回顾尼尔森数的研究——姜伯驹院士访谈录

陈克胜

访问整理(安徽师范大学数学计算机科学学院 芜湖 241002)

回顾尼尔森数的研究
——姜伯驹院士访谈录

陈克胜

访问整理
(安徽师范大学数学计算机科学学院 芜湖 241002)

不动点理论是拓扑学中的重要篇章。中国拓扑学家姜伯驹因其对尼尔森不动点理论的研究而具有国际影响。在这篇访谈录中，他回顾了尼尔森不动点理论的早期发展，介绍了中国在20世纪60年代和80年代有关尼尔森数研究的一些情况。

姜伯驹 江泽涵 石根华 不动点理论 尼尔森数

访谈整理者按不动点的定义是拓扑学开创人、法国拓扑学家庞加莱(H. Poincare)于1880年给出的。随后不动点得到一些拓扑学家的关注，成为一段时间拓扑学家研究的中心问题之一，经过布劳威尔(J.Brouwer)、莱夫谢兹(S.Lefschetz)、霍普夫(H.Hopf)、尼尔森(J.Nielsen)、雷德马斯特(K.Reidemeister)、威肯(F.Wecken)等拓扑学家的发展而成为拓扑学中的一个重要理论。在这个阶段，拓扑学家们的着重点在于不动点的有无问题的研究。稍后，尼尔森(J.Nielsen)、雷德马斯特(K.Reidemeister)、威肯(F.Wecken)提出了不动点类理论(又称尼尔森不动点理论)，他们的着重点在于不动点的个数问题的研究[1]。中国拓扑学家江泽涵、石根华和姜伯驹等在不动点的有无问题和个数问题两个方面发展了不动点类理论，其中姜伯驹的主要成就在于从不动点的个数方面推广了尼尔森理论。

受访人姜伯驹1937年9月4日生于天津，祖籍浙江苍南，其父亲姜立夫是中国现代数学开拓人之一。姜伯驹先后于20世纪60年代和80年代在尼尔森数的研究方面取得突破性的进展，他创造性地提出“姜子群”等概念来计算尼尔森数，并利用低维拓扑和纽结理论进一步拓展了尼尔森理论，丰富了不动点类理论。由此，姜伯驹先后获得国家自然科学奖三等奖和二等奖、陈省身数学奖、何梁何利基金科学技术进步奖和华罗庚数学奖，他是中国科学院院士、第三世界科学院院士。

访谈时间2017年3月18日

访谈地点北京大学数学科学学院3楼姜伯驹院士办公室

图1 2017年3月18日陈克胜(左)与姜伯驹院士(右)在北京大学数学科学学院姜伯驹院士办公室

1 尼尔森数的由来

陈克胜(以下简称“陈”)：尼尔森数的研究引起一批拓扑学家的兴趣，并已取得了一系列成果。江泽涵先生是第一位对尼尔森理论研究的中国拓扑学家，请您谈谈江泽涵先生当时研究尼尔森理论的一些研究背景。

姜伯驹(以下简称“姜”)：国内进行拓扑学研究，早期要提到的是江泽涵先生，江泽涵先生在美国哈佛大学攻读博士学位时的导师是莫尔斯(H.M.Morse)*莫尔斯(H.M.Morse，1892—1977)，美国拓扑学家，美国科学院院士，1917年获得哈佛大学博士学位，毕业后留校任教，开创了临界点理论，将拓扑学方法应用于变分学、微分方程和复变函数等的研究。。莫尔斯当时是一位拓扑学大家，他研究函数的极值点与临界点，简单地说，函数是定义在一个空间上，它讨论的是这个函数的临界点与该空间的拓扑性质的关系，大家称之为“莫尔斯理论”。江泽涵先生跟随莫尔斯先生做研究。

江泽涵先生毕业以后，先到普林斯顿大学做莱夫谢兹(S.Lefschetz)*莱夫谢兹(S.Lefschetz，1884—1972)，生于莫斯科，早年留学法国，1905年，获得巴黎中央高等工业学校学士学位，1911年获得美国克拉克大学博士学位，后到普林斯顿大学任教。1930年他在不动点理论、上同调环等拓扑学方面取得突破性的进展。的助教，一年以后回国。实际上，江泽涵先生的博士论文研究的内容与莫尔斯理论有关，是研究调和函数的极值点、临界点。但是，到莱夫谢兹那里之后，江泽涵先生受到莱夫谢兹的影响而转向研究不动点理论，由于莱夫谢兹对不动点理论已经做了一些开创性的工作，大概在1923年，莱夫谢兹得到了现在被称之为“莱夫谢兹不动点定理”[2]。简而言之，一个空间到自身的映射，这个映射可以定义一个不变量，这个不变量就是莱夫谢兹数。

陈：由莱夫谢兹不动点定理到尼尔森理论是不动点理论研究的重大突破，那么它们在本质上有什么不同？

姜：莱夫谢兹不动点定理实际上是：如果一个映射的莱夫谢兹数不等于零，那么它一定有不动点，但是不能告诉你有多少个不动点。同时在这个阶段，尼尔森(J.Nielsen)*尼尔森(J.Nielsen，1890—1959)，丹麦拓扑学家，主要研究代数拓扑和代数学。开始了他的研究，尼尔森研究不动点的工作引起人们注意是在1921年，当时在环面上得到一个不动点个数的下界[3]，意思是：一个映射如果它的不变量是10，那么，每一个与它同伦的映射不动点数至少有10个。而莱夫谢兹数则不能提供这种信息，莱夫谢兹数告诉我只能保证有一个不动点；而尼尔森数如果是10的话，那么尼尔森则可以保证至少有10个不动点。由此可见，尼尔森数应该说是不动点理论的一个强有力的结果。当时不动点研究的主流是从布劳威尔不动点定理到莱夫谢兹不动点定理，这一派的结论是至少保证有一个不动点，但不能保证多于一个不动点，这种信息是没有的。

陈：江泽涵先生的第一篇论文是关于尼尔森理论的研究，请您谈谈江泽涵先生关于尼尔森理论的研究情况？

姜：尼尔森刚开始是考虑在一个环面上，后来到了1927年，尼尔森在闭曲面上进行研究[4]，并且他考虑的映射不是一般的连续映射，而是自同胚。虽然他所研究的空间和映射相对比较特殊，但是提供的信息超出了当时一般的想象，所以莱夫谢兹对尼尔森的工作非常注意，因为尼尔森的结论比他强。但是尼尔森的工作是在曲面上做，因此他要充分利用曲面的几何性质，特别是在除了环面以外的有亏格比较高的曲面上，现在叫做双曲面几何，又叫做非欧几何。尼尔森用的这套东西全是非欧几何的语言，这个语言应该说比较古老，这是19世纪以来罗巴切夫斯基的那一套语言。所以他写得这个东西，莱夫谢兹看不懂，拓扑学家一般也看不懂，不知道他怎么把这个东西弄出来。那个时候，莱夫谢兹就请江泽涵先生来帮助工作，他考虑到江泽涵刚刚博士毕业，便要求江泽涵去阅读尼尔森的论文。江泽涵先生的目标非常明确，就是把非欧几何的语言剥掉，不用非欧几何的语言，而是用拓扑学家听得懂的语言。所以，江泽涵先生当时尝试用基本群里面的序列来代替非欧几何，其成果是以一篇短文的形式于1931年发表在美国的数学期刊上[5]。这篇短文实际上已经把他的论文要点都点出来了，也就是把非欧几何的语言改过来了。江泽涵先生回国以后，把详细的论证写成长文，并于1936年发表在中国数学会创办的第一本杂志《中国数学会学报》的第一卷上[6]。后来由于抗战，他的这方面工作没有继续下去。他当时是中国第一位拓扑学家，在当时做了很多教学工作，至于自己的研究工作主要是整理他当时在美国所做的研究，以后他的研究工作也就放下了。

陈：江泽涵先生回国后的一段时间，国外关于不动点类理论的研究已经取得了重大进展，请您谈谈有关不动点类理论的研究进展？

姜：江泽涵先生回国后的一段时间，不动点类理论在国外又发生了重要的新变化，其发展状况大致是这样的：尼尔森是丹麦人，其主要文章是在20世纪20年代发表。然后在20世纪30年代，因为丹麦同德国靠得比较近，一些德国人开始注意到尼尔森的工作，他们的主要工作是在多面体的框架之下，用非欧几何语言来思维、构造，同莱夫谢兹工作一样，也就是在紧致多面体的框架下做研究，那么这个范围就大了很多，从而也就容易得到比较强的结论。这其中有一个关键人物名叫雷德马斯特*雷德马斯特(K.Reidemeister，1893—1971)德国数学家，1921年获得汉堡大学博士学位，在纽结理论方面取得突出贡献。，雷德马斯特并没有专门以不动点为标题的文章，但是他的文章叫什么名字现在我已经记不清楚。到1935年，好像他有一篇文章叫做“同伦链的环”，他提出了类似于莱夫谢兹数的一个公式[7]。不动点理论，莱夫谢兹刚开始是在流形上做研究，后来到了1929年，瑞士数学家霍普夫已经在紧致多面体上做研究[8]，通过用单纯映射来逼近连续映射，用单纯链来做。当然，霍普夫后来进一步研究高维环面的情形。雷德马斯特也转向霍普夫所用的这种方法——用单纯链来做，并且他比霍普夫的工作更深入，采用了基本群，这就是尼尔森想法的一个根本性的东西——基本群。但这是莱夫谢兹所没有考虑的，因为采用基本群方法以后，不动点数在傅立叶空间上的性质就被看得比较清楚。到了雷德马斯特阶段，用基本群的思想来考虑不动点已经开创了一个比较好的形势。后来到了二战期间，有一位德国拓扑学家威肯，他应该是雷德马斯特的学生，他把雷德马斯特的工作做得比较彻底，他有3篇长的文章[9]，其中有一篇把雷德马斯特的想法写得比较清楚[10]。威肯的文章发表于1941和1942年，这时正值打仗，之后威肯不知去向。

陈：这时，江泽涵先生知道国外有关尼尔森理论的研究已经取得了重大进展？并请您作一些评论。

姜：当时，江泽涵先生在国内，他并不知道这些研究工作。但是，雷德马斯特和威肯的工作实际上是剥掉尼尔森理论的非欧几何方法的外衣，并且从曲面做到紧致多面体，也就是把这个理论基础建立好了，而且有了现在被称之为“尼尔森数”的概念，但当时没有取这个名字，这个名字其实是我们后来给起的。有了尼尔森数这个概念也就有了很好的逻辑基础，证明了由映射所确定的同伦类中不动点数的下界。特别是威肯证明了这个结论：如果空间是三维或三维以上的流形，尼尔森数就是一个下确界。也就是说如果尼尔森数是10的话，那么这个同伦类里面至少有一个映射有10个不动点。雷德马斯特和威肯的工作主要是在理论的基础上下了功夫，但是尼尔森数怎么计算，他们并没有做很多事情。要使得尼尔森数有用，必须要能够计算，如果不能计算就不能应用，而莱夫谢兹数的威力在于它容易计算。

在二战期间，德国的一位数学家弗朗兹(W.Franz)，于1943年发表了一篇文章，计算了三维透镜空间上映射的尼尔森数[11]。这时，人们才发现尼尔森数并不容易计算，弗朗兹花了很大力气只算了三维透镜空间的尼尔森数。到后来打仗结束以后，大概在20世纪50年代初，又有一位德国人瓦尔(J.Weier)考虑另外一个问题：虽然在三维及三维以上的流形上尼尔森数等于最少不动点数，这在曲面上却不一定正确[12]。他提出一个例子，但是没有证明，所以大家将信将疑，因为他只是用很短的文章来说明，而没有进行严格的证明。这个事情当时他也没有办法去做，虽然比较直观，但是他又不能说出理由来，从数学的角度来看这是站不住脚的。我想尼尔森理论从可计算这条线上来看，尼尔森最初计算了二维环面，后来霍普夫计算了高维射影空间，然后弗朗兹计算了三维透镜空间之后，更高维情况就没有了。另外，对于尼尔森数的实现问题，即尼尔林数的下确界，威肯证明在三维空间上是对的，瓦尔表示怀疑，又没有办法来证明。

以上这些大体上就是我们开展相关研究之前国外的研究进展情况。

2 尼尔森数研究的中国人工作

陈：您的主要研究工作是计算高维透镜空间的尼尔森数，请您谈谈当时您着手研究的过程。

姜：20世纪60年代初，确切地说是1961年，国家提出要恢复教学秩序。1962年，教育部要求重新开展科学研究，提出给在学术上有成就的老先生学术休假的办法。实际上，1956年曾经提出“向科学进军”，国家已经有过这方面的考虑，但是后来由于1958年“大跃进”而暂时被搁置。当时，北京大学数学系就把这个机会给了两位老先生，一个是段学复先生，一个是江泽涵先生，学校给他们学术休假一年，不需要教书，可以专门从事科学研究。江泽涵先生就想，这一年时间打算干什么？因为他曾对尼尔森数有过研究，并受到莱夫谢兹不动点定理的影响，所以感觉尼尔森理论是一个比较重要的理论，只是后来停顿下来了。因此，利用这次学术休假的机会，江泽涵先生决定带领我们一起研究尼尔森理论。当时比较年轻的教员只有我一个，另外还有高年级的几位本科生。江泽涵先生就给我阅读尼尔森理论的论文，并提出一个问题：既然弗朗兹能在三维透镜空间中计算其尼尔森数，能不能计算高维透镜空间的尼尔森数？并以这个问题作为我的拓扑专门化的一项任务。我为此花了大约半年时间，读了一些相关的文献，觉得可以算出尼尔森数，这个工作基本上是在1962年做的。到1962年秋，我计算出了一个结论，其形式同弗朗兹很象，也就是这个定理叙述起来同弗朗兹相类似。当时为什么要想这样的事情，其实我的动机还是比较单纯的：就是要计算高维透镜空间的尼尔森数，然后把计算尼尔森数所用的一些方法进行提炼，提炼到一种理性的高度，搞清楚为什么这样的办法就可以计算出尼尔森数，就是从具体的例子开始，把一般的、有用的原理和方法提炼出来。

关于拓扑专门化讨论班实际上只有几位学生，这些学生大概是1962、1963年即将毕业，好像是每年7— 9个。拓扑专门化讨论班当时由北大数学系两位老先生带的，一个是廖山涛先生，一个是江泽涵先生。廖山涛先生那边学生多些，其中比较有影响的有刘应明，后来在模糊拓扑上做了一些杰出的工作，而江泽涵先生这边只有石根华和我，另外还有一位学生现在我已记不得了。记得当时尤承业也是跟随江先生，但研究方向不是尼尔森数的内容，其毕业论文是关于莫尔斯理论，虽然他们也参加讨论班，但真正的做不动点理论只有石根华和我。事实证明，江泽涵先生开展拓扑专门化讨论班非常有价值，石根华[13，14]和我[15]在尼尔森数方面在当时都取得了一些成果。

陈：当时，在江泽涵先生的带领下，您和石根华很快在尼尔森数都取得了一些成果，请您谈谈当时石根华的研究工作与您的研究的关系。

姜：石根华于1963年北京大学毕业，江泽涵先生要求留在北大做研究生，继续做这方面的工作。他的研究工作不是尼尔森数的计算方面，而主要研究3维及以上流形的理论方面，是对威肯的理论工作进行推广，将其推广到多面体，当然不是所有的多面体，推广到一定范围，实际上是一个能否实现问题。后来，他的本科毕业论文是推广威肯定理，但他在做研究生期间做的是关于恒等映射的不动点，当然恒等映射的尼尔森数肯定是1，于是也就不存在计算方面的问题。但是恒等映射经过同伦以后就存在一个不动点的个数问题，因此石根华主要是考虑恒等映射条件下推广威肯的工作。这些成果于1966年和1975年发表在《数学学报》上，其中1975年的那篇论文实际上已经于1965年完成了。后来石根华下放，无暇顾及他的研究成果，况且在“文化大革命”期间，论文也没有地方发表，这项研究成果后来由江泽涵先生将其进行整理而最终发表在《数学学报》。而我的研究则主要在紧致多面体上的映射在同一伦型上的不动点类研究，这些成果实际上是在1962年完成的，并投稿到《数学学报》，1964年《数学学报》正式发表我的成果，当然，我的工作只是对雷德马斯特定理的推广。

我与石根华实际上分别从不同方向研究尼尔森数，我的研究来源是以德国雷德马斯特所提出的紧致多面体作为基础，石根华则围绕威肯的理论工作进行推广。这些工作在江泽涵先生的带领下得到了大家的认可，1982年，江泽涵、石根华和我共同获得国家自然科学三等奖。

1968年，石根华到甘肃参加白龙江碧口水电站建设，在建设过程中工程队将面临塌方而引起的安全问题，这是工程建设中最为棘手的问题之一。石根华将所学的拓扑学知识应用于水电站建设，预测塌方风险的大小，这对于水电部来说很重要，从此石根华转向岩石力学的研究。1980年，石根华去美国深造，就是研究岩石力学。这从某种程度上说明，抽象的拓扑学在其它学科上有广泛的应用和影响。

3 计算尼尔森数的过程

陈：在研究过程中，您查阅了哪些资料，有哪些因素或方法导致您能够计算尼尔森数？

姜：可不可以计算，只有最终计算出来才能硬道理，当时的动机只是想解决高维透镜空间的尼尔森数，这是当时研究工作的核心。至于后来被称为“姜子群”“姜空间”的只是派生出来的东西，其实最要紧的、研究的核心是往往由某些具体的例子来考虑其能否计算，然后再来研究这个结论到底有多大的潜力，再进行提炼形成一个理论。因此，研究工作刚开始的动机基本上是从一个具体的问题开始，这是我进行数学研究的一个基本办法。

陈：您的研究工作可以说分两个阶段：一个是20世纪60年代，一个是20世纪80年代，请您谈谈20世纪80年代研究的工作。

姜：1978年，国家有个机会出国访学，在江泽涵先生支持下，由陈省身先生帮助联系，我前往美国普林斯顿高等研究所，当时是跟随华裔数学家项武忠先生，他早年就在美国留学。当我前往美国访学时，瑟斯顿(Thurston)已经开创了低维拓扑学，项武忠先生也对低维拓扑学非常感兴趣，出于前期对尼尔森数的研究有了一定的基础，我自然尝试用新学习的低维拓扑方法来思考，将其运用到尼尔森不动点理论的研究工作中。幸运的是瑟斯顿的曲面理论[16]与尼尔森理论是紧密相关的，瑟斯顿起初并不知道尼尔森的工作而是另起炉灶、单独研究，后来我发现这两个理论是相通的。当然，在这里，也要感谢华裔数学家项武忠先生，他一直从事拓扑学研究工作，并在国际著名数学期刊上发表了很多拓扑学论文，是国际著名的拓扑学家。后来，我将从瑟斯顿那里学习到低维拓扑方法，再加上纽结理论与辫理论，用于尼尔森数的研究并得到一系列成果，被国际同行所认可，由此，此项研究成果获得了国家自然科学二等奖(1987年)[17—20]。

陈：江泽涵先生在您的研究过程中是否有过哪些具体研究方法的指导？

姜：大概是我在本科3年级，1955—1956年，当时快要提出向科学进军的口号，数学系要求一些老师给学习比较轻松的学生做学年论文。在这样的背景下，江泽涵先生就给我一篇匈牙利的一位数学家写的一篇拓扑学文章。这篇文章的内容大概是这样：一个图放到平面上去，如果没有交点就叫做嵌入，如果不能嵌入，硬放到平面上则肯定有交点，该论文给出了关于这个交点的个数问题。经过阅读以后，我发现这篇文章有一些毛病，证明不对。在简单的情况下是没问题的，但是他在证明中运用的归纳法就有问题了。这件事当然对于我后来走向拓扑学研究是有关系的，因为这个问题本质上是一个拓扑学问题。可以说，这是我3年级学习的一个心得，这个心得当然不是正面的，它把人家的结论给推翻了，我当时对此也无法进行证明，后来发现这个问题并不简单。到20世纪80年代，国外有人注意到这篇文章有错误，并给出了正确的答案，指出这篇文章不仅证明错了，而且结论也错了。但是后来到了4年级，我做毕业论文实际上是跟随廖山涛先生的，他当时给的题目比较大，到现在我都没有解决掉。当时我只能做一个比较小的特例，写了一篇小文章作为毕业论文。那时候，我才知道有关不动点理论的一些问题。

4 国内有关不动点研究的其他方向

陈：20世纪80年代，由于您在尼尔森数的研究取得了杰出的成绩，吸引了一些国内研究者热衷于不动点理论的研究，请您谈谈当时中国对不动点研究的一些基本情况。

姜：你说到的热衷，大概是指四川大学的张石生先生为代表的，发表了非常多的文章。他们研究巴拿赫(S.Banach)的度量空间压缩映射不动点原理，改动其假设条件而仍保持其不动点存在。虽提出了种种形式繁杂的假设条件，却难说有实质的进步。这些研究其实已不属于拓扑学范畴了。不动点理论分为拓扑的不动点理论和度量的不动点理论，两者并没有什么联系。

至于不动点类理论，也就是尼尔森不动点理论，我们的研究一直延续至今。不过涉及许多数学术语，不容易谈了。

致谢本文得到姜伯驹院士的大力支持，并经姜伯驹院士的同意后公开发表。今年恰逢姜伯驹院士80岁寿辰，籍此文表示祝寿。

1 江泽涵. 不动点类理论[M]. 北京:科学出版社, 1979. 1—27.

2 Lefschetz S. Continuous transformations of manifolds [J].ProceedingsoftheNationalAcademyofSciencesU.S.A., 1923,9: 90—93.

3 Nielsen J. Uber die Minimalzahl der Fixpunktebei den Abbildungstypen der Ringflachen [J].MathematischeAnnalen, 1921,82: 83—93.

4 Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie des geschlossen zweiseitigen Flachen, Ⅰ[J].ActaMathematica, 1927,50: 189—358.

5 Tsai-Han Kiang. On the groups of orientable two-manifolds[J].NationalAcademicScienceU.S.A., 1931,(17): 142—143.

6 Tsai-Han Kiang. On the Poincare’s groups and the extended universal coverings of closed orientable two-manifolds[J].JournalofChineseMathematicalSociety, 1936,(1): 93—153 .

7 Reidemeister K. Automorphismen von homotopiekettenringen[J].AnnalsofMathematics, 1936,(112): 586—593.

8 HopfH. Uber die algebraischeAnzahl von Fixpunkten[J].MathematischeZeitschrift, 1929,(29): 493—524.

9 Wecken F. Fixpuntklassen, Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ[J].AnnalsofMathematics, 1941,(117):659—671; 1942,(118): 216—234, 544—577.

10 Wecken F. Fixpuntklassen, Ⅱ[J].AnnalsofMathematics, 1942,(118): 216—234.

11 Franz W. Abbildungsklassen und Fixpunktklassen dreidimensionler Linsenraume[J].Crelle’sJournal, 1943,(185): 65—77.

12 Weier J. Fixpunkttheorie in topologischen Mannigfaltigkeiten[J].MathmatischeZeitschrift, 1953,(59): 171—190.

13 石根华. 最少不动点数和Nielsen数[J]. 数学学报, 1966,(16): 223—232.

14 石根华. 恒同映射类的最少不动点数[J]. 数学学报, 1975,(18): 192—202.

15 姜伯驹. Nielsen数的估计[J]. 数学学报, 1964,(14):304—312.

16 Fathietal(eds).TravauxdeThurstonsurlessurfaces,SeminaireOrsay[M]. Asterisque, 1979: 66—67 .

17 Jiang B. On the least number of fixed points[J].TransactionofAmericanMathematicalSociety, 1980,(272): 749—763.

18 Jiang B. Fixed points of surface homeomorphisms[J].BulletinofAmericanMathematicalSociety, 1981,(5): 176—178.

19 Jiang B. Fixed points and braids[J].InventionofMathematics, 1984,(75): 69—74.

20 Jiang B. Fixed points and braids Ⅱ[J].AnnalsofMathematics, 1985,(272): 249—256.

AbstractFixed point theory is an important chapter in topology. Chinese topologist Boju Jiang is worldwidely known for his work on Nielsen fixed point theory. In this interview， Mr. Jiang explains the early development of Nielsen fixed point theory， and recalls the study of Nielsen number in China in the 1960s and early 1980s.

KeywordsJiang Boju， Tsai-Han Kiang， Shi Genhua， fixed point theory， Nielsen number

ReviewingthestudyofNielsenNumber——AninterviewwithacademicianJiangBoju

CHEN Kesheng
(SchoolofMathematicsandcomputerscience，AnhuiNormalUniversity，Wuhu241002，China)

N09∶O1

A

1673- 1441(2017)03- 0363- 08

2017- 04- 08；

2017- 05- 24

陈克胜，1970年生，安徽无为人，理学博士，安徽师范大学数学计算机科学学院副教授，研究方向为中国近现代数学史，Email: chenks2004@sina.com。