例谈由递推式求数列通项公式的常用方法

曹文韬

一、定义法

在通项公式的求解中，直接通过等差数列或者等比数列的定义来获取结果的方法被称为是定义法，此种方法可以在具有明显数列类型的题目当中应用。如从数列的第二项开始，其后每一项减去其前一项所得到的数值全部相同，或者从第二项开始，其后每一项与其前一项的比例值相同，则可以利用定义法的方式进行通项公式的计算。

例1 已知等差数列[an]符合a3=7，a5+a7=26，并且sn为前n项和，求数列[an]的通项公式。

解：假设数列[an]的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，所以可以列入如下公式[a1+2d=72a1+10d=26]，通过化解能够得出[a1=3d=2]，因此，最终的an=3+2（n-1）=2n+1。

二、公式法

如果已知数列前n项中的an与Sn之间的联系，最终要想求得[an]数列通项an，则可以利用an=S1，（n=1），an=Sn-Sn-1（n≥2）进行求解。

例2 已知Sn代表数列[an]中的前n项和，并且满足[sn=2an-1]，求数列[an]的通项公式。

解：当n=1时，a1与S1相等，带入到公式中能够得出[s1=2a1-1]，求得a1=1；当n≥2时，[an=sn-sn-1]，带入到公式中为：[2an-1-2an-1-1=2an-2an-1]最终经过化简能够得出[anan-1=2]，因此，数列[an]的第一项为a1=1，从第二项开始以后为等比数列，且公比为2，所以为[an=2n-1]。在利用公式法进行解题时，应遵循an=S1，（n=1），an=Sn-Sn-1（n≥2）原则，根据题目的具体情况，通常情况下应对n进行分类求解，但如果能够合并时一定要进行整合计算。

三、递推式求数列通项公式

在利用递推方法求取数列的通项公式时，主要可以采用公式间的变换方式解决，通常将已知数列向等差或者等比数列方面转换，但是也不排除利用特殊转换方法与特殊数列进行求解的可能。例如经常用到的递推公式：[an+1=an+f（n）]。

例3 已知数列[an]中的几项数值分别为[a1=12，an+1=an+1n2+n]，对数列[an]的通项公式进行求值。

解：根据题目中的所给条件能够得出[an+1-an=1n-1n+1]，并且n的值为1到（n-1），将n的数值逐一带入到上述公式当中，再进行累加之后能够得到公式：[an-a1+a3-a2+…an-an-1=1-12+12-13+…（1n-1-1n）]，所以最终能够得出[an=12]，将其带入后能够得出[an=32-1n]。在利用此种方式求通项公式时，可以将原本的公式转变为[an+1=an+f（n）]的方式，再利用累加的方式求得[an]的数值。

此外，递推式求数列通项公式的方法還有[an+2=pan+1+qan]的类型，这种类型的数列可以适用于以下题目的求解当中。

例4 已知数列[an]中a1的值为2，a2的值为5，并且[an+2-3an+1+2an=0]，求该式中数列[an]的通项公式。

解：通过该题中的已知条件，将a1与a2的数值分别带入到已知的公式当中，能够得出a1a2=5-2=3，因此，该式中后一项与前一项之间的公比为2，等比数列的首相数值为3，所以，后一项与前一项之间差值的表达公式为：[an+1-an=3?2n-1]。

在此结果的基础上利用逐差法能够得出：[an+1=an+1-an+an-an-1+…a2-a1+a1]将数值带入后能够得出[3?2n-1]，最终能够得出[an=3×2n-1-1]。通过利用分解系数，可以将数列[an]转变为特殊数列[an-an-1]的样式进行求解。同时，通过对系数p的分解，能够得到上述等比数列，假设[an+2-kan+1=h（an+1-kan）]，将其带入到公式当中，能够得出h和k的数值。

四、结束语

在做数列方面练习题时，应采用变换性思维方式，从多个角度进行分析，并且在课堂中认真听取教师所讲解的解题方法，对求数列通项公式的几种常用方法熟练掌握，进而能够在实际解题过程中，熟练应用。endprint