课本习题：为理解算理引路

陆建江

【摘 要】一个数除以小数是计算教学的一个难点。商不变规律是把除数转化成整数的算理依据。课本习题是促进转化的有效载体。通过描述三道课本习题的教学实践与思考，来说明在这一板块知识教学中，以商不变规律为主线，依托课本习题，唤醒、细化、发掘商不变规律，是回望过去、着眼现实、展望未来的有效教学路径。

【关键词】课本习题 商不变规律 理解算理

人教版五年级上册“小数除法”单元中的“一个数除以小数”，是小学数学计算教学的一个难点，它是在“除数是整数的小数除法”的基础上教学的，需要先把除数转化成整数再计算，商不变规律是转化的算理依据。如何正确转化，成了学生学习“一个数除以小数”的瓶颈。笔者在实践中体会到：教材编写的习题，为学生理解算理、疏通瓶颈提供了宝贵的教学资源。

一、回望过去：唤醒“商不变规律”，为理解算理“铺路”

（一）习题研读：新编人教版五年级上册第27页练习六第12题（见图1）

这道习题是学习“除数是整数的小数除法”的最后一道练习题。解读编写意图，显然是既巩固“除数是整数的小数除法”，又为下一节学习“一个数除以小数”做有益铺垫：用商不变规律理解算理，即移动除数与被除数的小数点的依据。

（二）教学实录

师：请同学们先完成这题，然后想一想：你想到了什么？

生：三个商都是0.3，我想到了商不变规律。

师：谁能说得更具体一些？（学生思考片刻）

生：被除数和除数都乘10，乘100，所以商不变。

师：你这是从左往右看的，还能怎么看？

生：从右往左看，被除数和除数都除以10，100，所以商不变，都是0.3。

师：如果被除数是0.15，除数是0.5，商应该是多少？为什么？

生：还是0.3，因为被除数和除数都除以10，商不变。

师：谁能完整地说说商不变规律？

生：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

师：看来，商不变规律很重要，请你在表格下面写一遍，再读一读，记一记。

（三）教后反思

基于此题对下节课教学重要性的把握，教师没有只满足于算出商都是0.3，没有轻描淡写地“一笔带过”这道习题，而是把这题的教学目标定位在：通过算一算，填一填，唤醒学生对商不变规律的回忆，完整地表述商不变规律。因为这个规律是学生在四年级上册学的，艾宾浩斯的遗忘曲线研究表明：遗忘的进程是先快后慢，到后来不再遗忘。经过的这一年，正是学生遗忘最快的时期。所以，让学生先依托习题并适度拓展回忆，再完整地说一说商不变规律，最后写一写、读一读、记一记，很有价值。为学生理解“一个数除以小数”的算理铺平道路，把正新旧知识对接的方向。

二、着眼现实：细化“商不变规律”，为理解算理“修路”

（一）习题研读：人教版五年级上册第30页练习七第1题（见图2）

这道习题是移动除数與被除数小数点的专项练习，移动小数点的依据是商不变规律。细看答案可以发现：移动小数点后，除数都转化成了整数，把被除数会出现的情况（整数、小数、补0）呈现齐全了。这与原教材相比，是一大改进。此题可以在引入复习时做，也可以在完成例1教学之后、“做一做”之前进行单项训练。

（二）教学实录

师：“□”里的得数你是怎样想出来的？

生：被除数和除数都乘10。

生：被除数和除数都乘100。

师：乘10，还是乘100由谁决定？

生：先看除数转化成整数时乘了几。

师：说得真好！请大家在上面四题中选择一题，具体说说。

生：第①题除数1.2乘10是12，所以被除数也要乘10，商不变。

生：第②题先把除数乘100，转化成整数，再把被除数乘100。

……

师（根据学生回答，形成板书，式样见图3）：请照样子把②③小题也画一画。

师：对，先要移动除数的小数点。请仔细观察，移动小数点后，除数转化成整数，被除数呢？

生：第①题被除数仍然是小数，其余的都是整数。

师：是的，移动小数点后，除数都转化成了整数，被除数可能是整数（如第②题），也可能是小数（如第①题），还可能要补0（如③④题）。

（三）教后反思

正确移动小数点，是“转化”过程中最为关键的步骤。上述教学片段中，通过教师提问引领、板书示范、小结举例等细化手段，解决了三个问题：一是找到“转化”的依据，将“转化”过程与商不变规律建立连接；二是理清移动小数点的顺序——先移动除数的小数点，再移动被除数的小数点；三是消除学习的负迁移，促进正迁移，因为教材例4和“做一做”的前两题，除数转化成整数后，被除数也是整数，学生容易因此产生误解。如此，在关键处点拨，在易错处辨析，算理与算法交融，实现将小数除法向整数除法的转化，促进计算方法的形成。

三、展望未来：发掘“商不变规律”，为沟通算理“望路”

（一）习题研读：人教版五年级上册第41页练习九第10题（见图4）

练习九是用小数除法解决问题的配套练习，编入上面的计算题，看似不符练习主题，其实独具匠心：适时复习商不变规律，防止遗忘；增加计算题的思维含量，活跃学生思维；蕴含分数除法计算法则，为六年级学习分数除法做铺垫。它属于承上启下的练习。

（二）教学实录

师：通过计算上面各题，你发现了什么？（学生思考片刻）把你的发现与同桌说说。（全班交流）

生：上下两题的得数一样。

生：两题的第二个数相乘是1。

生：一个数除以0.5等于这个数乘2。

生：一个数除以0.25等于这个数乘4。

……

师：大家的发现真是又多又有价值。看来，把除法转化成乘法，使计算简便。用你的发现计算3.7÷0.125。

生（板演）：3.7÷0.125=3.7×8=29.6。

师：了不起！说说你的想法。

生：3.7÷0.125，除数是三位小数，用豎式计算很麻烦；根据上面的发现，0.125×8=1变成乘法后就可以口算。

师（完善板书）：3.7÷0.125=（3.7×8）÷（0.125×8）=3.7×8÷1=29.6。算得好，说得更好！为什么可以这样算，到六年级学了分数除法，会解释得更清楚。

（三）教后反思

审视以上教学流程，首先做到面向全体——采用独立思考、同桌交流、全班汇报的形式，学生果然思维活跃，发现得又多又有价值；其次，适度提高要求，拓展练习——“用你的发现计算3.7÷0.125”，趁热打铁，让学生学以致用，灵活运用商不变规律简便计算，通过“说说你的想法”外显思维过程，体验把除法“转化”成乘法计算的优势；最后面向未来——教师用完善板书、小结语对学习分数除法进行展望。如此教学，实现教材习题编排思路与学路的对接。

新课程倡导算理算法并重。 对于计算教学，我们应该用课本习题为理解算理引路；辐射到新课程其他领域，也应该发掘习题价值，发挥习题功能。因此，教师应放眼课程视野，智慧研读习题编排意图，厘清习题前后联系，有效组织、适度拓展习题教学，让习题为突出教学重点、解决教学难点、修正认知错误服务，成为落实“四基”的重要载体。

参考文献：

[1]费岭峰.计算课不仅仅关注计算[J].教学月刊·小学版（数学），2004（12）.

（浙江省绍兴市上虞区小越镇中心小学 312767）endprint