在探究性学习中发展数学核心素养
2017-11-13黄立明
黄立明
中学课堂教学要以学生为中心，以学生为中心应以学生积极参与教学活动为标志，学生参与教学活动以提高数学素养为目标。探究性学习是学生参与教学活动的有效途径，教学设计要尽可能创设探究情景，激发学生探究欲望，鼓励学生大胆探究。通过多途径、多形式的探究活动，不断发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六大数学核心素养。
最值问题是高中数学的一类重要问题，二元与多元最值问题也是高考、自主招生试题中的重点与热点问题。多元变量的最值问题因其技巧强、难度大、方法多、灵活多变而且具有挑战性， 是最值问题中的难点。求解多元变量最值，要求学生有坚实的数学基础，严谨、全面分析问题和灵活、综合解决问题的能力，是开展研究性活动的重要契机，是发展学生数学核心素养的重要平台。本文以多元变量最值问题为例，谈一些在探究性学习中发展数学核心素养的尝试。
问题：若c>0，当非零实数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使最大时，
的最小值。
探究一：利用换元法将多元问题转化为一元变量问题，在探究中发展学生数学抽象、数学运算等核心素养。
所谓换元法，是指在一个比较复杂的数学表达式中，用新的变量去代替原来的部分（或全部）变量或改造原来的式子，利用新元建立未知与已知间的通道。换元的实质是转化，目的是化繁为简、化生为熟，使问题易于解决，其关键是构造元和设元。常见换元法有代数换元、三角换元、均值换元等。换元时，要尽可能地用新元把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来。笔者在教学中，尝试设计了两个活动来激发学生参与探究。
活动一（代数换元）：设2a+b=t，2a=t-b，联立4a2-2ab+4b2-c=0
∴6b2-3tb+t2-c=0①
取最大值时，代入①中解得
从而
（时取“=”）
活动二（三角换元）：令
则。
故
记，则，∴，
故，当且仅当，即时，
亦即，则2a=3b，故。
从而，因此。
问题以一个三元（a、b、c）二次方程在取最值的条件下求一个分式的最值，活动一、二通过代数换元、三角换元分别起到简化表达式、降维目的，明确目标而解决问题。学生在问题探究中，逐步强化数学抽象和数学运算能力等核心素养。
探究二：突出不等式在解决最值问题中的重要作用，在探究中发展学生逻辑推理和数学运算等数学核心素养。
最值問题与不等式联系密切，由此进一步引导学生用不等式开展探究活动。
均值不等式是解决多元函数求最值的一种常用方法。使用均值不等式法时需关键要合理拆分项或恰当配凑因式，创设使用均值不等式的条件“一正、二定、三相等”后，使用不等式解决问题。
活动三（均值不等式）：由
，
注意到， 则
①
②
①+②，
当且仅当时取“=”，此时，。
从而，因此。
该解法通过“恰当配凑”使得不等式的右边在使用绝对值不等式之后恰为题设最值条件，从而利用等号成立条件得到a、b、
c间的关系，进而求的最小值。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构的和谐性、应用的广泛性、灵活性，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。此时宜采取引导学生积极探究，巧拆常数、巧变结构、巧设数组等技巧，构造符合柯西不等式的其结构与成立的条件。
活动四（柯西不等式）：由变形得。（当且仅当即时取“=”）。
从而，因此。
探究三：随着探究活动中不断深入，鼓励学生思维发散、数形结合，发展学生直观想象及数学运算等核心素养。
数形结合即借助“数”的几何特征与“形”的量化特点，相互转化来解决数学问题。“以形助数”利用形的直观形象性；“以数解形”主要利用数量关系的精确性、深刻性 ，数形结合的实质就是符号语言与图形语言的转化，将抽象思维和形象思维结合起来，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径
之一。
活动五（点线距离）：由得。
设l：，到l的距离。
，
（M与O重合时取“=”，此时PO⊥l）
则，
从而，因此。
继续探究：平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示，在伸缩变换下，图形的同素性、结合性与单位比都是不变的。利用伸缩变换的不变性，可以灵活、方便地解决此
问题。
活动六（伸缩变换）：
设
则，且
故直线与圆相切时，z取最大值。
此时有，。
联立，可得，以下略。
多元变量的最值问题综合性强，知识面广，方法灵活，解法也相对灵活多变，在探究活动中，注意降维思想、整体思想与转化思想的使用，化陌生为熟悉、非常规为常规加以解决。在探究过程中，鼓励学生积极思考、勇于探索、大胆实践、科学提炼、总结推广，长期坚持下去，对发展学生数学数学核心素养十分
裨益。
参考文献：
[1]王尚志.如何提升学生数学核心素养[J].中国教师，2016（5上）.
[2]梅向明等编. 高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983年第1版.
（作者单位：安徽省池州市第一中学）
责任编辑：李莎
lis@zgjszz.cnendprint
