CAPM及线性规划模型在尾矿生产中的应用

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(江西理工大学 理学院, 江西 赣州 341000)

文章编号：2096-2983(2017)05-0286-06DOI：10.13258/j.cnki.nmme.2017.05.007

CAPM及线性规划模型在尾矿生产中的应用

张 翔,匡奕群

(江西理工大学 理学院, 江西 赣州341000)

以铜陵有色控股有限集团公司下属某矿山尾砂坝为例,针对尾砂坝的尾矿生产建立规划模型进行分析讨论.通过建立含有贴现率Rt的目标规划模型对贴现率Rt进行分析,并基于此构造加权平均法(CAPM)模型,对贴现率中体现项目风险和特点的γ值进行分析.其次,在明确了采砂工程流程之后确定模型的约束条件,建立采砂工程的组合线性规划模型,并对模型进行分析.最终通过对模型结果的分析,得出能合理规划尾砂生产、开采,并使其收益最大的方案.

CAPM模型; 贴现率; 线性规划; 尾矿生产

尾矿是矿业及冶炼厂在选矿、冶炼之后排放的废弃物,但由于选矿及冶炼技术水平的限制,其中仍含有大量有色及非金属等矿物成分,是宝贵的二次资源.在经济、技术条件允许的情况下,应再次进行有效开发.铜陵有色控股有限集团公司旗下的矿山有着多年的历史,其部分矿山由于多年的生产经营,产生了大量的堆集尾砂矿,集中在天马山尾砂坝、乌目山尾砂坝、林冲尾砂坝等地区(部分矿山处于破产经营状态,缺少对尾砂坝的治理资金).

基于此,本文针对闭库工程中的采砂(即尾矿生产工程),结合CAPM模型进行生产计划的规划建模,分析尾矿坝的最优生产方式.同时使用线性规划模型,对尾矿坝尾砂开采时所需要的人力资源进行了详细的分析规划.为如何处理积留下来的尾矿资源提供了思路.

1 基础CAPM模型

在尾砂坝的尾矿生产计划中,可结合指数模型和加权平均成本法(以下简称CAPM)构建目标模型,对尾砂坝的尾矿生产计划进行合理的规划控制.其基本理论如下.

该指数模型[1]是针对收益率进行分析的线性模型,其结构为:

r=E(r)+b

(1)

式中:r为收益率;E(r)为期望收益率;b为扰动项.

对于任何一种商品的收益率,都可将其看作该商品的期望收益率E(r)与扰动项b的分割.那么在这种假设下,将b进行分割之后,扰动项b里面一定存在特有的经济因素的影响,也就是:

r=E(r)+m+e

(2)

式中:m为系统风险因素;e为该商品的特有风险因素.

根据马科维茨的研究结果可知,系统风险因素m与商品的特有风险因素e相互独立.即m值和e值的方差可相加[2]:

(3)

就不同的商品i和j而言,由于其各自与系统性风险相互独立,商品i和j方差的相协方差为:

cov(ri,rj)=cov(m+ei,m+ej)

(4)

由于商品与市场并不是相互独立的.在给定一个用来衡量特定商品对市场波动敏感度的正参数β后,确定对商品i的基本关系式:

ri=E(ri)+βim+ei

(5)

假设该模型符合正态分布,得到如下结果:

cov(i,j)=cov(βim+e,βjm+e),

(6)

最终可求商品的收益率期望值如下:

E(ri)=α+βiE(rm)

(7)

式中:扰动项e已经被取出;参数α为常数,代表了该商品超过市场平均收益的超额收益,其余均可视为商品受市场收益率的波动现象[3].

CAPM模型又称资产定价模型,根据指数模型可以假设商品i和市场组合的协方差为:

cov(ri,rm)= cov(ri,∑wiri)=

∑wicov(ri,rj)

(8)

如此,在市场中商品i对风险溢价(E(rm)-rf)的贡献为(E(ri)-rf)·wi.从而可以得出商品i在整个市场组合中的风险贡献为wi·cov(ri,rm).

当市场处于相对均衡的状态,且商品i的收益-协方差的比值和市场不对等时,投资者会倾向于选择放弃或大量持有该商品,从而迫使商品的价格发生变化,这种行为会进一步地导致收益和方差比值发生变化直至二者相等.在这种情况下可以总结出如下公式[4]:

(9)

变换之后可得:

(10)

将上述β的定义代入式(10)后可得:

Ri=rf+βi(Rm-rf)

(11)

式中:(Rm-rf)为市场系统性风险的超额收益;Rm为市场组合风险的收益;βi为商品i对市场超额收益率的敏感度.

以上数值加上无风险收益,最终构成了商品的收益率.

2 CAPM模型在尾矿生产中的应用探讨

2.1CAPM尾矿生产模型描述

在实际生产中影响尾砂坝尾砂生产的约束条件如下.

(1) 质量与产量约束:每年采出尾矿量与尾矿品位在一定范围内波动.

(2) 资源约束:从(i,j,k)区域中累计采出的尾矿量小于或等于该区域拥有的尾砂量.

(3) 挖掘能力约束:采出的矿石量必须符合挖掘能力的约束.

(4) 非负约束:决策变量不小于零是线性规划的基本要求.

(5) 其他约束条件:挖掘场挖掘能力约束、选矿能力约束、冶炼能力约束、维修工作能力约束、劳力约束等.

综合上述条件,为使得尾砂坝达到产量最大或者成本最低,可建立目标函数如下:

(12)

式中:n为尾砂坝计划编制时限;i,j,k为尾砂的几何位置;xt(i,j,k)为尾砂坝(i,j,k)位置于t时间采出的尾矿量;C(i,j,k)为(i,j,k)位置单位尾砂盈利;Rt为t时间的贴现率.

为确定模型中的C(i,j,k),取该矿山化验室2016年某时段对尾砂坝的取样报告进行分析和预估报告,如表1所示.

表1 尾砂坝尾砂采样分析报告中三氧化二铁和硫的质量分数Tab.1 Sampling analysis report in tailings dam %

当单位尾砂三氧化二铁含量处于不同比例时,其盈利浮动如表2所示.

表2 单位尾砂盈利浮动表Tab.2 Relocation table of unit profit tailing

上述目标函数的目的是使尾砂坝生产成本最低或尾砂矿产量最大,但其数学表达式应随约束条件的不同而改变,其中约束条件也应视尾砂坝的生产技术条件而定.通过建立的数学模型求解目标函数,根据目标函数的解可制定最优的开采计划,并随时调整开采进度.一般该模型只要有满足收益最大的解,便视为可行解.

2.2模型分析

通过对式(11)中该目标函数模型的分析可以看出,单位尾砂的盈利C(i,j,k)和尾砂坝在t时间采出的尾矿量xt(i,j,k)在常规情况下均为较稳定的系数.模型中的贴现率Rt为影响模型决策的决定因素,应根据Rt值的变化对尾砂坝生产计划进行规划及调整.

现阶段贴现率Rt值的确定普遍采用如下方法:

加权平均成本法(以下简称CAPM),CAPM作为基于风险资产期望收益均衡基础上的预测模型之一,把资产的预期收益与预期风险之间的理论关系,用一个简单的线性关系表达出来,即认为一个资产的预期收益率与衡量该资产风险的一个尺度值之间存在正相关关系.

如此,构建CAPM法的基础模型:

(13)

在该模型中,为使得尾砂坝的生产收益达到最大,尾砂坝生产方必须承担尾矿市场的系统风险才可得到风险溢价.故需要对风险利率进行建模分析,其模型如下:

E(ri)=rf+[E(rm)-rf]γ

(14)

式(14)中,γ反映的是具体项目的风险和特点,也是在该模型中需要特别讨论的一个决定因素.

γ系数在该模型中是用以度量尾砂坝生产资产系统风险的指针,是用来衡量尾矿资源相对总体矿产市场的波动性的一种风险评估工具.也就是说,如果一种尾矿的价格和市场的价格波动性是一致的,那么这个尾矿资源的γ值就是1.如果一种尾矿资源的γ是1.5,就意味着当尾矿的市场上升10%时,该尾矿资源价格会上升15%;当尾矿市场下降10%时,该尾矿资源的价格亦会下降15%.理想状况下两者的关系如图1所示.

图1 γ值与收益率关系示意图Fig.1 Relationship diagram of γ and profit rate

图1表述了在理想状况下γ值与收益率的变化关系.但是在现实情况下,γ值需通过统计分析同一时期市场每天的收益情况,以及单个矿产资源每天的价格收益来计算,其值变化浮动不定且不易统计.在此为了便于理解,假设当前γ=0.25,市场收益率=12.8%,无风险利率=6.0%.那么在该种情况下,该矿产资源的贴现率计算如下:

Rt=6.0%+(12.8%-6.0%)×0.25=7.7%

首先假设在某一时段中Rt值的浮动区间为0～14%,尾砂坝的计划生产力度则用百分比表示(0～120%,其生产能力极限为120%).Rt值的变化对尾砂坝生产计划的影响如图2所示.

图2 Rt值与尾砂坝生产计划关系Fig.2 Relationship diagram of Rt and production plan

由图2可以清晰地看出,当Rt值稳定在0～4%时.由于收益较低,尾砂坝应减缓其生产力度使之缓慢上升，保持在20%～40%.当Rt值上升至5%～8%时,应增加其生产力度使之上升，并保持在60%～120%(取决于尾砂坝的现实生产状况),在此时可以达到尾砂坝生产的最大收益效果.当Rt值大于10%时，由于尾砂坝本身的生产能力限制以及风险的存在,将尾砂坝的计划生产力度保持在120%是此时的最优选项.

以上讨论了在Rt值处于持续上升状态时尾砂坝的计划生产力度的变化情况.当Rt值处于持续上下浮动状态时,对尾砂坝的计划生产力度进行同样的调整,如图3所示.

图3 Rt值上下浮动时尾砂坝计划生产力度关系变化Fig.3 Dynamic relationship change while Rt float up or down

综合以上分析,建立尾砂坝生产计划的最终计算模型:

(15)

为便于上述模型的结果进行分析,假设单位尾砂的盈利C(i,j,k)和尾砂坝在t时间采出的尾矿量xt(i,j,k)均为定值,且C(i,j,k)·xt(i,j,k)=α,则可得:

(16)

对以上的模型和范例分析后可知,在尾砂生产收益的影响因素[rf+[E(rm)-rf]∑wicov(ri,rj)]中,当E(rm)-rf>0,且∑wicov(ri,rj)的值处于上升状态时,尾砂的生产收益处于最大状态.最终对上述模型进行计算,从而得出尾砂坝生产中的贴现率,并对Rt值的变化分析得出当前尾矿生产的成本是否与其回报相吻合,从而对尾矿坝的生产计划进行准确和实时的调整,达到尾砂坝生产收益最大的目标.

3 尾矿开采工艺及建模分析

3.1采矿流程

尾砂坝采砂流程如图4所示.

图4 尾砂坝采砂流程图Fig.4 Sand excavation flow chart of tailing dam

3.2尾矿开采作业模型描述

在尾砂坝的实际开采作业中,采用组合线性规划模型进行建模分析,其约束条件如下:

(1) 一台挖掘机只负责一个采区的挖掘工作.

(2) 由于配矿系统的实际情况,每一工班输出的尾砂品位变动较大,因此控制目标为在较长的时间内满足所需要的尾砂平均品位.

(3) 尾矿采区很大,无需在下1 h内考虑其采砂区域Bij的大小.

(4) 控制的目标是充分利用所有有效的人员和设备,并且力求尾砂产量稳定在目标G*.

建立目标函数模型:

min|G-G*|

(17)

式中:G为现实产量;G*为目标产量;目标函数的约束条件如下:

(18)

式中:xij为挖掘机i在1 h内从采区j中挖掘出的尾砂量;di为挖掘机到最近货场的距离;Si为挖掘机i的极限挖掘能力;h为工班数;m为某台挖掘机的适宜采区数;T为所有汽车行驶1 km的运输能力.

根据上述计算模型及约束条件,建立现实产量G(A)的计算公式:

(19)

式中:Gij为挖掘机i在采区j所采出尾矿的品味;η为调整系数,η是指由运输控制系统按相应的数字配车,而不是用挖掘机模型所计算出来的精确吨数.

3.3建模效果分析

综上所述,尾矿开采作业的整体模型的目标函数如下:

min|G-G*|=

(20)

图5 模型线性规划示意图(图中xij代表Fig.5 Model linear programming schematic

通过对图5以及上述模型的分析可以看出,在本节的针对尾矿开采作业的规划模型中最优解的存在范围.同时该模型的目标为充分利用所有有效的人员和生产设备,优化生产能力的同时保证尾砂产量的稳定.目标规划模型一般用于解决满足众多约束条件之后求解最优解,但在实际生产中约束条件的变化较大.根据尾砂坝实际生产的人员和设备条件,在本节针对尾矿开采作业的规划模型中,一般只要有满足约束方程的解,便视为可行解.

4 结 论

本文针对尾砂坝的生产，建立使尾砂坝达到收益最大效果的规划模型,并进行分析讨论.其中需要针对模型中的贴现率Rt进行重点分析,基于此构造加权平均法(CAPM)模型,对贴现率中体现项目风险和特点的γ值进行分析,确定了γ值与收益率之间的关系.最终得出的结论可以使得决策者更加容易地根据γ值的变化进行决策,选择最优的尾砂生产方案.在明确了采砂工程的流程之后,建立了采砂工程的组合线性规划模型,并确定了该模型的约束条件.根据模型建立了线性规划图,对模型的效果进行了分析.根据分析结果确定了尾砂坝采砂工程的实际方案.利用数学建模方法,对尾砂坝的尾砂生产收益进行了计算,并得出了合理的结果.

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[4] 郭静,李经路.CAPM的缘起、现状与展望[J].中国物价,2015(6):51-54.

CAPMandLinearProgrammingMathematicalModelApplicationinTailingsProduction

ZHANG Xiang,KUANGYiqun

(College of Science, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China)

Taking the tailings dam of a mine owned by Tongling Nonferrous Metals Group Holdings Corporation as an example,a planning model for tailings production of tailings dam is analyzed and discussed.By establishing a goal programming model that contains discount rateRt,this paper builds the CAPM model.The valueγof the discount rate which reflects the risk and characteristics of the project is analyzed as well.Moreover,after defining the flow of sand mining project,the constraints of the model are determined,and the combined linear programming model of sand mining project is established and analyzed.Furthermore,through the analysis of the model results,it is concluded that the tailings production and mining can be reasonably planned and the benefits can be maximized.

CAPM mathematical model; discount rate; linear programming; tailings production

2017-03-22

张 翔(1990—),男,硕士研究生. 研究方向: 数学建模与软件应用. E-mail: majesty_zhang@163.com

TM911.4

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