关于小概率事件的认识以及应用

2017-11-17韩彦林

科技视界 2017年19期

韩彦林

【摘要】小概率事件在日常生活中比比皆是，它的发生给人们带来欢乐，也能带来灾难，所以要充分认识、研究小概率事件。小概率原理是人们在长期认识小概率事件过程中总结出来的一个基本原理：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。小概率原理在概率统计中具有较强的实用性，本文利用几个实例阐述了小概率原理在日常生活中的实际应用。

【关键词】小概率事件；小概率原理；假设检验

1 小概率事件

小概率事件，顾名思义就是概率很小的事件，一般情况下，人们把概率小于0.05的事件称为小概率事件。在日常生活中小概率事件数不胜举，比如，四川九寨沟县发生7.0级地震，南京地区出现日全食，飞机失事，某人买彩票中了头等奖等等都是小概率事件。在某些重要场合，当事件的发生会带来严重后果（飞机失事）时，概率值应选的更小一些比如0.001。

2 小概率事件的认识

虽然小概率事件发生的概率非常小，但是一旦发生，影响力都是非常巨大的，有些能给人们带来欢乐，有些能给人们带来灾难，所以小概率事件是不能忽视的，我们要抱着一种科学的态度去认真对待小概率事件，充分的认识和了解它。认识小概率事件应从两个方面来考虑，一方面，小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，这称为小概率原理，又称实际不可能原理，在生活中有著广泛的应用，例如人们明知道飞机失事会发生，而仍然选择乘坐飞机出行。另一方面，在大量重复独立试验中，小概率事件必然会发生[1]，这也从数学角度解释了“水滴石穿”，“常在河边走，哪有不湿鞋”，“只要有1%的希望，就要付出100%的努力”等经典名句。下面重点介绍小概率原理在日常生活中的实际应用。

3 小概率原理的应用

小概率原理是概率论中具有较强实用性的一个基本原理，总是在不经意间指导我们的工作和生活。

3.1 小概率原理在保险行业中的应用

小概率原理认为：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这一原理在保险公司制定保险业务时起到功不可没的作用。

例1 某地区有1万人参加了某保险公司的一项人身意外保险。已知该地区人身意外死亡的概率为0.0001，每人投保的保费为元，若投保人在一年内发生意外死亡，则保险公司赔偿万元，试求保险公司在这项业务上亏损的概率。

解设X是一年内投保人意外死亡的人数，则X～B（10000，0.0001），由于n=10000很大，p=0.0001很小，故可用泊松分布近似计算，λ=np=1保险公司在这项业务上{亏损}可用{X>5}来表示，通过查泊松分布表，可得亏损的概率为：

P（X>5）=P（X≥6）=0.000594，因此，保险公司在这项业务上亏损的概率非常小，{亏损}是一个小概率事件，几乎是不可能发生的，可见，保险公司正是利用小概率原理保证公司推出的保险业务稳赚不赔。

3.2 小概率原理在实际推理中的应用

小概率原理是人们在长期实践中总结出来的一条实际推断原理。具体应用如下：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，如果发生了，则认为这是一种不正常现象，从而断定系统本身出现了问题。利用小概率原理进行推断是概率性质的反证法，下面来看一个具体应用的例子。

在教学过程当中，总有学生提出疑问说，在不作弊的情况下，10题中答对8题这种情况也有可能发生，所以存在误判（即把“不作弊”看成“作弊”）的可能。小概率原理是说：在一次试验中，小概率事件几乎是不可能发生的。而在实际问题中确实存在小概率事件在一次试验中发生的可能，因此会存在误判，这里和假设检验存在犯错误的可能一样。小概率事件在一次试验中会发生，只不过发生的概率非常小，在本题中只有，也就是说误判的概率只有，误判的可能性非常小。在实际应用中，当没有充足理由证明系统本身没有问题时，一旦小概率事件发生，都认为是不正常现象。但是，当有充足理由证明系统本身没有问题时，如果小概率事件发生，则不能认为是不正常现象。例如买一张彩票就中了头等奖，也就是说小概率事件在一次试验中发生了，此时不能认为是不正常现象。在具体应用小概率原理时一定要注意区别对待。

例3对某厂的产品进行质量检查，现从一批产品中重复抽样，共取件样品，结果发现其中有件废品，问能否相信此工厂出废品的概率不超过

解假设此工厂出废品的概率为，一件产品要么“废品”，要么“正品”，因此取件产品来观察废品数相当于重伯努利试验，所以件产品中出现件废品的概率为：

很显然，“件产品中出现件废品”是小概率事件，但是在一次试验中竟然发生了，根据小概率原理，我们认为这是一种不正常现象，有理由怀疑“废品率为”的合理性，所以，工厂的废品率不超过的说法是不可信的。

3.3 小概率原理在假设检验中的应用

小概率原理是假设检验的基本原理，是决定推翻还是接受假设的依据。人们首先提出假设，在此前提下进行推导，然后根据一次试验的结果进行判断。若导致不合理的现象出现，即小概率事件发生，则拒绝原假设；若没有导致不合理的现象出现，即小概率事件没有发生，则接受原假设。

例4某砖厂生产的砖的“抗断强度X”服从正态分布，方差σ2=1.21，从该厂的产品中随机抽取块，测得抗断强度（单位：kg·cm-2）如下：

32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03

检验这批转的平均抗断强度为32.50kg·cm-2是否成立（显著性水平α=0.05）？

解（1）提出假设H0：μ=32.50；H1：μ≠32.50.

（2）构造统计量U=若当H0成立时，U～N（0，1）.

（3）对给定的显著性水平α=0.05，查标准正态分布表U=1.96，使其满足P（|U|≥1.96）=0.05，因此，H0的拒绝域为|U|≥1.96.

（4）计算统计量的观察值