让算法在理解算理中凸显出来

陈娟梅

【摘 要】计算教学的教学目标是理解算理，掌握算法，教学难点往往是理解算理。但教学中发现，两位数乘一位数的口算方法从掌握到应用有一定困难。这与教材编排、教师的教学追求和教学设计都有密切关系。可以通过合理的教学设计，“先让学生理解算理，掌握算法；再对口述过程简化要求，接纳算法；最后巧妙练习，凸显算法”，使口算方法真正为口算而服务。

【关键词】理解算理 掌握算法 简化

笔者曾写过题目为《让算理在算法中清晰起来》的文章在《教学月刊·小学版（数学）》2016年1～2合刊上发表，总以为算理是教学的难点，算法是教学的重点。总以为学生哪怕不理解算理，算法通过练习总是能掌握的。其实有些计算并不是这样的，两位数乘一位数的口算，如15×3=45，在新课学习的时候，学生能明白教师的意图，用口算方法给你回答，10×3=30，5×3=15，30+15=45。一旦离开教师的追问“你是怎么算的”，学生提笔就用笔算的方法进行口算练习，不习惯用口算的方法完成口算习题。这种现象一直存在，教师也只是为教口算而口算，学生为完成练习而练习，教师关注更多的是口算的速度和准确度。

一、口算方法在教学中的相关问题

问题一：学生为什么不喜欢用口算方法

1.教材编排

[年 级 课 题 内 容 二年级上册 表内乘法 1×1～9×9 三年级上册 口算乘法 例1：20×3 例2：12×3 笔算乘法 例1：12×3 例2：16×3

例3：24×9 0和任何数相乘都得0 例1：0×7 7×0 笔算乘法 例2：604×8 例3：280×3 三年级下册 口算乘法 例1：15×3 150×3

例2：6×10 12×20 笔算乘法 例1：14×12 例2：48×37 四年级上册 笔算乘法 例1：145×12

例2：160×30 106×30 ]

从上表可以发现，小学阶段“整数乘法计算”笔算乘法的内容要比口算乘法多得多。《义务教育数学课程标准（2011年版）》评价建议中对第一学段技能评价作出明确要求，一位数乘两三位数笔算1～2题/分。三年级上册练习了一个学期的笔算，学生的笔算已形成技能，相当一部分的学生对笔算的熟练程度已超出课标要求，甚至在脑海里已形成清晰的笔算乘法表象。

2.学生访谈

首先我们要知道，一个人看起来在进行逻辑思考，但其实大多数时间只是在进行记忆检索。遇到问題时，你会首先在记忆中搜索解决方法，如果找到一种，你往往就会立刻使用它，这样做很省事，而且大部分情况下很有效。在学生独立练习口算时，观察学生整个计算书写过程，发现学生的记录顺序是这样的。如23×4 ，23×4 = 2→23×4 = 92，问： 23×4 你是怎么口算的？生答：20×4=80，3×4=12，80+12=92。再问：你在做这道题时，脑子里是怎么想的？生：列竖式，三四十二，写2进1，二四得八进1是9，等于92。问：你刚才不是说口算是先算……再算……最后算……这道题就要你口算没要求你笔算，为什么你脑子里还是笔算？生：因为口算太麻烦，笔算方便点。此时，我在琢磨学生认为的麻烦是什么， 可否克服。在讨论交流中，学生认为口算要在脑海里记忆的太多，只有算到最后的加法才得出结果，而笔算的方法是边算边记忆，没有记忆负担。其实，学生是依赖长期记忆，遵循曾做过的步骤完成计算。

问题二：教材编排要求掌握什么口算方法？

教材呈现的例题：每筐有15盒草莓，买3筐草莓有多少盒？求3筐有多少盒也就是求3个15是多少，用乘法计算，15×3=45，像这样能列式而且明白为什么这么列式计算，能计算出准确的结果及明确怎么算的方法，学生是没有问题的。而教材的要求不只这些，呈现两种不同的算法 ，体现算法多样化。

教材编写课题命名也是“口算乘法”，笔算是三年级上册的学习内容，很显然，重点是让学生掌握口算方法，即将两位数拆成整十数和一位数分别乘另一个乘数的积，再把两个积相加。教学参考用书上的教学目标第一条也明确指出：要掌握两位数、几百几十数乘一位数（进位），两位数乘整十数、整百数（不进位），整十数乘几百几十数（不进位）的口算方法，体会算法多样化。编者意图比较明确，口算方法是需要掌握的，用笔算法来进行口算只是体验一下多样化而已，自然，口算方法是教学的重点。

问题三：为什么非要用这种口算方法？

公开课、常态课，教师口算都是这样教学的，学生也都是这样很认真地口述口算过程，但同时也都是“爱你没商量”地用笔算方法做习题的。但没发现学生的计算有问题，也没发现口算速度与准确度有问题。当然，如果考试，口算题填空形式复习一下也不成问题，那么这样的口算方法有何价值。

以上是两种计算方法，第一种是新授的口算方法，第二种是已掌握的笔算方法。第一种方法是在学生理解各部分乘积表示什么意思的基础上进行口算的，第二种方法是学生哪怕不理解算理，凭记忆也能完成的程序性知识。对于三年级孩子来讲，在脑海里形成的竖式表象比口算方法来得方便，不需要思考，不需要记忆，口述起来比较简单，而且口述与写得数可以同步进行。而第一种三个算式都先要储存于大脑，直到最后得出结果，才在算式后面写上得数，整个过程既要思考又要记忆，学生显然不喜欢。那么口算方法，仅从得出结果来讲，并没有多大的应用价值，不管是速度还是准确度，那为什么还要学习？我们不妨看看学生的后继学习，乘法分配律a×（b+c）=a×b+a×c、初中里的多项式相乘（a+b）×（c+d）=ac+ad+bc+bd等，都蕴含着分与合的过程，还有两位数×两位数，如15×13需要口算时，口算方法15×10=150，5×13=65，150+65=215一定比竖式要方便。那么看似无用的口算方法对于后继学习具有重要意义，面对学生的现状该如何凸显口算算法，真正落实口算方法，值得思考并要寻找相应的教学策略。以下谈谈个人粗浅的想法。

二、落实口算方法的教学策略

（一）理解算理，掌握算法

计算教学要让学生理解算理，掌握算法。教材编排呈螺旋式上升，三年级上册学生已经学了类似于12×3不进位口算乘法，并掌握了10×3=30，2×3=6，30+6=36的口算方法，同时也掌握了12×3与16×3的笔算乘法。

教材创设生活中的水果超市情境，提出要解决的问题：每筐装15盒草莓，买3筐，3筐草莓有多少盒？在熟悉的情境里学生更容易理解，同时也感受到，数学源于生活，学习数学能解决生活中的一些实际问题。列出算式后，教材编排了方块图（见右图），方块图同小棒图一样具有普适性，具有统一性、整齐性，学生比较熟悉，便于运用，能很好地起到帮助理解的作用。摆出第一个因数15，连续摆三次，可以思考，为什么15摆成1个+加5个一的样子？体现数位、体现位值、体现分類，怎么算？用笔算方法，先算3乘5是15，写5进1，再算1乘3得3，3加进上来的1是4，得45。笔算是口诀结合数位及位值原则求得积，整个过程对位值的理解至关重要，至于计算的要求是比较低的，针对这个题目，只是涉及表内乘法及20以内加法。口算是要求先合并3个10是30，再合并3个5是15，最后算30+15=45，每一步算式与图的结合是比较简单、具体、直观的，是一一对应的，学生的理解是不成问题的。在例题下面紧接着安排想一想：150×3= 。教材编排希望通过想一想，让学生利用已掌握的两位数乘一位数的口算方法进行迁移，自主探索几百几十乘一位数的口算方法。其实学生迁移不了什么，也谈不上自主探究，学生在做150×3时，会直接写450，没有思考过程，直觉告诉他，在45的末尾添上0得450。这样的结果没有错，但理解还是有必要的，我们应该通过自己的教学去帮助学生逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。根据前面15×3的图示表示经验，给学生一个思考创造的空间，算算150×3为什么会是450。

用图示表示150×3，再通过操作理解先算100×3=300，再算50×3=150，最后算300+150=450。让学生思考为什么个位上会是0。因为图里面只有几个百和几个十，压根就没有几个一，所以个位必然是0。不要过早地上成简单的寻找规律，一个因数末尾多了一个0，另一个因数不变，积的末尾也多一个0，这样的教学要不得。不要因为计算速度及所谓的课堂教学效率而压缩了学生自主探究的空间，从而使学生产生消极心理。理解算理不仅仅是例题教学的任务，让算理之路走得更长一点，学生的思维发展也会多一点。算理理解了，算法也就是水到渠成的事了。

（二）简化要求，接纳算法

以求得一个算式的得数，算法往往不是唯一的，它是多样的。有些方法是难理解的，但基本规则已铭记在心，比如，小学里经常会出现简便计算的题目，比如乘法分配律，理解很难，如果题目没要求能简便的要简便计算，学生更愿意用已掌握的先乘除后加减的计算法则逐步求得结果。因为他们已熟悉了这条经历多次的老路，计算起来大脑会比较省力，失败风险较小。宁可选择机械的、记忆的、熟悉的方法，哪怕烦琐也无所谓。又如，本文讲的15×3的口算乘法，在新课学习时，教师要求学生说出是怎么想的时候，学生会用10×3=30，5×3=15，30+15=45来讲算理，以满足教师的要求。一旦离开教师的口述要求，做练习仍然用笔算方法。那么，作为教师要思考一个问题：这节课也只是为了新课教学而见识一下口算方法吗？肯定不是的。我们要思考，如何让学生真正爱上口算方法，优先考虑口算方法。首先要简化，口述要简单，计算要不难，便于孩子应用。当学生明白用三道算式计算的道理后，这时可以引导学生：其实你可以只算一道。学生：怎么可能？师：我算给你看看，15×3，只用算30+15=45，你知道30和15这两个数怎么来吗？学生异口同声回答得很轻松。师：如果可以这样你觉得如何？学生：好，那我喜欢。为什么可以省略呢？这取决于在什么环境下说给谁听，大家在一起经历了整个计算过程，省略的只是大家熟悉的明白的两步口算算式，那么简化说的过程，不会影响孩子的思维，而且锻炼了学生的心算，又巩固了口算方法。

（三）巧妙练习，凸显算法

任何一种算法，都要通过训练形成技能。一旦形成技能，学生就会得心应手，自然应用。由于口算过程烦琐、枯燥乏味，尽量使练习设计得富有层次感、趣味性，使学生乐意参与。

教学15×3=45，教材利用方块图理解每一步算理，展示分与合的过程。同步出现口算方法的每一步算式，10×3=30，5×3=15，30+15=45。当然出现竖式计算的方法同样给予肯定，但不能毫无商量地要求学生口算时要说10×3=30，5×3=15，30+15=45三步算式，笔算时用竖式。让学生畅所欲言两种方法各自的特点，然后跟学生一起商讨，既然口算自有自己的方法，我们想办法学会它，并爱上它。先简单记录口算方法 ，这样的过程记录可以减轻学生的记忆负担，通过练习，使学生熟悉了过程记录，逐步建立表象，最终可以省略记录。如教材安排做一做 ：

11×5 14×4 15×6 23×4

110×5 140×4 150×6 230×4

可以先完成第一行习题：

11×5 14×4 15×6 23×4

要求1：想象方块图或小棒图，记录口算过程（至少三步）。要求记录三步的意图是为了巩固口算方法，建立口算模型。

要求2：说说口算过程。看着 算式说口算过程，10×4=40，4×4=16，40+16=56，说得数。

要求3： 看着算式 直接说40+16=56，有意识简化口述过程。

要求4：看着算式14×4直接说加法40+16=56。

此时发现大部分学生还是挺乐意这样做的。对于中下水平的学生可以先记录过程再写得数，允许慢慢说，延长简化的过程，给予熟悉、接纳的等待过程。

要求5：添上0想象图式（可以是方块、小棒、人民币等），想象合并过程，记录简单过程。如：

要求6：说说合并过程，用一步加法算式说得数。

要求7：你还想说些什么？

学生发现每一组的第二个算式比第一个算式的得数都多了一个0。

要求8：这是为什么？

一个因数不变，一个因数多了一个0，积也多了一个0。

不同时出现两行口算题的目的是为了避免不经历思考凭直觉而得出150×3=450，我们不以结果为目的，不以速度为目的……为学生的核心素养发展而教。当学习完整个单元内容时，试着让孩子口算类似15×12的两位数×两位数算式，此时学生能轻松口算150+30=180，再让他们用笔算的方法来口算时，学生无法清晰笔算过程，无法建立笔算表象。总之，作为老师在算理和算法上有个正确的认识，在全面分析学情的基础上使口算方法真正为学生的口算而服务。

参考文献：

[1]斯苗儿，俞正强.“浙江省中小学学科教学建议”案例解读——小学数学[M].杭州：浙江教育出版社，2014.

[2]刘加霞，刘琳娜.小学数学有效教学模式[M].北京：北京师范大学，2014.

（浙江省永嘉县教师发展中心 325100）