谈谈常微分方程解的存在唯一性定理的教学

罗勇

摘 要：本文以高等学校常微分方程解的存在唯一性定理的教学为例，阐述高等学校数学教育，提高教学效率和效果的可能的途径和应该注意的问题。本文的观点主要基于作者亲身的教学经验和总结，同时力图使本文的教学观点和建议具有一般性和广泛的意义。

关键词：高校数学教育；常微分方程基本定理；教学方法

在各高校的许多本科专业，如数学，物理，计算机，经济与管理，工科等在大二或大三的时候都会开设常微分方程这门课程。笔者从事经济与管理学院金融专业的常微分方程的教学工作已有两年，今年已经是第三次主讲这门课程了。因为对这门课程积累了较多的教學经验，难免心中有一些感悟，不发不快。今天就来简单讲讲这门课程其中的一个章节：常微分方程解的存在唯一性的教学的一些经验体会，算是对自己教学经验的小结，希望能够启发自己和读者。

笔者比较了现在国内几本主要的常微分方程教材，比如复旦大学出版社出版，张晓梅教授等人主编的《常微分方程》； 高等教育出版社出版，东北师范大学微分方程教研室主编的《常微分方程》以及高等教育出版社出版，北京大学丁同仁教授等人编写的经典教材《常微分方程教程》之后发现，不同的教材在编写常微分方程解的存在唯一性定理的时候，选材是大同小异的，几乎都以Picard存在唯一性定理为主，兼顾着介绍一下Euler的解的存在性定理。但是由于不同的教材假想的受众不太一样，各个教材还是会有一些差异。

常微分方程在高校的所有数学课程中，总的来说是一门比较简单的基础专业课，但是它又为应用高等数学和线性代数来解决很多实际问题，提供了一个很重要的例子。因此笔者认为它具有很独特的地位。尤其是在解的存在唯一性定理的讲解中，提供了一个全方位锻炼大学生数学思维能力的机会。笔者接下来就来展开说明为什么是这样。

Picard存在唯一性定理是说，如果方程的右端函数f（x，y）在以（x_0，y_0）点为中心，长a宽b的矩形区域上连续，并且关于y变量在该区域上满足Lipschitz连续性条件，那么常微分方程的初值问题存在唯一的解，其中解的存在区间在a和b除f在矩形区域上的最大值的商中取小。定理的证明非常漂亮，先是把方程转化为和它等价的积分方程，然后对积分方程做Picard迭代，定义出来一个函数序列，再证明这个函数序列在定理的区间上一致收敛到积分方程的解，从而证明了微分方程解的存在性。唯一性的证明可以用一种在存在性的证明中反复用到的迭代估计的方法，也可以通过证明Bellman引理得到，两个证明都是非常简洁漂亮的。其中用Bellman引理的证明更复杂一些，但是由于Bellman引理的重要性，这个证明方法也是值得详细介绍的。

要提到的是，除了用Picard迭代的方法证明解的存在性之外，还可以用压缩映射不动点定理来进行证明。不动点定理的证明方法可谓是高屋建瓴，其论证非常简短，其美妙难以形容。但是在建立不动点定理的过程中需要引进较为抽象的距离和完备性的概念，需要学生进行一些适应。我觉得这个证明方法可以介绍性的给学生讲解，但是对于数学系的学生，这个证明是完全可以理解的，应该进行详细的讲解。

从事数学研究的时候，我们会知道，一个定理的得出，其假设是非常重要的。不同的假设得到不同的结论。假设的强度也影响到结论的强度。在大学数学教育中，数学定理与其假设的这种关系，我们往往强调的不够，使得学生的数学素养有一定程度的缺陷。想要加强这种教育，在讲解常微分方程解的存在唯一性定理的时候，就是一个极好的机会。因为我们知道Picard解的存在唯一性定理中，解的唯一性实际上就很依赖于f（x，y）关于变量y是Lipschitz连续的这个假设。因为Euler存在性定理告诉我们，要得到微分方程解的存在性，假设f（x，y）是连续的就够了，但是Euler解一般来说不是唯一的。在数学研究中，如何在尽可能弱的假设下得到同样的结论也是核心的努力方向之一，我们也应该在大学数学教育中强调这一点。比如在常微分方程解的存在唯一性定理中，我们就可以问为了仍然得到解的存在唯一性，f（x，y）的假设是否可以减弱。这方面的尝试在丁同仁教授等人的教材中就有，我们在教学的过程中亦应该把它作为一个重要的方面进行强调。

以上就是笔者近年来从事常微分方程这门课程的教学之后，在比较了若干主要教材，结合现场教学体验之后对常微分方程解的存在唯一性定理的教学应该注意和强调的一些方面，进行的一个小结。教育方法和教学效果的提高，是一个宏大的课题，需要进行长时间的积累，总结和提高。希望笔者若干年后，能对这个课题发表新的感想，以供方家指正，不胜感激！

参考文献：

[1]张晓梅，张振宇，迟东璇.常微分方程[J]，复旦大学出版社.

[2]东北师范大学微分方程教研室主编，常微分方程第二版[M].高等教育出版社.

[3]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社.endprint