利用正投影的定比性质求解一类圆锥曲线试题

福建省漳州普教室(363100) 张兵源

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

利用正投影的定比性质求解一类圆锥曲线试题

福建省漳州普教室(363100) 张兵源

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟

一、投影的基础知识

“投影”这个概念学生在初中接触过.用光线照射物体,在某个平面(地面,墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.因此投影的三个要素为:投影线,投射体,投影面.由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影,由平行光线形成的投影是平行投影.这两种投影的区别在于投影线是否交于一点.平行投影又可以分为两种:正投影和斜投影.投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影(射影),投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影.

二、正投影的性质

高中阶段,学生接触到的投影绝大多数是正投影.正投影具有如下性质:

1.全等性.若线段或平面图形平行于投影面,则正投影反映实长或实形.线段的长度,图形的形状和大小,可以从投影面确定和度量.

2.定比性.若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上.直线上两线段的长度之比等于该两线段投影的长度之比.两平行线段的空间实长之比等于其投影长度之比.

3.平行性.若空间两直线互相平行,则其同面投影也互相平行.也就是说,两平行直线的平行投影仍互相平行.

4.平移性.一条直线或一个平面图形,经过平移后,虽然位置变化,但是它们在同一投影面上的投影的形状和大小没有变化.

5.积聚性.垂直于投影面的直线,在该投影面上的投影积聚为一点.垂直于投影面的平面在该投影面上的投影积聚为一条直线,且该平面上所有的线和点的投影都积聚在该直线上.

三、定比性质的应用

正投影的定比性质经常用在数学解题当中.在圆锥曲线的学习中,经常会碰到一类以圆锥曲线为载体求线段长度比,或者已知线段比求解相关量的试题.这类题型如果直接求原线段长度比则计算较为繁琐,如果能够利用是正投影的定比性质来做,则计算效率大大提高.

如图 1所示,在平面直角坐标系中,A,B,C三点共线,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).

根据正投影的定比性质,易知

如果AB//x轴,则

如果AB//y轴,则

利用这个结论来解决平面解析几何中线段比问题效果十分显著.

图1

四、应用

例1如图2所示.已知点A(2,0),抛物线C∶x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶

图2

解析F(0,1),A(0,2).直线FA方程为抛物线准线方程为y=−1.联立得联立得xN=4.

例2设F1,F2,是椭圆的左右焦点.M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

解析 如图3所示,由已知有|MF2|=4,即由|MN|=5|F1N|得作NA⊥x轴,垂足为A.由得|NA|=1.由得故联立

图3

图4

解析 如图4所示.设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR).作QG⊥x轴,垂足为G;RH⊥x轴,垂足为H;PI⊥x轴,垂足为I.由

由P(xP,yP)在直线上,得因此有

又O,P,Q三点共线,故有.在①中两边同时除以xP,得Q是轨迹方程为:

例4设P是抛物线上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.

图5

解析 如图5所示,设P(x1,y1),Q(x2,y2),其中y1＞0,y2＞0.设直线l方程为y=kx+b,其中k/=0,b/=0.则T(0,b).作PP1⊥x轴,垂足为P1;QQ1⊥x轴,垂足为Q1.

又y1,y2是不相等的正实数,所以

图6

图7

解析 设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0).如图6所示,若直线l与y轴重合,则由,得,解得y0=1,

若直线l斜率存在,如图7所示,设方程为y=kx+2.由得(1+4k2)x2+16kx+8=0.则

此时

即2x1x2=x0(x1+x2).将2○代入上式得将代入直线y=kx+b得y0=1.故所以又由

五、结束语

不难发现,利用正投影的定比性质求解此类试题,其实是将倾斜的线段比转化为水平或竖直的线段比,从而找到横纵坐标之间的关系,这其实是转化与化归思想的具体应用.通过这样的转化,我们化繁为简,化抽象为具体,大道至简,实现了高效解题.