然,本文是从最基本的方法出发,显然不够深刻,还需要大量的后续工作来进一步探寻奇边优美标号的性质,以及该标号和这类完全二部图在日常生活中的应用等,从而进一步完善部分完全图的各类标号.

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Explorationofgracefulnessofsomecompletebipartitegraphs

BALina,LIUQian,LIUXinsheng,YAOBing*

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)

The bipartite graphs of graph theory and graph labellings are widely used in practical applications, especially recently the graph labelling has been applied to design a new type of graphical password. Firstly, some complete bipartite graphs are constructed by combinatoric and series methods. A new labelling, called edge-odd-magical total labelling, is found and it is proved that the combinatoric complete bipartite graphs admit the edge-odd-magical total labelling. Moreover, series complete bipartite graphs are graceful, or (k,d)-graceful.

trees; complete bipartite graph; graceful labelling; (k,d)-graceful labelling

1000-8608(2017)06-0657-06

O157.5

A

10.7511/dllgxb201706016

2017-05-13;

2017-10-13.

国家自然科学基金资助项目(61163037,61163054,61363060).

把丽娜(1992-),女,硕士生,E-mail:917622578@qq.com;姚 兵*(1956-),男,教授,E-mail:yybb918@163.com.

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