WOD随机变量加权和的完全收敛性

吴曹情,宁明明,沈爱婷

(安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230601)

WOD随机变量加权和的完全收敛性

吴曹情,宁明明,沈爱婷

(安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230601)

利用随机变量的截尾技术和宽相依 (widely orthant dependent, 简称WOD)随机变量的指数型概率不等式，在较弱的矩条件下，建立 WOD随机变量加权和的完全收敛性结果，作为应用，得到WOD随机变量的M-Z型强大数定律，推广并改进独立变量和若干相依变量的相应结果.

WOD随机变量；完全收敛型；M-Z型强大数定律

0 引言

完全收敛性的概念及其应用是概率极限理论中的一个重要研究内容，尤其是在建立强收敛速度的时候起到至关重要的作用.完全收敛性的概念最早由Hsu和Robbins[1]于1947年给出，其定义如下.

定义0.1称随机变量序列{Xn,n≥1} 完全收敛于一个常数C，如果对任意的ε>0,

由Borel-Cantelli引理容易得到Xn→Ca.s.，所以完全收敛性是一种比a.s.收敛更强的收敛性质.有关更多完全收敛性的结果，可参考文献[2-8].

Stout[9]中定理4.14(i)介绍了独立同分布随机变量加权和的完全收敛性，具体如下.

定理A设α>0， {X,Xn,n≥1} 是一列独立同分布的随机变量，{ank,n≥1,k≥1}是一常数阵列，满足

(1)

其中K>0为一常数，且

(2)

(3)

如果EX=0，且E|X|(1+α+β)/2<∞，则对任意的ε>0，

(4)

显然，由(3)式可推出cn→0,n→∞.因此在(3)式成立的情况下，对任意的β≥α，都有(2)式成立.当β≥α时，Yi等[10]在更弱的矩条件下，给出了类似于(4)式的完全收敛性的结果，其中{X,Xn,n≥1}是一列同分布的负相依(negative orthant dependent,简称NOD)随机变量.本文中试图将Yi等[10]中的完全收敛性结果推广到一类更广的相依变量-WOD随机变量.

WOD随机变量的概念由Wang等[11]给出，具体如下.

定义0.2设 {Xn,n≥1} 为一随机变量序列，若存在正实数序列 {gU(n),n≥1}使得对一切xi∈(-∞,∞), 1≤i≤n，有

(5)

则称随机变量序列{Xn,n≥1} 是WUOD序列; 如果正实数序列 {gL(n),n≥1}使得对一切xi∈(-∞,∞), 1≤i≤n，有

(6)

则称随机变量序列{Xn,n≥1} 是WLOD序列; 如果{Xn,n≥1}既是WUOD随机变量序列又是WLOD随机变量序列，则称{Xn,n≥1} 是WOD随机变量序列，其中gU(n),gL(n),n≥1称为控制系数.

关于控制系数的不同取值，Wang 等[11]指出WOD结构包含很多相依结构，举例说明WOD变量包含很多负相依变量以及其他一些相依变量；同时还举了一些其他的例子：满足WOD变量的定义，但却不满足其他相依变量的定义.

不失一般性，假定gU(n)≥1，gL(n)≥1，n≥1. 在WOD变量的定义中，如果对任意的n≥1，有gL(n)=gU(n)=M，其中M≥1 是一个正常数，则称随机变量序列{Xn,n≥1}是广义负象限相依(extend negative dependent，简称END)随机变量序列，其定义由Liu[12]给出；如果对任意的n≥1，有gL(n)=gU(n)=1则称随机变量序列 {Xn,n≥1} 为NOD随机变量序列，其定义由Lehmann[13]给出，之后Joag-Dev等[14]仔细地研究了NOD变量的性质.众所周知，NOD变量包含负相关(negative associated，简称NA)变量和负超可加相依(negative superadditive dependent，简称NSD)变量作为其特例，具体可参考文献[14-15].而独立变量显然为WOD变量，因此WOD变量包含独立变量、NA变量、NSD变量、NOD变量以及END变量作为其特例，从而研究WOD变量的概率极限理论以及统计大样本理论具有重要的理论意义和应用价值.

自Wang 等[11]给出了WOD变量的概念后，很多统计学者对此产生了浓厚的兴趣，并且取得了很多有意义的结果，比如：Wang等[16]研究了基于WOD变量的基本更新定理，Chen等[17]研究了基于WOD变量的两类非标准的二维更新风险模型的破产概率的一致渐近性，He等[18]研究了非负WOD 变量的精确大偏差的渐近下界，Qiu等[19]研究了WOD变量加权和的完全收敛性和完全矩收敛性，Shen[20]建立了WOD变量的Bernstein型概率不等式, 并给出其在非参数回归模型中的应用，Shen 等[21]建立了WOD变量的若干指数型概率不等式，并给出一些具体应用，Wang等[22]则研究了WOD样本下最近邻核密度估计的若干相合性问题等.本文中将在已有结果的基础上，进一步研究WOD变量加权和的完全收敛性, 所得结果推广到已有文献关于若干相依变量的相应结果.

本文中主要结果的建立需要用到下面随机控制的概念，具体如下：

定义0.3设{Xn,n≥1}为一随机变量序列，如果存在一常数C>0， 使得对任意的n≥1和x≥0，有

P(|Xn|>x)≤CP(|X|>x)

(7)

则称随机变量序列{Xn,n≥1}被随机变量X随机控制.

1 相关结论

本文中的主要结果如下：

定理1.1设r>0，α>0，{Xn,n≥1} 是被随机变量X随机控制的均值为零的WOD随机变量序列.假定存在某常数λ≥0使得g(n)=O(nλ)，{ank,k≥1,n≥1} 是一组常数，满足

(8)

且

(9)

(10)

注1.2在定理1.1中，若ank≡n-α，α>1/2，则条件(8)和(9)显然成立，故由(10)式知，

(11)

注1.3在定理1.1中，若g(n)=O(1)，此时WOD变量就是END变量，从而定理1.1的结论对END变量也成立.

注1.4在定理1.1中，若β≥α，则(1+α+β)/α≥2+1/α，故当r=1时，矩条件E|X|2+1/α/log|X|<∞ 要比E|X|(1+α+β)/2<∞弱.故在一定程度上，定理1.1推广并改进了定理A的结果.

2 主要结果的证明

为了证明主要结果，需要用到以下两个引理.第一个引理是WOD变量的基本性质，具体可参考文献[6]中的推论2.1.

引理2.1设{Xn,n≥1}是WOD随机变量序列.

(i) 如果{fn(·),n≥1} 均是非降(或非增)的函数，那么{fn(Xn),n≥1} 仍然是WOD.

(ii) 如果 {Xn,n≥1}是WOD随机变量序列，那么对一n≥1和任意的s∈R，有

(12)

接下来的引理可参考文献[9]中的引理4.1.1.

引理2.2设X是随机变量并且X≤1,a.s..则

EeX≤eEX+EX2

(13)

最后一个引理是随机控制的基本性质，可参考文献[23].

引理2.3设随机变量序列{Xn,n≥1}被随机变量X随机控制.则对任意的α>0，b>0， 有

E|Xn|αI(|Xn≤b|)≤C1[E|X|αI(|X|≤b)+bαP(|X|>b)]

(14)

E|Xn|αI(|Xn|>b)≤C2E|X|αI(|X|>b)

(15)

其中C1,C2均为正常数.从而有

E|Xn|α≤CE|X|α

(16)

定理1.1的证明任意给定ε>0.不失一般性，假设 0

记

为了证明(10)式，先证明

(17)

因此，为了证明(17)，只需证明

(18)

(19)

和

(20)

即可.

(21)

(22)

(23)

结合(22)式和(23)式，有

(24)

由Markov不等式和(24)式，得

≤

(25)

(26)

(27)

如果ε/(2cn)>nρ，则un=min{ε/(2cn),nρ}=nρ，从而有

注意到g(n)=O(nλ)，故有

(28)

如果ε/(2cn)≤nρ，则un=ε/(2cn)，从而有

此与g(n)=O(nλ)以及(9)式相结合得

(29)

结合(28)式和(29)式得

即证明了(18)式.

接下来证明(19)式.利用Markov不等式、(9)式、引理2.3以及E|X|2+r/α/log|X|<∞，有

(j+1)α)≤CE|X|2+r/α/log|X|<∞,

即证明了(19)式.

P(T‴n>ε)≤P(ankXk>n-ρ)≤

Cnλ(nρp-α(p-2))N=Cnλ+N[ρp-α(p-2)],

这里2

即证明了(20)式，从而(17)式成立.

由引理2.1(i)知{-Xn,n≥1}仍为WOD随机变量序列，故由(17)式知，

(30)

结合(17)式和(30)式得

由ε的任意性知，(10)式成立.定理证毕.

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ThecompleteconvergenceforweightedsumsofWODrandomvariables

WU Caoqing,NING Mingming,SHEN Aiting

(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,china)

By using the truncation method and the exponential inequality of widely orthant dependent (WOD) random variables, the complete convergence for the weighted sums of WOD random variables is established under much weaker moment conditions. As an application, the M-Z type strong law of large numbers is obtained. The result obtained in the paper generalize and improved the corresponding one for independent random variables and some dependent random variables.

widely negative orthant dependent random variables; complete convergence; M-Z type strong law of large numbers

2017-03-23

国家自然科学基金(11501004)和安徽高校省级自然科学基金重点项目(KJ2015A018)资助

吴曹情(1994-)，女，硕士生；通信作者，沈爱婷，副教授，E-mail：empress2010@126.com

1000-2375(2017)06-0567-07

O211.4

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.06.002

(责任编辑 赵燕)