关于一类偶阶中立型时滞微分不等式最终正解的不存在性的注记

林文贤, 杨雯抒

(1.韩山师范学院 数学与统计学院,广东 潮州 521041; 2.嘉应学院 数学学院,广东 梅州 514015)

关于一类偶阶中立型时滞微分不等式最终正解的不存在性的注记

林文贤1, 杨雯抒2

(1.韩山师范学院 数学与统计学院,广东 潮州 521041; 2.嘉应学院 数学学院,广东 梅州 514015)

利用广义Riccati变换、积分平均技巧及直接分析方法,研究一类具连续偏差变元与阻尼项的偶数阶中立型时滞微分不等式,得到了该时滞微分不等式没有最终正解的一些新的充分条件, 所得定理拓广和改进了最近文献的结论.

最终正解;阻尼项;时滞微分不等式

0 引言和引理

微分不等式是研究常微分方程解的振动性的重要理论.其中具有连续分布时滞和阻尼项的微分不等式,在随机系统控制、自动控制和神经网络等实际问题中有着广泛的应用,所以研究时滞微分不等式,不仅有较高的理论价值,而且有较大的实际应用,因此这一研究领域受到了人们的广泛关注,并且人们在该领域的研究中已取得了许多较好的结果.本文将研究如下带有连续分布时滞和阻尼项的偶数阶中立型时滞微分不等式:

[m(t)y(n-1)(t)]′+r(t)y(n-1)(t)+ʃbap(t,ξ)f(x[g(t,ξ)])dσ(ξ)≤0,

(1)

[m(t)y(n-1)(t)]′+r(t)y(n-1)(t)+ʃbap(t,ξ)f(x[g(t,ξ)])dσ(ξ)≥0,

(2)

其中:y(t)=x(t)+c(t)x(t-τ),n是偶数,τ>0是常数.

假设下列条件(H)成立:

(H1)c(t)∈([t0,∞),[0,1]]),f(x)∈(R,R),且xf(x)>0(x≠0);

(H2)p(t,ξ)∈([t0,∞)×[a,b],[0,∞)),且p(t,ξ)在[t0,∞]×[a,b],tμ≥t0上不最终恒为零;

(H3)r(t),m(t)∈1([0,∞),ʃ+∞t0expdt=∞,r′(t)≥0;

(H4)g(t,ξ)∈([t0,∞)×[a,b],[0,∞)),g(t,a)存在,g(t,ξ)≤t,ξ∈[a,b],g(t,ξ)分别对于t和ξ不减,且

(H5)σ(ξ)∈([a,b],R)非减,不等式(1)和(2)中的积分为Stieltjes积分.

引理1[7]设u(t)∈n([t0,∞),R)保持不变号,在[t0,∞)上u(n)(t)≠0且满足u(n)(t)u(t)≤0,则有

(i)存在tu≥t0使得u(i)(t)在([t1,∞),R)上不变号,i=1,2,…，n-1；

(ii)存在l∈{0,1,2,…n-1},n+l为奇数,使得u(i)(t)>0,t≥tu,i=0,1,2，…，l;(-1)1+lu(i)(t)>0,t≥tu,i=l+1,…，n.

引理2[8]如果引理1的条件成立,且u(n-1)(t)·u(n)(t)≤0,t≥t0,则存在常数θ∈(0,1)和M>0,使得对足够大的t,有|u′(θt)|≥Mtn-2|u(n-1)(t)|.

1 主要结果

(3)

则时滞微分不等式(1)没有最终正解.

证明用反证法.假设x(t)是时滞微分不等式(1)的最终正解,则必有t1≥t0,使得

x(t)>0,x(t-τ)>0,x[g(t,ξ)]>0,t≥t1,ξ∈[a,b].

则有:y(t)≥x(t)>0,t≥t1,且

[m(t)y(n-1)(t)]′+r(t)y(n-1)(t)≤-λʃbap(t,ξ)x[g(t,ξ)]dσ(ξ)≤0,t≥t1.

b(t)[m(t)y(n-1)(t)]′+b(t)y(n-1)(t)≤-λb(t)ʃbap(t,ξ)x[g(t,ξ)]dσ(ξ)≤0,t≥t1,

上式可变为

[m(t)b(t)y(n-1)(t)]′≤-λb(t)ʃbap(t,ξ)x[g(t,ξ)]dσ(ξ)≤0,t≥t1.

(4)

因为m(t)b(t)y(n-1)(t2)<0为t的单调递减函数,从而可证y(n-1)(t)≥0,t≥t1.事实上,若存在t2≥t1,使得y(n-1)(t2)<0,则当t>t2时有[m(t)b(t)y(n-1)(t)]′≤m(t2)b(t2)y(n-1)(t2)<0,从t2到t对上式积分, 得

同时由于[m(t)b(t)y(n-1)(t)]′=b(t)[m′(t)y(n-1)(t)+m(t)y(n)]≤0.以及条件(H3)可得y(n)(t)≤0,t≥t2.

由引理1可知存在t3≥t2和奇整数l(0≤1≤n-1),使得:

y(i)(t)>0,0≤i0,l≤i

取i=1,得y′(t)>0,t≥t3.由定理的条件得

0≥[b(t)y(n-1)(t)]′+b(t)ʃbap(t,ξ)f(x[g(t,ξ)]dσ(ξ)≥

[b(t)y(n-1)(t)]′+λb(t)ʃbap(t,ξ){y[g(t,ξ)]-c[g(t,ξ)]x[g(t,ξ)-τ]}dσ(ξ).

又由于y′(t)>0,y(t)≥x(t)>0,t≥t3,有y[g(s,ξ)]≥x[g(s,ξ)]≥x[g(s,ξ)-τ]，所以

[b(t)y(n-1)(t)]′+λb(t)ʃbap(t,ξ){1-c[g(s,ξ)]}y[g(s,ξ)]}dσ(ξ)≤0,t≥t3.

(5)

又由引理2,存在常数θ∈(0,1)和M>0有

y′[θg(t,a)]≥M[g(t,a)](n-2)y(n-1)[g(t,a)],t≥t3.

(6)

因为g(t,ξ)关于ξ不减,由(5)有

[b(t)y(n-1)(t)]′+λb(t)y[θg(t,a)]ʃbap(t,ξ){1-c[g(t,ξ)]}dσ(ξ)≤0,t≥t3.

(7)

令

(8)

则z(t)≥0.由g(t,ξ)≤t,ξ∈[a,b]有:

g(t,a)≤g(t,ξ)≤t,y(n-1)[g(t,a)]>0,y(n-1)[g(t,a)]≤0,t≥t3.

由式(6),(7)及(8)得到

(9)

于是对任意的t≥t2,有

ʃtt2λ(t-s)mb(s)ʃbap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds≤

由此得到：

和

z(t2)+λʃt3t0b(s)ʃbap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds.

在上式里令t→∞,并取上极限有

z(t3)+λʃt3t0b(s)ʃbap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds<∞.

这样与式(3)矛盾.定理1证毕.

定理2 令定理1中的条件成立.如果常数m≥2和存在p(t)∈′([t0,∞),(0,∞))有:

(10)

(11)

则时滞微分不等式(1)没有最终正解.

证明假设结论不成立,x(t)是时滞微分不等式(1)最终正解,则由定理1证明过程中的式(9),有

ʃtt3λ(t-s)mp(s)b(s)ʃbap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds≤

(t-t3)mρ(t3)z(t3)-ʃtt3(t-s)m-1[mp(s)-(t-s)p′(s)]z(s)ds-

(12)

进而得

利用式(10),得到

这样与式(11)矛盾.定理2证毕.

定理3 设定理1中的条件成立,如果存在常数m≥2和函数p(t)∈′([t0,∞),(0,∞)),有

(13)

且存在φ(t)∈([t0,∞),R),使得对所有的u≥t0,有:

(14)

(15)

证明假设结论不成立,x(t)是时滞微分不等式(1)最终正解,则由定理2的证明可知,∃t3≥t2≥t0,常数M>0,使得当t>u≥t3时,有:

ʃtu(t-s)mp(s)b(s)ʃbap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds≤

进而有

定义函数:

则由式(12)可知:

(16)

(17)

(18)

利用式(13)和(18)得到

(19)

在式(16)里中令t→∞,取上极限,并使用式(17)可得

(20)

所以对足够大的n,有v(tn)+w(tn)k为常数.由w(t)的定义,有

(21)

此外,由著名的Schwarz不等式得

于是有

令t→∞,利用式(19)得

(22)

利用式(21)可知

和

这样与式(15)矛盾.定理3证毕.

相似于时滞微分不等式(1),我们也可以得到时滞微分不等式(2)的若干结论.也就是假设定理1～3的条件分别成立,则时滞微分不等式(2)没有最终负解.

2 注记

注1当m(t)≡1和r(t)=0时,时滞微分不等式(1)和(2)就是文献[1]所讨论的偶阶中立型时滞微分不等式,因而本文所得的定理改进和拓广了文献[1]的结论.

注2 当m(t)≡1时,时滞微分不等式(1)和(2)就是文献[4]所讨论的具阻尼项的偶阶中立型时滞微分不等式,因而本文所得的定理改进和拓广了文献[4]的结论.

[1]林丹玲,俞元洪.偶阶中立型分布时滞不等式最终正解的不存在性[J].安徽大学学报(自然科学版),2009,33(5):5-9.

[2]杨雯抒.含最小函数和时滞的二阶中立型微分不等式[J].贵州师范大学学报(自然科学版),2007,25(3):78-80.

[3]林文贤.三阶中立型分布时滞阻尼微分方程的振动定理[J].琼州学院学报,2014,21(2):7-11.

[4]林文贤,陈秋杏.具阻尼项的偶阶中立型微分不等式最终正解的不存在性[J].琼州学院学报,2014,21(5):6-11.

[5]林文贤,张君敏.具分布时滞的偶数阶非线性中立型泛函微分方程的Philos型振动定理[J].琼州学院学报,2015,22(5):1-5.

[6]林文贤.一类三阶半线性中立型阻尼微分方程的振动性[J].海南热带海洋学院学报,2016,23(5):38-43.

[7]KIGURADZE I T.On the oscillation of solutions of the equationdmu/dtm+a(t)|u|nsghu=0[J].Mat Sb,1964,65(2):172-187.

[8]PHILOS C G.A new criterion for the oscillatory and asymptotic behavior of delay differential equations[J].Bull.Acad.Pol.Sci.Ser.Sci.Mat,1981,39(1):61-64.

NotesonNon-existenceofEventuallyPositiveSolutionstoaClassofEvenOrderNeutralTimeDelayDifferentialInequalities

LIN Wen-xian1, YANG Wen-shu2

(1.School of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University, Chaozhou Guangdong 521041, China;2.School of Mathematics, Jiaying University, Meizhou Guangdong 514015, China)

A class of even order neutral functional differential inequalities with a damping term and continuous distributed deviating arguments was considered.By adopting the generalized Riccati transformation, integral average technique and direct analysis, several new results related to the nonexistence criteria for eventually positive solutions to such inequalities were developed.The works generalize various existing results.

eventually positive solutions; damp terms; time delay differential inequalities

格式：林文贤,杨雯抒.关于一类偶阶中立型时滞微分不等式最终正解的不存在性的注记[J].海南热带海洋学院学报,2017,24(5):50-55+91.

2017-02-28

广东省高等学校特色创新项目(2014GXJK125);广东省高等教育教学改革项目(GDJG20142396)

林文贤(1966-),男,广东潮州人,韩山师范学院教授,研究方向为泛函微分方程理论及应用的研究.

O175.13

A

2096-3122(2017) 05-0050-06

10.13307/j.issn.2096-3122.2017.05.09

(编校曾福庚)