浅析求解非恒力做功问题的几种方法

邱勇涵

1引言

高中物理中定义力对物体做功的公式为F=FXcosα，特别注明这一公式适用于恒力做功。有关非恒力做功的求解，教材并没有详尽说明，而高中物理试题中非恒力做功是一种常见的题型，如何求解非恒力做功为题一直以来都是高中力学中重要的知识点。

2非恒力做功的平均力求解法

采用平均力求解非恒力做功时，物体受到的非恒力必须具备两个条件，一个是这个非恒力方向固定，另一个是力的大小随着物体位移的变化发生均匀的改变。此时，力的平均值为F平均=（F1+F2）/2，F1为初始状态时物体受到的力，F2为物体终止状态时受到的力。

图1所示的弹簧劲度系数为k，原始长度为x0，对弹簧施加外力F，使得弹簧由原始状态O点逐渐拉伸至A点，此时弹簧形变为Δx，对拉伸过程中拉力F做功进行分析。

外力F的方向不变，大小随着弹簧的伸长逐渐改变，因此可以采用平均力求解法。拉伸过程非常缓慢，那么弹簧此过程中中任意一瞬间的弹力与F大小相等，方向相反。根据胡克定律初始状态时F1=0，终止状态为弹簧位于A时，此时F2=kΔx，拉伸过程中弹簧受到的平均力为F平均=（F1+F2）/2=kΔx/2，因此非恒力F做功如式（1）所示：

[W=F平均?x=12k?x2] （1）

3非恒力做功的等效求解法

以具体实例说明这种方法的应用，如图2所示，物体一端系有细绳，穿过定滑轮，在细绳另一端施加一个恒力F，定滑轮距离物体上表面的高度为h，物体由初始状态开始运动，此时细绳与水平方向呈30°夹角（α），一段时间后物体运动至终止状态，此时细绳与水平方向呈45°夹角（β）。忽略拉动过程中摩擦和绳子的质量，分析绳子拉力T在这个过程中做的功。

上述实例中细绳拉力T是一个大小不变，只有方向不停改变的非恒力，细绳上的拉力T和施加于细绳的力F大小是相等的，而F是一个大小和方向都不变的恒力，因此可以使用等效求解法，即将T做的功等效为F做的功。细绳的水平夹角由α变化为β的过程中，F作用的一端移动的距离为ΔL=L1-L2=h（1/sinα-1/sinβ）。如式（2）所示：

[W=F?L=Fh1sinα-1sinβ=（2-2）Fh] （2）

4非恒力做功的图像求解法

根据力做功的公式W=Fx，一段时间内力所做的功可以看作是力F和位移x累积后得到的结果，如果以位移x为横坐标，力F为纵坐标作图，得到的图像中曲线与x轴“围成”的面积就代表做功的大小。正功指x轴以上部分的面积，负功则是指x轴以下部分的面积。也就是说在求解非恒力做功时，如果能将变力绘制成以位移x为自变量的函数图像，就可以利用图像求解非恒力做功的大小。

实例3为非恒力做功的图像求解法：现有一个作用于物体的力F使物體运动，首先从10N逐渐增大至60N，这一过程中物体移动了0.3m，之后力F保持60N的大小，使物体移动了0.5m，很明显力F是一个方向不变，大小改变的非恒力，将力F随物体位移x的函数图像绘出，如图3所示：

非恒力F已经转化为与位移x有关的函数关系，那么图3中曲线与x轴和y轴围成的面积就是非恒力F做功的大小，图3中这个面积是一个直角梯形和矩形之和，那么F做的功W如式（3）所示：

[W=S梯形+S矩形=（10+60）×0.32+0.5×60=40.5]J （3）

5结论

综上所述，求解非恒力做功问题都是从功的定义是W=FXcosα着眼的，无论是平均力求解法、等效求解法还是图像求解法，都是将非恒力进行一定程度的变形转化后，应用于定义式中。这三种方法求解非恒力做功问题可以提高解题的速度，非常方便和快捷。endprint