一道变质量力学问题的分析与讨论

姚 杳 朱海明

(安徽师范大学附属中学 安徽 芜湖 241000)

一道变质量力学问题的分析与讨论

姚 杳 朱海明

(安徽师范大学附属中学 安徽 芜湖 241000)

对一道求解变质量体系中力学问题的解答进行了分析，发现解答过程不是很完整. 文中给出了一些必要的补充和说明，并利用动量定理对变质量体系中受力突变问题进行了分析和解释.

变质量 柔软绳索 突变

1 引言

动量定理是质点及质点系动力学的普遍定理之一,在牛顿力学计算中有着广泛的应用,它在惯性系中的微分形式表达式为

(1)

它表明系统总动量对时间的一阶变化率等于外界对系统施加的外力的矢量和. 动量定理的研究对象比较广泛，可以是单个质点，也可以是质点系，它的应用范围也很广泛. 如，恒力情形、变力情形等，尤其是对解决打击、碰撞、变质量等问题时，动量定理要比牛顿定律方便得多.

本文对教材中一道求解变质量体系中力学问题的解答进行了分析，发现解答过程不是很完整. 文中给出了一些必要的补充，并利用动量定理对变质量体系中受力突变问题进行了分析和解释.

2 原题及解析[1]

【题目】如图1所示,单位长度质量为ρl的柔软绳索盘放在水平台面上. 用手将绳索的一端以恒定速率v0向上提起，求当提起高度为x时手的拉力.

图1 题目

解析：以整根绳索为体系，设其长为l，它共受到3个力：重力ρllg，台面支承力FN和手的拉力F在这3个力的作用下，体系的动量在不断变化.由体系动量定理可知，外力矢量和应等于体系动量的变化率.现在体系动量只有竖直方向分量，取x轴的方向竖直向上(坐标原点在地面上).

在t时刻，当绳索提起x时体系的动量为

p(t)=ρlxv0

(2)

在t+dt时刻，当绳索提起x+dx时体系的动量为

p(t+dt)=ρl(x+dx)v0

(3)

根据体系动量定理有

(F+FN-ρllg)dt=

p(t+dt)-P(t)=ρlv0dx

(4)

注意到

(5)

由于绳索是柔软的，dx这段绳索对剩在台上的绳索没有作用力，因此，FN只与剩在台上的绳索质量有关，即

FN=ρl(l-x)g

(6)

因此得

(7)

关于这道题的解答，有的教材利用质心运动定理求解，也得出相同的结论[2]. 另外，一些网页上课件也应用了动量定理等方法得到与之相同结果.

3 “解析”中的问题分析与讨论

从解析中的式(2)中可以看出，x∈[0,l] .可将x=l代入式(7)可得

(8)

式(8)表示绳索刚好完全被提起时的拉力. 由于绳索匀速上升，利用牛顿第二定律可直接得出此时的拉力为

F=ρllg

(9)

比较(8)、(9)两式，可以看出利用动量定理和牛顿定律解得的结果不一致，究竟其原因是什么呢？为此，对上述解析过程作出进一步的分析.

(10)

当x=l时，绳索的长度已达到最大值. 此时，提起绳索的长度对时间的变化率应该等于零，即绳索的质量对时间的变化率等于零，于是有

(11)

将式(11)代入式(4)，并将x=l代入式(6)，可解得

F=ρllg

(12)

比较(9)、(11)两式，可以看出利用动量定理和牛顿定律解得的结果完全一致. 考虑到x可大于l. 当x>l时，利用牛顿第二定律可得到结果与式(12)相同，则该道变质量力学试题的完整的解析结果可表示如下

(13)

4 瞬态力突变的原因

设台面上有一段绳索质量为ρldx即将被拉起，动量的改变量为ρlv0dx，则由动量定理可得到这段绳索受到的拉力为

(14)

5 结论

在变质量体系中，必须关注质量变化规律，质量对时间的变化率在质量达到最大值可能有个突变过程，在计算变质量体系中物体受到瞬态力时，必须加以注意．

1 郑永令，等.力学(第二版).北京：高等教育出版社，2013

2 马文蔚.物理学(第五版).北京：高等教育出版社，2009

AnalysisandDiscussiononAMechanicsIssueaboutVariableMass

Yao Yao Zhu Haiming

(High School Affiliated to Anhui Normal University,Wuhu,Anhui 241000)

The key to a mechanics problem about variable mass is analyzed in this paper,and found that the solution process is not complete. This paper gives some necessary supplement and explanations,and the sudden change of force is analyzed and explained in variable mass system using the momentum theorem.

variable mass;soft rope;sudden change

姚杳(2000- )，女，在读高中生.

指导教师：朱海明(1985- )，男，主要从事物理教学工作.

2017-04-08)