基于高中生视角谈数学函数的解题技巧

郑凯文

摘 要：概述了高中数学中与函数相关的考点，包括基本概念，特征分析，图像运用，复合函数和抽象函数。举例分析了应对低中高三种不同难度的题型的解题方法，其基本要素在于吃透概念、逻辑清晰和巧用发散思维。最后对解题技巧做了更详细的论述，指出不同技巧的提出原理和应用场景。

关键词：高中数学 函数问题 解题技巧

一、考点概述

高中阶段关于函数内容主要考察的知识点包括：对函数基本概念的理解，比如函数的定义以及特定函数定义域、值域和表达式；对函数特征的辨识，比如单调性、周期性、奇偶性、极值点；对函数图像的绘制和运用，利用图像进行解题；初等函数的基本性质和复合函数的分析技巧；还有比较有难度的抽象函数等。这些考点构成了高中函数题的绝大部分，除此之外，是将函数与诸如数列、不等式等考点结合起来考察，题型更加灵活，求解要求更高。[1]

学会解题和分析技巧的第一步，便是明确可能要考察的知识点，只有洞察了考点，才能随机应变，准确解题。[2]

二、例题解析

1.吃透概念解简单题

从考卷整体得分的角度来看，在对基本概念理解透彻的基础上，应尽量在一些简单题中做到百分百拿分。[3]

（1）例：已知函数，求其值域。

解：这道题函数的表达式并不复杂，可以用导数法求出单调性，然后求出值域，但过程较为繁琐，其实还有更加简便快捷的方法，那就是将原函数取倒数 ，这时会发现形式上的变化带来了新的求解思路，利用基本不等式可简化求解。

当时，可化简为，因此。

当时，。综上，原函数值域为 。

（2）例：已知有偶函数和奇函数，满足条件 ，试求和各自的表达式。

解：这是一道较为常规的利用奇偶性求表达式的题目，一般解法是用代替方程中的，这里也不例外。改写原方程得，又根据和各自的奇偶性有，；

所以有，再和原方程联立，相当于解二元一次方程组，得，。

2.逻辑清晰解中等题

中等题的考点多于简单题，通常具有连贯性，解题时需步步为营，不留遗漏。

例：已知函数，其中为正数，求该函数在上的单调区间。

解：这道题主要考察的是对函数求导以判断单调性，而函数本身有待定系数，因此解答重点在于分类讨论，避免漏解。

首先对原函数求导得，不妨先求单增区间。令，因为有且，所以可以等效为，这里看作一个含有待定系数的一元二次不等式，其中 ，求解时必须分类讨论。

当时，此时，那么恒成立，所以此时单增区间为。

当时，仅在处取到零，其余均大于零，因此单增区间仍为。

当时，解得或。此时应当注意，不能直接下结论判断单增区间，因为题目要求，需要判断与0的大小关系，这里可以运用韦达定理得，，所以有，单增区间为 。

以上便求完了单增区间，此时再令，即，根据之前的求解，可知只有在时不等式有解，为。

这道题整体难度并不大，但对理解解题所需要的逻辑性和完整性有很大帮助，解题过程环环相扣，衔接紧密，在此基础上如果使用更复杂的形式并引入更多的可变参数，则可进一步提高难度。

3.发散思维解困难题

通常考试最后的几道大题较有难度，考点也不限于某一大类，函数、数列、不等式、甚至是向量，都有可能交叉在一起考察，这个时候发散思维很重要。

（1）已知有

在时该式恒成立，又有方程的解为

那么

比较上式中左右两边的系数，可以发现。根据上述规律，如果有方程，其根为：，那么可以将用表示为。

這道题的考点比较特殊，也不是常规题型，考察的是观察、比较、猜想和推理的能力。虽然不是一道很难的大题，但是作为填空题来说，第一眼看上去还是有点唬人。解题的关键在于冷静分析题目中所给的条件，亲自动手验证已给的结论，找到其中的判断规律，然后再将其延伸到进一步的求解中。

（2）例：已知函数，有两个实数，试证明

证明：这道题仅从代数的角度来看，似乎难以证明，但是将不等式形式改写为 后，容易联想到距离的表达式，因此这里巧用向量的转换来证明代数不等式。

根据题目，构造两个向量，由于，那么这两个向量必然不共线，且有。根据向量知识中的距离不等式，仅在共线时等号成立，所以有，即。

三、技巧总结

上一节在解析例题的同时简要说明了解题技巧，这一节做更加详细的论述。

1.掌握考点和出题点之间的联系

考点和出题点看似是一回事，实则不然，两者并非一一对应。考点是以结论的形式展现，出题点以问题的形式展现，同一个考点有不同的出题角度，而一个出题点所对应的考点也不是唯一的。因此除了掌握考点外，还需掌握理解考点和出题点的关系，才能在解题时做出足够快速的反应。

2.解题时思路清晰，逻辑完整

作者的数学老师曾经在课堂上说过，高中数学和初中数学最大的不同点在于高中数学对思维量的要求明显提高。所谓思维量，最重要的体现在于逻辑性和完整性，除了特别简单的填空选择，其余大部分函数题都不可能一步到位，因此保证解题的逻辑性和完整性是应对大部分题型的必备方法。

3.巧用发散思维创新解题

难题的难点不仅在于计算，还在于思路的不寻常，这种情况下，发散性思维是解出难题的基本保证。要运用发散性思维，往往要对已知条件仔细观察，尝试不同的变化，才能最终找到引申的考点和解法。

结语

函数是高中数学中最重要的考点之一，其考察内容丰富，考题层次性明显，并且在一张试卷中几乎总会出现低中高三种难度的函数考题。因此，在掌握基本知识点的基础上，对三种难度的题型一一击破，是值得优先选择的策略。作者根据自身实际经验，分享了应对方法和解题技巧，既可用于启发当前的学习，又为未来在大学进一步的深造夯实了基础。

参考文献

[1]刘佳. 解析导数与函数[J]. 教育教学论坛，2014，（01）：166-167.

[2]许诺. 关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探索[J]. 科学大众（科学教育），2016，（02）：25.

[3]李瑛，郭啸. 高中函数问题的数学解题要素与解题能力探究[J]. 开封教育学院学报，2013，（03）：212-213.endprint