概率论在经济生活中的应用研究

2017-11-10孙怡馨

科学家 2017年20期

概率论在经济生活中应用十分广泛，本文主要从古典概型、数学期望以及大数定律和中心极限定理3个方面介绍了概率论相关知识，并举例说明其在经济生活中的应用。其中，在古典概型中重点介绍了波利亚模型，并给出了数值模拟的过程，验证了所得结论。概率论作为数学工具的运用，为经济学做出了突出贡献，也使得经济学变得更加规范和完善。

概率论是一门研究随机现象统计规律的数学分支。随机现象是指在一定条件下进行试验或观察时，会出现不同的结果，但具体出现哪种结果在每次试验前都无法确定。概率论正是通过对这些结果进行演绎和归纳，从数量的角度研究随机现象的统计规律性。概率论最初起源于赌博问题。当今在社会科学领域，尤其是在经济学中，描述经济数据特征，最优决策以及保险等方面都要用到概率论的相关知识。

概率论在经济学问题研究中具有以下优势：一是概率论可以很好地运用数学语言来建立模型，从而将经济范畴之间关系的描述和研究数量化；二是概率论有着严密的逻辑推理，不但可以尽可能地规避漏洞和错误，而且能够推导经济运行的各种轨迹，对经济行为的预测起指导作用；三是概率论的引进使得传统经济学突破了确定性行为研究的界限，可以在不确定性条件下，得到仅凭直觉不易得出的结论，更加具有概括性[1]。概率论作为数学工具的运用，使得经济学成为一门更加规范和完善的科学。

概率论在经济生活中的应用

古典概型

古典概型具有两个特点：一是所涉及的随机现象的样本点只有有限个；二是每个样本点发生的可能性都相等，即等可能性[2]。古典方法是概率论发展初期求概率常用的方法，它主要借助于演绎或外推。比如掷骰子、摸球、彩票等问题都可以通过这一方法求得概率。

例1：假设罐中有b个黑球、r个红球，每次试验随机取出一个球，然后将原球放回，并且再加入c个同色球和d个异色球。这样的随机试验模型称为波利亚模型，它可以用来描述传染病传播和贫富差距以及安全生产等现象。

现在要从罐中取出两个红球和一个黑球。由分析可知第二个球被抽取这一事件是在第一个球被抽取的条件下发生的，同理第三個球被抽取同样受前两次结果的影响，根据条件概率公式与乘法公式

可得

容易看到，以上概率与黑球在第几次被抽取有关。该模型有以下几种情况：

1）当时，称为不返回抽样，此时前次抽取结果会对后次抽取结果造成影响。但在抽取的黑球与红球个数确定的情况下，其概率与抽出球的次序无关。此例中有

2）当时，称为返回抽样。此时每次抽取都是相互独立事件，且上述三个概率相等，此例中有

3）当时，称为传染病模型。此时每次取出球后都会增加下次取到同色球的概率。此例中有

4）当时，称为安全模型。此时每当红球被取出，则会降低下一次取出红球的概率；每当黑球被取出，则会降低下次取出黑球的概率，相应地，取出红球的概率就会增加。此例中有

对于3）中的传染病模型，它还可以用来解释贫富差距。在波利亚罐子中，罐中小球颜色的构成与概率分布会随着每次抽取产生变化，最后必将出现一种球在数量上遥遥领先于其他颜色的球。假设某种颜色的球在初始罐中存在着数量上的小幅优势，这种优势可能会被随机抽取过程不断放大。但是，这并不意味着初始罐中数量最多的球最后一定会获得胜利。实际上，在早期的抽取中，不同颜色球数的变动呈现出一种混沌状态（除去初始罐中不同颜色的球数量分布存在巨大差异的情况），随着抽取的不断进行，罐中数量最多的球颜色很有可能发生变化。也就是说仅凭初始罐中球的数量分布并无法准确预测结束时数量最多的球的颜色。

波利亚模型的现实意义在于，竞争中开始占据优势的一方，最终在竞争中胜出的概率会更高，但只要优势并没有足够大，别的颜色的球仍然有胜出的可能。它比马太效应更加贴合现实情境。马太效应指的是经济学中贫者愈贫，富者愈富，赢家通吃的一种分配不公的现象。但在波利亚模型中，可能存在某一个时刻，某种颜色的球数积累至超越初始罐中数量最多的球，进而达到一定量级，然后跨越临界点，结束混沌状态，最后分布开始朝向单一的轨道前进。从这种角度来看，初始条件下任何未能构成显著差异的实力优势意义十分的有限。我们可以通过数值模拟来观察这种随机抽取的过程。

初始罐中分布：10个红球、8个黑球、7个黄球、5个绿球、2个蓝球。测试结果如下：

图1

从图1中可以看出，随着抽取的不断进行，红球最后胜出的可能性比较大，但由于红球对其他颜色的球（蓝球除外）并不具备显著优势，所以别的球仍有获胜的可能，蓝球则由于初始数量太少，始终处于较低的水平。

对于4）中的安全模型，可解释为：每当事故发生（红色球被取出），就抓紧安全工作，则下次再发生事故的概率就会降低；而当事故没有发生时（黑色球被取出），安全工作就会放松，结果导致下次再发生事故的概率增加。它还可以用来构建科学合理的数学模型来治理“中国式过马路”问题。当抓到违章穿越马路者，可进行处罚，使其回归守法者阵营，并且起到震慑效果，使潜在违章者也决定回归到守法者阵营。随着被处罚的违章穿越马路人数的增加，最终会出现长时间都抓不到违章穿越马路的行人[3]。

数学期望

数学期望是随机变量中最重要的一项数字特征。它反映了随机变量平均取值的大小，又称均值。数学期望在经济生活中有许多应用，比如如何实现收益最大化，如何降低证券投资组合风险等，它为决策者作出最优决策提供了重要的理论依据。

例2[4]：设有一笔资金，总数为1，可以投资甲、乙两种证券。将资金用来投资甲证券，其余资金投资乙证券，称为投资组合。其中，投资甲证券的收益率为X，投资乙证券的收益率为Y。已知X和Y的平均收益（即期望）分别为和，风险（即方差）分别为和，为X和Y间的相关系数。求如何使得投资风险最小。

根据题意，组合收益为

则平均收益为

组合风险为

则

由导数为可解得，它与和无关。

由中的系数为正可知可使组合风险达到

最小。

譬如，=0.3，=0.5，=0.4，

则，

则投资组合。

即把全部资金的70.4%投资甲证券，其余投资乙证券可使风险最小。

大数定律和中心极限定理

大数定律主要描述一系列随机变量和的平均值的稳定性。随机变量和的分布收敛于正态分布的这一类定理叫做中心极限定理[5]。它们揭示了随机现象的统计规律，是联系概率论与数理统计的桥梁，无论是在理论研究还是实际应用中都具有非常重要的意义。比如，大数定律是保险业存在和发展的基础，中心极限定理则对厘定保险费率极为重要。

例3：某保险公司有2 500个人参加保险，保险费为每人每年1 200元，假设发生意外的概率为0.002，发生意外时保险公司需赔付20万元。

求：1）保险公司亏损的概率。2）保险公司年利润不低于100万元概率。

设X为每年死亡的人数，则X服从二项分布，即，则

则亏损的概率为：

即保险公司亏损的概率为0.00007，几乎为零。

保险公司的利润不低于100万元为：

由此可见，保险公司几乎不可能亏损。

结论

通过上面的分析，可见概率论与经济生活的联系十分紧密。它能使经济学中的问题清晰化、逻辑化、数量化。在经济生活中，利用它可以得到一些有意义的结论，可以帮助企业进行合理投资、科学决策等。概率论为现代经济学的发展打下了坚实的理论基础，并将继续发挥着关键

作用。

参考文献

[1]孙少葆.概率論知识在经济学中的应用研究[J].现代企业文化，2009（23）：227-228.