一道立体几何本源问题的探究

龚景煊

摘要：对于高三学生来说，每天都要做大量的数学题，是一件非常常见的事。但我们要思考的如何在有限的时间里，要做到高效，效果显著等问题。所以，我个人认为，要对每一个问题搞清来龙去脉，弄清问题的本质，这样有利于提高效率，起到事半功倍的效果。

关键词：效果效率本质

问题起源：在一次高三数学模拟卷测试中，原题为：如图，已知三棱锥 的所有棱长均相等，点 满足 ，点 在棱 上运动，设 与平面 所成角为 ，则 的最大值为__________.

考试结束后，我对这个题目进一步的思考和研究，我当时的做法：

解法1：（用建系的方法）设 ，建立如图所示的空间直角坐标系。

則

设 ，

所以 ，取平面 的一个法向量为 ，

所以， .

当 时，取到等号。

解法2：（用综合的方法）如图，过点 作 ，交点 必在 上，因为 ，所以 .所以 为直线 与面 所成的角。设 ， ，所以，

由 得， .

所以， .

当 时，取到等号。

我用两种方法做完这个题目后，当 取到最大值时，我发现点 的位置刚好在 的中点，而点 是恰好是 的四等分点处。取 的中点 时，则我们可以发现 ，所以 ，当 取得最大值时，角 刚好就是二面角的平面角 。

于是我对这个问题进一步的思考，当点 在边 上运动时，此问题本质就相当于 是面内的一条动直线，这样问题就相当于：在一个二面角内，一个半平面的动直线与另一个半平面所成的最大角，那就是二面角的平面角。

下面证明一个平面内的动直线与另一个半平面所成角的最大角就是二面角的平面角。

证明：如右图所示， 是二面角的平面角， 是直线 与平面所成的角。 ， ，因为 所以 ，所以， ，所以问题得证。

类似题：（2014年浙江高考理科第17题）.如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练，已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面上的射线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小（仰角 为直线 与平面 所成的角），若 ， ， ，则 的最大值是_______.

分析：有了上一题解题方法的总结此题我就可以秒杀了。动直线 与平面 所成的最大角就是平面 与平面 所成的二面角的平面角。马上可以得到问题的答案 。

解题后记，我们高三一年需要做大量的数学题目，为了把自己从大量的题海战术中解放出来，提高自己的解题速度、解题能力，提高复习效率。作为我们高三学生在解题过程中更多地要思考问题的本质，对一类问题从多角度，多层次的不断尝试，总结解题经验和解题方法，特别要总结出某一类的数学本质，做到触类旁通，这样才有利于节约我们的时间，提高复习的有效性。

参考文献：

1.2014年浙江省高考真题；

2.必修2《人教A版》教科书endprint