在“悟”中学策略

徐宏臻

【摘 要】在教学“解决问题的策略”时，教师要引导学生对策略进行具体的、充分的和不断的感悟，从而“悟”出策略的名称、内涵、实质、适用范围以及使用注意点等。为此，教师在引入时要具体地“悟”，在回顾时要充分地“悟”，在运用时要深刻地“悟”，在拓展时要不断地“悟”，直至学生对此形成较为准确的、清晰的、全面的和深刻的认识，并逐步养成“爱策略”“想策略”“用策略”的意识。

【关键词】解决问题教学 悟 转化策略

在教学“解决问题的策略”这一内容时，笔者常想：如何让这种策略被学生充分地感悟、深刻地内化和主动地运用呢？实践证明，“悟”是内化策略的一大法宝，也是重要的实施路径。教师要引导学生对策略进行具体的、充分的和不断的感悟，从而“悟”出策略的名称、内涵、实质、适用范围以及使用注意点等，直至形成较为准确、清晰、全面和深刻的认识，这样才有可能将其内化为学生自觉的行动。现以苏教版五年级下册的转化策略为例，谈谈笔者是如何让学生“悟”的。

一、在引入时具体地“悟”

感悟在过程中产生和形成。学生对某种策略的感悟需要有具体的、深刻的解题过程做支撑，需要有亲身经历的“做数学”的体验做基础。过程丰盈，体验自然丰富。笔者认为，这个探究过程不能太顺畅，否则学生的体验会不多、不强和不深，他们也不会主动地寻找和感悟策略。为此，教师要适当增加问题的挑战性和复杂性，制造学习的“障碍”，让学生的探究之路变得曲折一些；要善于把某種策略先“藏”起来，让学生独立思考，自主探究，合作交流，亲历一番较为坎坷的、充分的问题解决的过程，再把策略寻找并揭示出来，从而让这种策略“凸”出来。这样，学生才乐于“悟”策略的名称、内涵。

在教学苏教版教材“解决问题的策略”时，一般安排两道例题，其中例1主要是引入这种策略，例2主要是运用这种策略，都是通过解决某个具体的问题让学生学习某种策略。为了凸显这种策略的价值和意义，教材往往选择较为典型的且有一定难度的实际问题作例题。在教学时，教师要让学生具体感悟到的是运用了什么策略，是怎样运用的，为什么要运用这种策略，运用这种策略有什么好处，在运用时要注意什么等。要设法让学生强烈地感受到：这里的确是运用了一种好的策略帮助我们解决了难题，这种策略真有用，我们要把它找出来，为方便地解决问题服务，从而引导学生自觉地寻找并揭示策略，主动地“悟”策略。

例如，在教学转化的策略时，例题是把两图画在格纸上，让学生观察和比较哪个面积大一些。为了凸显转化策略的好处和内涵，笔者有意对此进行了改进。先出示没有画方格的两图（如图1），让学生看图比较面积的大小。学生或猜左图面积大，或猜右图面积大，或说难以比较。笔者问学生：你们难在何处？学生或说两图太复杂了，以前没学过；或说没标关键的数据；或说没把图放在格纸上。这时，笔者顺势把两图放在格纸上（如图2），先让学生仔细观察这两个图形的特点，再比较大小。有学生说，可以通过数方格的方法比较。笔者让其上台一一数方格（即按照以前的数法，不满一整格的都算半格）。许多学生说这种方法太麻烦，且不够准确。于是，笔者问：有更好的方法吗？顺势让学生自主想妙法比较大小。学生兴趣盎然地在作业纸上探索起来，他们或想或剪或拼等。

待学生自主地、充分地探索后，笔者借助教具让其把具体的转化过程和结果一一板贴在黑板上（如图3）。对于图1，有人把其上部半圆剪开，平移到下部，正好拼成一个长8、宽6的长方形；有人把其下部的“拱桥”剪开，平移到上部，也正好拼成一个长8、宽6的长方形。对于图2，有人把其下部两个半圆形都剪开，分别向上旋转180°，正好拼成一个长8、宽6的长方形；有人把其上部均分后剪开，旋转到下部，正好拼成一个长12、宽4的长方形；还有人沿着对称轴剪开，翻转其中一部分，从而把原图拼成一个长8、宽6的长方形。这时，学生强烈地感受到转化的神奇和价值，直观地看到两图形状虽变，但面积不变，由衷地夸赞转化。这时，笔者再引导学生比较转化后两图面积的大小，学生说太简单了！两个原图都被转化为含有48个格子的长方形，所以面积相等。

在此基础上，笔者引导学生及时反思：刚才我们是用什么策略解决了这个问题的？你能给这种策略起个名字吗？学生纷纷举手，或说变形，或说转变，或说变换，或说转化……这时，笔者趁势揭示课题“解决问题的策略——转化”也就水到渠成了，学生似乎对“转化”二字有点意会。笔者继续引导学生深思：在转化的过程中，什么变了，什么没变？你认为转化有什么好处？我们是运用哪些方法进行转化的？你还有哪些体会要说？由于亲身经历了较为曲折的探究过程，学生自然有话要说，而且有许多话要说。他们说：两图的形状变了，周长变了，但面积没变；转化能把复杂的、繁难的问题变为简单的、容易的问题，把未知的图形变为已知的图形。这时，笔者顺势在上图相应位置板书（复杂→简单；未知→已知），图文对照，便于理解，学生对转化策略似乎加深了体会，很容易说出是用平移、割补和旋转等方法进行转化的，在转化的过程中要注意前后图形中是什么变了、什么没变等。

笔者有意“逼”学生自主想策略。面对没有格纸的裸图，学生先感到无措；加上格纸后，学生有了思考的依据，自然而然地想到了数方格；然而由于数方格有缺陷，他们又不甘心一一去数，这种矛盾心理“逼”着学生去探寻更好的解决问题的方法。他们主动地去思索，去操作，去变形，去验证，从而寻找到解决问题的好方法。在此基础上，引导学生把方法上升到策略，为其起名，感悟其好处和意义，以及使用中的注意点等，从而逐步“凸”出此策略，并让学生对这种策略有具体的、直观的感悟。这样，学生对这种策略的体验就会强烈和深刻，就会有较深的印象，策略也会逐步“烙”在学生心上。

二、在回顾时充分地“悟”

一种策略要想逐步走进学生心里，仅靠对一道例题的具体感悟是不够的，学生需要有充分的感性积累和大量的实践体验。只有对较多的实例有充分的感悟，学生才会对某种策略有所感知和体验，才会有运用的意识。为此，苏教版教材在编排“解决问题的策略”时，采用了“前有孕伏，中有突破，后有运用”的编排体系，并在具体教学某一策略时，特意安排了回顾和反思环节，引导学生回想一下，以前曾经运用这种策略解决过哪些问题。这样编排的目的就是为了让学生充分地感悟策略，多方面地体悟策略，从而丰富对策略的体验，深化对策略的认识，内化策略的实质，增强运用意识。为此，教师要充分利用学生已有的知识和经验，发挥其对感悟策略的独特价值，引导学生从策略的角度进行回顾和再认，沟通其内在联系，并将其提升到数学思想的高度来认识。有人认为，这一环节应快速通过，省下时间让学生赶快做题。笔者认为，这一环节的教学虽不应像例题那样浓墨重彩，但也不应浮光掠影，应择其要点和关键，适当引导学生进行具体的回顾和反思，让其切实体会到：在学习某个知识时，的确是运用了这种策略，并且能说出如何运用的，从而增强策略体验，积累转化经验，感悟策略本质。endprint

例如，在上述教学后，首先笔者引导学生回顾以前曾运用这种策略解决过哪些问题，先回忆在图形方面的运用。学生说在求平行四边形的面积时，曾把平行四边形的面积转化为长方形的面积。笔者相机出示图形，让学生具体说说当时是如何转化的（过程和图略）。学生又说在求三角形（或梯形）的面积时，曾用两个完全一样的三角形（或梯形）拼成一个平行四边形，从而把三角形（或梯形）的面积转化为相应平行四边面积的一半。同样，在求圆的面积时，也进行了多种转化（过程和图略）。在此基础上，让学生回想一下学习这些图形面积的顺序，再看看转化的顺序，并进行比较（见图4）。学生通过观察、比较，体悟到：学习是从简单到复杂，从易到难，而转化的顺序把复杂的转化为简单的，把未知的转化为已知的，从而进一步理解转化的内涵和实质。

其次，举例说明转化在数的运算中的运用，并让学生自己举例，让学生切实感悟到其中的转化思想，感悟到转化思想在数学上的运用比比皆是。最后，把形与数方面的典型实例进行汇总，让学生集中观察和感悟，体会什么叫转化，为何要转化，如何转化，这样转化有什么好处，在转化时要注意什么，你有什么体会要说等，从而丰富对策略的体验，深化对策略的认识，增强策略意识。

通过教学，学生深切地感悟到：转化其实就是换一种角度思考问题，变一种思路解决问题；就是把未知转化为已知，借助已知解决未知；就是把难解的问题变为易解的问题，把复杂的问题变为简单的问题等。

三、在运用时全面地“悟”

“用”非常有利于“悟”。教材既想让学生通过策略解决问题，又想通过解决问题使其进一步領悟策略，它最关注的是“策略”。为此，专门安排了相关的运用练习，让学生在用中进一步地“悟”。为了促使学生对某一策略有丰富的、深刻的感悟，教师不应止步于一节课学生做多少习题，而应以学生对策略感悟的多少和深浅为要旨，引导学生结合解决问题全面地“悟”，具体“悟”到：为什么要转化，究竟是把什么转化成了什么，是如何转化的，有哪些新体会等。这样才便于学生对策略有更具体和更全面的体悟，才便于其掌握转化方法，形成策略意识，产生转化行为。

例如，在上述回顾和反思后，笔者让学生解答练习十六第1题（等长变形），在其解答后，引导学生及时反思：这里运用了什么策略？（转化，即把原来不规则图形的周长转化为规则的长方形的周长，把未知图形的周长转化为已知图形的周长）是如何运用的？（用平移的方法）转化前后，什么变了，什么没变？（形状和面积变了，但周长没变）。这样转化后有什么好处？（简便）这样就让学生具体感悟到转化的前提是前后相等，转化的方向是化繁为简。当然，这些要点在后续的练习中还要让学生多次体悟到，并照此进行转化。

有些习题转化的方法不止一种，这更要让学生借此进行多方面的感悟，以便其对某种策略有更全面的认识，从而学会优选转化方法。如在解答用分数表示图5中的涂色部分时，学生出现了三种不同的转化方法：一是改“斜”归正，即把图中“斜”放的正方形拨“正”（如图6）。许多学生误以为涂色正方形的边长就是3，从而得出涂色的面积占大正方形的[916]。二是直接划分，即把图中阴影部分划分为四个同样的小直角三角形和一个边长为2的正方形（如图7）。

每两个小直角三角形拼成一个长方形，这个长方形的面积占3格，这样阴影部分共有6+4=10格，从而算出阴影部分占整个图形的[1016]=[58]。三是侧面进攻，先把4个空白部分拼成两个长方形，从中明显看出空白部分共有6格，再用16-6=10格，因此很容易求得阴影部分占整个图形的[1016]=[58]（如图7）。笔者让学生比较这三种方法：你更喜欢哪种方法？学生普遍认为第三种方法简便、巧妙。

对于第一种方法，许多教师或借助直观演示，或借助“在点到直线的所有线段中，垂直线段最短”，或借助“斜边大于直角边”，说明涂色部分不是边长为3的正方形，从而既否定了学生的得数，又否定了学生的方法。其实，学生把原图拨正是正确的，只不过涂色正方形的面积，学生暂时还不能求出，待到中学就能根据勾股定理知道是32+ 12 =10，从而求得涂色部分的面积占整个图形的[1016]=[58]。所以教师不应完全否定这种转化方法，而应告诉学生：这样转化便于观察，但我们暂时还不能求出涂色正方形的面积，到了中学就会很方便地求出，请换一种转化方法。通过这一题的解答，让学生充分感悟到：有时从正面进攻比较困难，不如换一个角度，从侧面或反面进攻。笔者顺势出示匈牙利数学家路莎·彼得的名言：“数学家们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。”这样，学生对转化策略就会有新的、更多的认识，就会积累更多的转化经验。

当然，在教学中，我们也要防止只用一种策略“狂轰滥炸”，使学生产生思维定势和审美疲劳。我们要通过适当的变式，让学生感悟到：解决问题要根据实际情况，灵活选择策略，有时需要运用多种策略（具体教学过程略）。

四、在拓展时深入地“悟”

在教学转化的策略时，许多教师在课尾都要进行适当的拓展和延伸，介绍转化在生活中的广泛应用，如“司马光砸缸”“ 围魏救赵”等，介绍古今中外的名人运用转化策略巧妙地解决数学问题的故事，如“曹冲称象”“于振善称面积”等，从而拓宽学生的视野，增强学生的转化意识。笔者认为，在介绍这些故事时，教师不要只让学生听听而已，而要让学生边听故事，边与主人公一起想办法解决问题，仿佛置身其中，一同经历解决问题的全过程。这样才能让学生“悟”到“策略味”，“悟”到其中的数学思想，“悟”出新意，“悟”出智慧，从而提升策略，运用策略。

如在讲述“于振善称面积”的故事时，在介绍了相关背景后，可启发学生思考：你知道，木匠出生的于振善在面对如何较为准确地求出各国不规则的地图面积时，想到了什么巧妙的方法吗？让学生先独立思考，自主探索。在学生一筹莫展或各抒己见后，才出示图8，引导学生思考：你知道他是怎么“称”的吗？引导其再思考，再探索，并交流。在此基础上，再逐步介绍于振善的方法：他找来一块质地均匀的木板，把各国不规则的地图描在纸上，贴在这块木板上。这时，笔者继续引而不发：猜猜看，接着他会怎么做？在学生充分思考和交流的基础上，再逐步揭示于振善的妙法：于振善从这块贴有地图的木板上锯下一块1平方分米的木板，称出它的质量。你知道下一步，于振善会怎么做？有的学生灵机一动，想到于振善会把所求面积的地图从木板上锯下，再称出其质量，最后把两块木板在质量上的倍比关系转化为它们面积之间的倍比关系，从而推算出地图的面积。这时，学生情不自禁地感慨道：转化真神奇！于振善真有智慧！这时，笔者引导学生反思：于振善究竟是用什么策略解决这一难题的？怎样运用的？学生大多能领悟到：于振善是把不规则地图的面积转化为规则的1平方分米的面积，通过两块木板在质量上的关系，推算出未知的地图的面积。

这样，学生边听故事边思考，一起经历解决问题的过程，远胜直接介绍。学生不但印象深刻，而且从中能进一步强烈和深刻地体悟到转化策略的神奇和价值，感悟到智慧的力量，从而增强运用策略解决问题的意识，使策略意识和数学思想逐步根植于心。

由此想到，策略教学必须切实重视学生的“悟”，要通过不断地“悟”，引导学生“悟”出该策略的内涵和本质，“悟”出该策略的特点和使用方法等，并使学生养成“爱策略”“想策略”“用策略”的意识，增强其策略地、创造性地解决问题的意识，从而让策略意识逐步走进学生心里，并内化为自觉的行动。

（江苏省高邮实验小学 225600）endprint