三角形中线定理在数量积中的应用

江苏省平潮高级中学 鲁 锋

三角形中线定理在数量积中的应用

江苏省平潮高级中学 鲁 锋

在三角形中，中线是一条重要的线段，巧妙地利用好这条特殊线，可以巧妙解决相关的数量积问题。

中线；数量积

数量积是高中数学平面向量部分中一个重要的知识点，也是高考数学的一个重要考点。如何正确地求出数量积，特别是与三角形有关的数量积问题，是摆在高中学生面前的一个难点。本文从三角形的两条特殊线“中线和角平分线”出发，以具体实例为背景，给出一些思路和观点，以起抛砖引玉的作用。

例1 如图1，在△ABC中，AB=4，AC=3，D为BC中点，求的值。

例2 如图2，在△ABC中，AB=4，AC=3，D为BC中点，点P为边BC的中垂线上一点，求的值。

评注：本题中虽然多了一条垂直平分线，但主要的特征还是点D为AB中点，因此还是可以利用向量的加法法则和向量垂直的条件及中线定理来处理。

例3 如图3，已知点G，H分别为△ABC的重心、垂心，若的值。

解析：如图4，连接并延长AG，AH，AG交BC于点M ，由三角形法则可知所以由中线定理可知

评注：由于重心为中线的交点，因此题中的重心条件实质是中线条件，结合重点位于中线的三等分点处，所以转化为中线定理的问题。对于垂心，利用 的垂直关系及三角形法则，可以转化为向量的数量积为0，从而实现问题的转化和解决。

例4 如图5，在△ABC中，D是BC的中点，E、F分别是AD上的两个三等分点，的值。

例5 如图6，△ABC的边BC的中垂线交AC于点P，交BC于点Q，若

中线定理的应用从根本上给学生选择基底提供了一个较好的参考依据，同时也给三角形中的向量数量积的相关运算带来了简便，因此学生应较好地利用题中出现的中点、中线、重心等相关信息来解决向量问题。