有抗弯刚度索的自振频率矩阵分析方法

王语嫣

(西南交通大学土木工程学院, 四川成都 610031)

有抗弯刚度索的自振频率矩阵分析方法

王语嫣

(西南交通大学土木工程学院, 四川成都 610031)

对于复杂边界条件下的有抗弯刚度的拉索结构，其特征方程为超越方程，无法获得解析的频率表达式。文章针对此问题，提出了一种矩阵分析方法：首先建立动力学平衡方程，考虑边界条件，推导了特征方程的解析表达式；在此基础上，采用数值方法在给定的频率区间上求解特征方程的根，从而获得结构的固有频率解。该方法可将索的抗弯刚度、一般边界条件一并考虑，得到统一的求解方法。以实际索为例，对其动力特性进行了分析，并与有限元结果相比。结果表明，该方法的求解速度快、精度高，具有推广应用的价值。

拉索； 频率法； 解析解

随着社会的发展进步，结构呈现出多样化的趋势，含索空间结构得到越来越多的重视和应用。在诸如悬索桥、斜拉桥、拱桥、大跨度屋面中都有体现。索作为张拉结构中的一个关键构件，施工过程中其力值的变化影响着结构的传力途径和荷载分配形式，使用过程中，其变化会引起结构内力分布和线形变化，结构的安全和使用寿命将受到较大的影响[1]。所以，无论是在结构的施工阶段还是后期的维护阶段，如何精确测得索力都显得尤为重要。

现阶段，国内外测索力比较常用的方法有液压千斤顶法、压力传感器法、振动法、磁通量法、振动波法、三点弯曲法等[2-3]。其中最广泛使用的是振动法，也称频率法，是在环境激励或者人工激励下采集索的振动信号，在滤波、放大和频谱分析后得到索的自振频率，通过实测的索自振频率计算得到索力的方法[4]。但就目前为止，对于有抗弯刚度的索，只有索两端铰接的边界条件下有精确的索力计算公式，其余边界条件下的已有的一些经验公式其计算误差较大，对于实际工程并不适用。以往的索力计算方法中，很多都未考虑抗弯刚度以及边界条件的影响。对于细长的拉索，抗弯刚度对索本身的受力性能影响不明显，但对于短粗的索，抗弯刚度将产生一定程度的影响[5]。本文提出的一种矩阵分析方法就可以精确、快速地得到一般边界条件下索的自振频率。将这种方法计算得到的索的自振频率值与有限元模型计算得到的自振频率值作比较分析，可以验证该方法的精确度。

1 基本方程

实际工程中，有抗弯刚度的短索的边界条件并不是完全的铰接或者固结，而是介于两者之间的，为弹性嵌固边界条件。抗弯刚度值和边界条件对索的振动频率有显著的影响。

需要考虑抗弯刚度和边界条件影响的劲性索的动力分析模型假定如下[6]：

(1)索的垂跨比小于1/8；

(2)索截面为等截面，其应变较小，截面的大小不发生变化，且索材质均匀；

(3)索在平衡位置作微幅横向振动，忽略弦向振动和面外振动；

(4)索只能受拉，不能受压；

(5)索两端的拉力沿弦向分量相等(忽略重力沿弦向的分量)；

(6)自振分析时不考虑阻尼的影响；

(7)索的密度已知。

根据上述假设，建立索振动模型，可推导得索在垂直于弦方向的振动方程。不失一般性，可将忽略重力沿弦向分量影响的索采用图1所示计算模型。假定弹性转动约束刚度为KL和KR，其中KL为索的左端约束，KR为索的右端约束。则索的分析模型如图1所示。

图1 索的数学物理模型

平面内竖向振动的平衡方程为[7]：

(1)

由图1可知，边界条件为[8]：

(2)

式中：m为索单位长度的质量；El为索截面抗弯刚度。

2 振动方程的矩阵求解

在线性振动范围内，令

v(x,t)=φ(x)·T(t)

(3)

将式(3)代入式 (1)中，有：

EIφ″″(x)T(t)-Tφ^″(x)T(t)+mφ(x)T^″(t)=0

(4)

令

可得：

mT″(t)+λT(t)=0

(5)

EIφ″″(x)-λφ(x)-Tφ″(x)=0

(6)

令T(t)=eiωt，代入式(5)，则：

-mω2eiωt+λeiωt=0,λ=mω2

(7)

令φ(x)=Ceξx，代入式(6)，则：

EIξ4Ceξx-λCeξx-ξ2TCeξx=0

(8)

(9)

令：ξ1～ξ4是方程(8)的四个根,则

φ(x)=C1eξ1x+C2eξ2x+C3eξ3x+C4eξ4x

(10)

将上式代入边界条件

改写成矩阵方程后

(11)

由上述方程，若要使C1、C2、C3、C4参数具有非零解，则

显然，只要求解出行列式H=0时的ξ值，即可求得λ，代入式(7)可精确的解出ω的值。由于ω=2πf，可得出频率f的精确值。本文用Matlab计算软件，求解上述行列式的解。

如需求解前阶自振频率，其具体流程如图2所示。

3 算例分析

3.1 计算精度分析

取不同参数的索，将用有限元法求解出的频率值与矩阵分析方法求解出的频率值做比较，可说明该方法的正确性。有限元方法选用ANSYS计算软件，Beam3单元，两端施加水平拉力，以0.01 m为单元来划分索。

选择三根参数各异的索，索的各参数取值见表1。两种方法得到的同一参数索的各阶频率见表2～表4。

如表2～表4所示，两种方法得到的前五阶频率值其相对误差在0.5 %以内。当索的边界条件处于铰接和固结之间时，频率值是处于铰接边界条件下的频率值和固结边界条件下的频率值之间的。所以认为矩阵分析方法精度高，在实际操作中是可行的方法。

表1 各索的参数值

图2 矩阵分析方法求解频率值流程

在保证精度的前提下，该方法的计算速度也是其一大优势。矩阵分析方法为该领域更深入的研究奠定了一定的基础，具有较好的应用价值[9-11]。

3.2 给定边界条件下索力变化对自振频率的影响

表2 1号索各阶频率值f Hz

表3 2号索各阶频率值f Hz

表4 3号索各阶频率值f Hz

图3 索自振频率和索自振频率与基频比值随索力变化的曲线

3.3 边界条件对索的自振频率的影响

引入无量纲参数，当KL=KR时：

图4 索自振频率和索自振频率与基频比值随边界条件变化的曲线

4 结论

对于有抗弯刚度的索，本文所提出的矩阵分析方法，其计算结果与有限元模型的计算分析结果相对误差在0.5 %以内的，可认为本文方法是准确的、实用的。而本文方法的计算速度比有限元方法快，且更为方便实用，所以本文所述的矩阵分析方法其优势更为明显。并且，索的控制参数的识别可在矩阵分析方法的基础上进行深入研究，而各参数的识别也对实际工程的进一步发展具有重要意义。

利用矩阵分析方法进一步探讨索力和边界条件对索的自振频率的影响，发现索自振频率随索力的增大和边界约束强度的增大是逐渐增大的，其增长速度都是先快后慢。对比文章第3.2节和第3.3节，从各阶自振频率数值的变化范围来看，边界条件对索自振频率的影响是不可忽略的，但索力变化的影响比边界条件变化的影响要大得多。可认为索力对自振频率的影响明显要大于边界条件的影响。同样的边界条件下，对于有抗弯刚度的索，索力越小时抗弯刚度对索的自振频率值与基频的比值的影响越大。索力不变时，边界转动约束的强度变化对索的自振频率值与基频的影响基本可以忽略。

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TU311.3

A

[定稿日期]2017-04-26

王语嫣(1992～)，女，硕士研究生，研究方向为大跨度桥梁。