贝叶斯公式及其应用

曾皓泉

摘 要：贝叶斯公式是《概率统计》课程中非常重要的一部分，主要是对诱发结果的最可能原因进行概率推理，内容虽然简单，但是在自然科学实际生活领域中却应用广泛。本文首先将介绍下贝叶斯公式及其涉及到的相关理论，然后将举例分析其在医学诊断，交通使用，诚信上的实际应用。

关键词：贝叶斯公式 概率推理 广泛

一、贝叶斯公式

定义1：设与是样本空间中的两事件，若P（B）>0，则称

为“在发生下条件概率”，简称条件概率。

定理1：设B1，B2…Bn是基本空间的一个分割，即B1，B2…Bn互不相容，且UniBi=Ω，如果P（Bi）>0，i=1，2，…n，则对中任一事件，有上式称为全概率公式。

定理2：设B1，B2…Bn是基本空间Ω的一个分割，即B1，B2…Bn互不相容，且UniBi=Ω，如果，则：

推导：

由条件概率的定义可得：

对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式即得定理。

上式称为贝叶斯公式。

二、贝叶斯公式的应用

（1）在交通上的应用

例1.老王每天去上班分别可以采用坐公交，坐地铁，自己开车去，由于交通堵塞，采取三种方式迟到的概率分别是20%，10%，30%，一般情况下老王采用三种交通工具概率分别是60%，30%，10%。一天老王上班迟到了，问老王是自己开车上班的概率。

解答：

记：表示为“老王上班迟到”；B1表示“坐公交去上班”，B2表示为“坐地铁”，B3表示为“自己开车”。

则由题意可得B1，B2，B3构成一个分割。且

于是由贝叶斯公式可得到老王自己开车去上班的概率为：

（2）在医学诊断上的应用

例2.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为20：180的人群中随机地挑选一个人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率大还是女性的概率大。

解答：

记A表示为色盲患者；记B1表示问男性，B2表示为女性；则由题意可得男性，女性构成一个分割，且：

于是由贝叶斯公式可得：

该色盲患者是男性的概率是：

该色盲患者是女性的概率是：

由于0.69>0.31，从而可得该色盲患者是男性的概率比较大。

（3）在誠信上的应用

例3.某学校办公室甲，乙，丙一直公用一台台式电脑，由于三个人课题任务重，电脑一直处于被使用的状态，据统计三个人平时用电脑的时间长度比率为5：3：2，由于甲，乙，丙的电脑水平不一样，三个人用坏电脑的概率分别是0.3，0.4，0.5。现在电脑坏了，三个人都说不是自己弄坏的，问谁最有可能在撒谎。

解答：

记A表示为“电脑坏了的状态”；

记B1表示为“电脑正处于被甲使用”，B2表示为“电脑正处于被乙使用”，B3表示为“电脑正处于被丙使用”。

则由题意可得事件B1，B2，B3，构成一个分割，且：

则由贝叶斯公式可得：

甲弄坏电脑的概率为：

乙弄坏电脑的概率为：

丙弄坏电脑的概率为：

由于0.41最大，从而可得甲最有可能在撒谎。

结语

由上可知贝叶斯公式确实很有用且用途很广，本文只简单举了3个例子，想多了解者可下载些别的论文进行学习。

参考文献

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]杨静， 陈冬， 程小红. 贝叶斯公式的几个应用[J]. 大学数学， 2011， 27（2）：166-169.

[3]李国华. 贝叶斯公式的应用[J]. 牡丹江大学学报， 2011（7）：95-96.

[4]王丽. 浅析贝叶斯公式及其在概率推理中的应用[J]. 科技创新导报， 2010（24）：136-136.endprint