寻图形之关联 搭模型之框架*——“一线三等角”模型中考试题归类赏析及启示

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(曙光中学，浙江 宁波 315040)

寻图形之关联搭模型之框架*
——“一线三等角”模型中考试题归类赏析及启示

●胡伟斌

(曙光中学，浙江 宁波 315040)

在2017 年的各地数学中考试卷中，涌现出不少可用同一类基本模型求解的试题． 这些试题虽呈现的背景、条件和问题互不相同，但解法类似，这就要求教师通过研究试题来挖掘并提炼其中蕴藏的基本模型，从而实现“掌握模型，举一反三，通一类题”．

一线三等角; 中考试题; 归类赏析

1 缘从何起

在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到广大数学教师的关注，而在众多的基本模型中，相似模型因其种类多、图形美、内涵丰富，常常成为各类公开课和展示课上的“嘉宾”．而“一线三等角”模型作为其中的“翘楚”，更是受到了许多中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈.其中有些试题，“一线三等角”直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开；另有部分试题，“一线三等角”并非直观呈现，而是隐藏在所给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地予以构造，挖掘出图中隐藏的“一线三等角”．但无论模型是“显”亦或“隐”，试题之精彩让笔者留下了深刻的印象．基于此，笔者收集并整理了2017年可用“一线三等角”模型求解的部分中考试题，并对其进行分类赏析，与同仁们分享．

2 模型呈现

如图1和图2，在△ABC和△CDE中，点C是直线BD上的点．若∠ACE=∠ABD=∠EDF，则△ABC∽△CDE．特别地，当AC=CE时，△ABC≌△CDE．

图1 图2

上述两个图呈现的是两种最典型的“一线三等角”模型，即同侧型和异侧型，两者所求证的结论均可通过导角证明．该模型最本质的特点为：有3个等角的顶点在同一条直线上，且这个角可以是锐角、直角或钝角．而随着角顶点位置的适当改变或角绕顶点旋转一定角度，常会产生许多和谐美观的图形，且结论仍然成立．正因如此，近年来各地命题专家们命制了许多可用“一线三等角”模型求解的中考试题，这些试题大都突出对学生能力与思维的考查，重视数学经验与思想方法的获得，常常具有较高的区分度．

3 试题赏析

类型1三角齐见，模型自现

图3

(2017年山东省潍坊市数学中考试题第18题)

分析因为∠A=∠EB′C=∠D=90°，且点A，B′，D在同一直线上，由“一线三等角”模型，得△AEB′∽△DB′C，则

若设AB′=x，则

CD=CD′=3x，

由此可得CB′=CB=AD=3x+2，

从而

B′D=2x+2.

易得

于是

进而

CB′=3B′E=7x-2=3x+2，

解得x=1，故矩形纸片ABCD的面积为15．

图4

(2017年四川省绵阳市数学中考试题第17题)

分析由于∠A=∠MDN=∠B，且点A，D，B在同一直线上，因此根据“一线三等角”模型可得△MAD∽△DBN，则

即

MA·DN=DB·MD=4MD，

故

评注以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．

类型2隐藏局部，小修小补

例3如图5，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为

( )

(2017年山东省泰安市数学中考试题第14题)

图5 图6

例4如图7，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于点A，B，已知点C(2，0)．

1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是______；

2)设点P为线段OB的中点，联结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是______．

(2017年浙江省丽水市数学中考试题第16题)

图7 图8

解得m=12．

评注上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显：均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．

类型3一角独处，两侧添补

(2017年湖南省株洲市数学中考试题第17题)

图9 图10

分析如图10，由于∠AOB=90°，因此过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D.由“一线三等角”模型可得△ACO∽△ODB，则

而k1=2S△ACO，k2=-2S△ODB，于是

事实上，该题亦可利用异侧型“一线三等角”(如图9，设AB交x轴于点E，则△AOE∽△OBE)求解，由于与上面的解法类似，这里不再赘述．

图11 图12

例6如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°.若CD=4，则△ABE的面积为

( )

(2017年湖北省鄂州市数学中考试题第10题)

分析如图12，由于∠BAE=45°，因此过点A作AD的垂线，在该垂线上分别找点M，N(其中点N在点A下方)，使得∠BMA=∠ENA=45°.过点E作MN的垂线，垂足为点F，延长CB交MN于点G．易知四边形ADCG为正方形，则

AG=CG=CD=4.

而AB=BC+AD，不难推知

AB=5，BG=3，BC=1.

由于∠BAE=∠M=∠N=45°，根据“一线三等角”模型可得△ABM∽△EAN，则

即

解得

于是

故

评注上述两道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．两道题实质上是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．

类型4线角齐藏，经验来帮

(2017年浙江省金华市数学中考试题第15题)

图13 图14

分析如图14，过点C作AC的垂线，交射线AB于点D，过点C作x轴的平行线，在该平行线上分别找点E，F，使得∠DEC=∠AFC=90°.由“一线三等角”模型及∠DAC=45°，得△DEC≌△CFA．又点A，B坐标分别为(2，3)，(0，2)，从而k=6，于是

于是

解得a1=-1，a2=2(舍去)，故点C的坐标为(-1，-6)．

例8如图15，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是______．

(2017年浙江省台州市数学中考试题第16题)

图15 图16 图17

此时

即

故

评注上述两道题实质上都以图形的旋转为问题的切入点，能较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时,自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架．两道题都意在寻求突破，体现分层考查，有着较好的考试信度与效度．

通过上述的例3～例8，不难发现：对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升．若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定线，搭框架”，让模型“现出原形”，则解题思路便会油然而生，豁然开朗．

4 教学启示

在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由同一类基本模型延伸而来的试题[1]，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利用在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进行挖掘与提炼.只有让学生学会自主地反思、推进、提炼，才能做到“掌握模型，举一反三，通一类题”，同时通过对一些基本模型和结论的挖掘，能更好地弄清问题的本质，为解决问题搭建好思维的“脚手架”，进而切实有效地提升学生的解题能力，发展学生的思维水平．当基本模型经过提炼并熟练应用后，教师应引导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究，通过让学生在拓展基本模型的过程中，感悟模型的本质，从而做到化题为型、串题成链、结题成网[1]，真正实现思维品质的提升．

[1] 姜晓翔．关注“模型教学” 提升“思维品质”[J]．中国数学教育:初中版，2017(5)：34-36；44．

2017-08-21

胡伟斌(1986-)，男，浙江宁波人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123． 1

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