十字轴式限滑差速器端曲面齿轮副节曲线研究

王白王，贾巨民，谭晓明

(1.陆军军事交通学院 研究生管理大队，天津300161； 2.陆军军事交通学院 军事物流系，天津300161)

● 车辆工程VehicleEngineering

十字轴式限滑差速器端曲面齿轮副节曲线研究

王白王1，贾巨民2，谭晓明1

(1.陆军军事交通学院 研究生管理大队，天津300161； 2.陆军军事交通学院 军事物流系，天津300161)

为研究十字轴式端曲面齿轮副限滑差速器的传动原理, 在研究平面非圆齿轮齿条传动的基础上，阐述将齿条节曲线贴合在柱面上形成端曲面齿轮节曲线的原理，以此为依据建立差速器行星齿轮和半轴齿轮节曲线模型，并与通过空间坐标变换公式推导的节曲线模型对比，验证原理的正确性。最后通过计算十字轴式限滑差速器行星齿轮与半轴齿轮的节曲线曲率，表明随着锁紧系数的增大，行星齿轮节曲线内凹程度也显著增加。

节曲线；端曲面齿轮副；非圆齿轮齿条；限滑差速器

军用汽车经常要在湿滑、泥泞和松软路面等特殊路况下行驶，可能出现两侧驱动轮与路面之间的附着条件相差过大，驱动轮的一个轮子不能从滑动中脱出，差速器无法正常使用的情况[1]。因此，需要使用具有限滑功能的差速器，提升军用汽车在特殊路面上行驶时的通过性。

变传动比限滑差速器是势垒式限滑差速器的一种，通过两侧半轴轮之间周期性的传动比波动给差动运动造成一个势垒[2]，使得分配在两侧的转矩不同，相较其他限滑差速器具有结构简单、性能可靠等优点，便于战场维护抢修，能满足战时或急时的军用汽车技战术要求。

端曲面齿轮副是一种新型的空间齿轮传动机构，运动学方面具有与非圆锥齿轮副相同的特点，可以传递相交轴的变传动比与动力，在许多场合能够替代非圆锥齿轮副进行传动[3]。其与锥齿轮副相比有许多优点，应用在限滑差速器中能够改进非圆锥齿轮副限滑差速器的部分缺陷：由于行星齿轮是非圆齿轮，设计方法相对成熟，相较非圆锥齿轮设计更为简便；加工方便，能够进行蜗杆磨齿精加工[4-5]；半轴齿轮轮齿分布在柱面上，端面为圆面，在齿轮底座设计驱动轴穿孔时不会导致端面受力不均而对齿轮副强度造成太大影响；对轴向误差不敏感[6]，不会因为轴向装配误差而导致差速器产生严重的脉动和冲击等。但是端曲面齿轮副也有缺点，由于根切现象和齿顶变尖现象的存在，其齿宽有所限制，导致其轮齿强度有限[7]。因此，研究端曲面齿轮副在变传动比限滑差速器中替代非圆锥齿轮副的可行性，并研究其节曲线模型，是设计这种新型限滑差速器的基础，对进一步改善限滑差速器性能，提升我军军用汽车越野通过能力具有重要意义。

1 端曲面齿轮副传动原理分析

1.1节曲线的形成原理

端曲面齿轮副传动可以看作是由平面非圆齿轮齿条传动转化而来。如图1所示，非圆齿轮节曲线为S1，变传动比齿条节曲线为S2，坐标系Oxyz和齿条节曲线S2固连，点Oc是非圆齿轮的旋转中心，当非圆齿轮顺时针转动时齿条沿轴平移。图1(a)为两齿轮节曲线初始位置，当非圆齿轮顺时针转过θ后，两齿轮节曲线位置如图1(b)所示，根据齿轮啮合原理可知两齿轮节曲线作纯滚动，设非圆齿轮参数方程为r(θ)，则变传动比齿条参数方程为

(1)

式中：x1和y1为齿条节曲线在坐标系Oxyz下的纵、横坐标；r0为初始位置OOc时的长。

将图1的齿条节曲线贴合在半径为R的圆柱上，产生图2(a)所示的曲线S2′，齿条上直线OA1对应柱面上曲线OA2，两者长度相等。如图2(b)所示，令非圆齿轮旋转轴和圆柱旋转轴正交，节曲线S1和曲线S2′相切，则节曲线S1和曲线S2′作纯滚动运动。通过非圆齿轮和变传动比齿条的共轭关系可知，曲线S2′就是和非圆齿轮共轭的端曲面齿轮的节曲线。根据式(1)和图2中的几何关系，可以直接得到端曲面齿轮节曲线S2′的参数方程为

(2)

式中：

(3)

图1 非圆齿轮和变传动比齿条节曲线

图2 端曲面齿轮节曲线形成

1.2端曲面齿轮副传动参考面

端曲面齿轮副传动与锥齿轮副传动不同，其瞬轴面和节曲面不是同一个面，为使得端曲面齿轮副传动形象化，可类比面齿轮副传动，定义其瞬轴面、节曲面和节曲线的概念[9]。

图3所示是端曲面齿轮副传动的示意图，两齿轮旋转轴相交于点O，OP表示两齿轮瞬时回转轴，在瞬时回转轴上两齿轮相对速度为0；瞬时回转轴在各自随动坐标系下形成的直线族即为齿轮副传动的瞬轴面。端曲面齿轮副传动的瞬轴面为两个锥面，当两齿轮绕各自轴线转动时，两瞬轴面作纯滚动，其切触线即为OP。O′P为非圆齿轮的节曲线，与非圆齿轮旋转轴平行，非圆齿轮和端曲面齿轮的节曲面在传动过程中是相切触的，直线O′P就是两齿轮节曲面的切触线。因此，OP齿轮各自随动坐标系中形成的直线族即为节曲面。直线OP和瞬时回转轴O′P交于点P，在直线O′P上仅点P处是纯滚动，其余点既有滚动也有滑动。因此，选取点P作为端曲面齿轮副传动的参考点，其在两齿轮各自随动坐标系下形成的曲线作为端曲面齿轮副传动的节曲线。

图3 端曲面齿轮传动

1.3端曲面齿轮副传动规律

设非圆齿轮角速度为w1，节曲线上任一点速度为v1，与之相啮合的端曲面齿轮角速度为w2，节曲线上对应点的速度为v2，可知

(4)

根据齿轮啮合原理，在啮合节点有v1=v2，则端曲面齿轮和非圆齿轮传动比为

(5)

设端曲面齿轮副转角为φ，则

(6)

因此

(7)

根据齿轮节曲线封闭条件[10]，可得

(8)

式中n1、n2分别为非圆齿轮和端曲面齿轮的节曲线的阶数。当传动比i21为周期函数时，节曲线封闭条件显然成立。

2 端曲面齿轮副限滑差速器节曲线

2.1节曲线模型

由1.2节可知，为实现端曲面齿轮副限滑差速器的“限滑”功能，需要选择合适的传动比。正弦曲线运动规律的加速度规律为余弦规律，加速度曲线连续。由齿轮传动理论，传动比函数为周期函数，既保证节曲线的封闭，又使传动比周期性变化，同时余弦加速度规律又减小了冲击[11]。因此，本文选用传动比规律为

(9)

式中：i21为行星齿轮与半轴齿轮传动比函数；z1为行星齿轮齿数；z2为半轴齿轮齿数；c为常数；φ为行星齿轮转角。

为保证端曲面齿轮副限滑差速器拥有足够的强度并能够连续运转，选用如图4所示的十字轴式差速器结构。该差速器由2个半轴齿轮、4个行星齿轮组成，用十字轴支撑。其中，行星齿轮为非圆齿轮，半轴齿轮为端曲面齿轮。

由式(5)可得到行星齿轮节曲线方程：

(10)

由式(2)可得到半轴齿轮节曲线方程：

(11)

式中θ、φ分别为行星齿轮和半轴齿轮转角。

图4 十字轴式变传动比限滑差速器结构

行星齿轮和半轴齿轮节曲线模型，还可以通过齿轮啮合原理和空间坐标转换公式得到[12]。

半轴齿轮与行星齿轮节曲线空间啮合关系如图5所示。坐标系OfXfYfZf和OmXmYmZm为固定坐标系，固定在齿轮传动的机架上；坐标系Of′Xf′Yf′Zf′为随动坐标系，与行星齿轮刚性固接，坐标系Om′Xm′Ym′Zm′为随动坐标系，与半轴齿轮刚性固接。初始状态下，两齿轮的固定坐标系和随动坐标系相重合。传动过程中，行星齿轮以角速度ω1绕其轴OfZf顺时针转动；半轴齿轮以角速度ω2绕轴OmZm逆时针转动，其中平面YfOfZf到平面YmOmZm的距离为r0，平面XmOmYm到平面XfOfYf的距离为R。

图5 半轴齿轮与行星齿轮节曲线空间啮合图

在齿轮传动的过程中，两节曲线作纯滚动，令Qf为行星齿轮节曲线上的一点，Qm为半轴齿轮节曲线上的一点，当行星齿轮转过角度θ1，半轴齿轮转过角度φ1时，Qf和Qm相重合，根据齿轮啮合原理，两节曲线在相切点的速度相等，因此有

(12)

因此行星齿轮节曲线方程为

(13)

式中z1和z2分别是行星齿轮和半轴齿轮齿数。

行星齿轮随动坐标系Of′Xf′Yf′Zf′到半轴齿轮随动坐标系Om′Xm′Ym′Zm′的齐次转换矩阵为

Mm′f′=Mm′mMmfMff=

(14)

根据空间齿轮啮合原理，行星齿轮节曲线上任一点Qf在其随动坐标系Of′Xf′Yf′Zf′中的坐标变换至半轴齿轮的随动坐标系Om′Xm′Ym′Zm′中，即为半轴齿轮节曲线上相应点Qm的坐标，因此Qm的坐标为

(15)

由此可得半轴齿轮的节曲线方程为

(16)

对比式(11)和式(16)可以看出，两种方法所求得的半轴齿轮节曲线模型是一样的，验证了将齿条节曲线贴合在柱面上形成端曲面齿轮节曲线的正确性。

2.3节曲线设计

根据式(13)和(16)可知行星齿轮节曲线和半轴齿轮节曲线方程所含参数有行星齿轮齿数z1、半轴齿轮齿数z2、柱面半径R、常数c等。其中R由差速器尺寸大小决定，行星齿轮与半轴齿轮齿数之比由式(8)决定，为满足强度需要，在齿形设计可能的范围内行星齿轮和半轴齿轮齿数越少越好。c决定了锁紧系数的大小，其中锁紧系数K为

(17)

为了提高汽车的通过性，锁紧系数并不是愈大愈好。过大的锁紧系数不但对汽车转向操纵的轻便灵活性、行驶的稳定性、传动系的载荷及轮胎磨损和燃料消耗等有不同程度的不良影响，而且在某些条件下会使汽车的通过性降低。因此，在设计军用越野汽车的差速器时，必须选择恰当的锁紧系数。

以0.5 t军用越野汽车“勇士”为例进行变传动比限滑差速器端曲面齿轮副节曲线设计。根据二代“勇士”车驱动桥差速器的大小，选取R= 40 mm；根据十字轴式差速器结构形式和节曲线封闭条件，为使得图4所示的十字轴式差速器能够连续运转，取行星齿轮与半轴齿轮齿数之比为3∶4。根据“勇士”汽车技战术性能需求分别取c=0.3、0.4、0.5设计差速器节曲线(如图6所示)，利用Matlab软件绘制节曲线图形，图中黑色细线为行星齿轮节曲线，黑色粗线为半轴齿轮节曲线。从图中可以直观地看出，其他参数不变的情况下，c越大，差速器锁紧系数越大，行星齿轮节曲线内凹程度越大。

图6 行星齿轮与半轴齿轮节曲线

为了对下一步齿形设计提供理论和数据支撑，需要对节曲线的凹凸程度进行定量计算。根据微分几何中曲线理论，曲率可以用来衡量节曲线凹凸程度，曲率ρ的计算公式为

(18)

将行星齿轮节曲线方程代入式(18)，分别取c=0.3、0.4、0.5得到行星齿轮节曲线曲率随转角θ1的变化情况(如图7所示)。

图7 行星齿轮节曲线曲率变化

计算不同c取值下的锁紧系数和行星齿轮的曲率最值(见表1)。

表1 行星齿轮节曲线曲率最值

从图7和表1可以看出，随着锁紧系数的增大，行星齿轮的外凸程度、内凹程度以及曲率的变化幅度均增加，其中行星齿轮外凸程度只有略微增加，但是内凹程度却几乎成倍增加，由于节曲线内凹程度越大，齿形设计越困难，因此在满足限滑差速器性能要求的前提下，应尽可能选择较小的锁紧系数。

3 结 语

本文提出了将平面变传动比齿条节曲线贴合在柱面上形成端曲面齿轮节曲线的方法，在此基础上建立了端曲面齿轮副啮合坐标系，推导了行星齿轮和半轴齿轮节曲线方程；利用行星齿轮和半轴齿轮节曲线模型，绘制了十字轴式变传动比限滑差速器端曲面齿轮副节曲线图形。通过计算表明，随着锁紧系数的增大，行星齿轮节曲线内凹程度显著增大，对齿形设计不利，因此在满足差速器“限滑”性能要求的前提下，应尽可能选择较小的锁紧系数。

[1] 贾巨民,高波,索文莉,等.越野汽车新型变速比差速器的研究[J].中国机械工程,2012,12(23):2844-2847.

[2] 姜虹,王小椿.三周节变传动比限滑差速器设计与试验[J].农业机械学报,2007(4):31-34.

[3] 龚海.正交端曲面齿轮副的传动设计与特性分析[D].重庆:重庆大学,2012.

[4] 郭辉,赵宁,项云飞,等.六轴数控蜗杆砂轮磨齿机磨削面齿轮的方法[J].机械工程学报,2015,11(6):186-194.

[5] LITVIN F L. Face-gear drive with spur involute pinion: geometry, generation by a worm, stress analysis[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2002,191:2785-2813.

[6] 李莎莎.正交变传动比面齿轮副齿面接触分析[D].重庆:重庆大学,2014.

[7] LIN C, GONG H, NIE N, et al. Geometry design, three-dimensional modeling and kinematic analysis of orthogonal fluctuating gear ratio face gear drive[J]. Institution of Mechanical Engineering Science, 2012,227(4):779-793.

[8] 贾巨民,高波,乔永卫.越野汽车变传动比差速器的研究[J].汽车工程,2003,25(5):498-500.

[9] LITVIN F L.齿轮几何学与应用理论[M].上海:上海出版社,2008:172-173.

[10] 吴序堂,王海贵.非圆齿轮及非匀速比传动[M].北京:机械工业出版社,1997:34-35．

[11] 李文长,贾巨民,张学玲.非圆锥齿轮的设计及运动学仿真[J].军事交通学院学报,2016,18(7):91-95.

[12] 王瑶.端曲面齿轮传动的啮合特性及承载能力分析[D].重庆:重庆大学,2015.

(编辑：张峰)

PitchCurvesofCurve-faceGearPairforCross-axleLimitedSlipDifferential

WANG Baiwang1, JIA Jumin2, TAN Xiaoming1

(1.Postgraduate Training brigade, Army Military Transportation University, Tianjin 30061, China; 2.Military Logistics Department, Army Military Transportation University, Tianjin 300161, China)

To study the transmission principle of cross-axle limited slip differential, after studying the transmission of face non-circular gear rack, the paper firstly elaborates the principle of forming pitch curve of curve-face gear by sticking pitch curve on cylinder. Then, it builds pitch curves model of planetary gear and half axle gear, and verifies the validity of the principle by comparing the model with pitch curves model derived from transformation formula of space coordinates. Finally, by calculating the curvature of planetary gear and half axle gear for cross-axle limited slip differential, it indicates that the concave degree of planetary gear pitch curves has increased obviously with the increase of locking coefficient.

pitch curves; curve-face gear pair; non-circular gear rack; limited-slip differential

10.16807/j.cnki.12-1372/e.2017.10.011

TH132.41

A

1674-2192(2017)10- 0043- 05

2017-06-08；

2017-07-14.

王白王(1992—)，男，硕士研究生；贾巨民(1965—)，男，博士，教授，博士研究生导师.