《数形结合，建立模型》

叶素勤+伍惠仪

背景分析：

“模型思想”是新教材的十大核心词之一。广义地讲，数学中各种概念、算法、解决问题的方法等，都可以叫做数学模型。二模型思想就是针对要解决的问题，构造相应的数学模型，通过数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。查阅了一些资料后发现，数学的建模思想较早适用于大学的学习，在小学中的应用并不广泛。然而在新教材的使用中，“模型”再一次被提出来，并作为小学数学教学的一个关键词。小学生的年龄特征影响着他们对模型建构的效率，所以在新教材理念下的数学模型的构建，更加多的是使用数形结合的方式去构建数学模式。结合这段时间区开展的新教材使用学习，其中所学习研讨的课例及自己在使用新教材中如何使用数形结合，建立模型，提高数学学习效率。

案例回放：

片段（一）

节选自海北小学朱子健老师的《乘法分配律》一课

一、创设情境、感知模型。

1、出示情境图

春装一套78元，

小刘买2套，小李买3套

两家一共要付多少钱？

学生反馈解法：

（1）75×2×3

（2）75×2+75×3

（3）75×（2+3）

指导分析算式表达的意义

（2）75×2+75×3

中75×2表示什么意思，75×3有表示什么意思。

學生反馈：75×2表示小刘要付的钱，75×3表示小李要付的钱。

为什么最后要再相加？表示他们合一起的钱。

（3）75×（2+3）

=75×5

在这里（2+3）是什么？表示一共的套数。

75×5表示什么？表示一共要付的钱。

在刚才的几个算式中都出现了乘法，它们为什么都用乘法来解决问题呢？

75×2表示什么：2个75相加。

75×3表示什么：3个75相加。

75×5表示什么：5个75相加的和

这两个算式的结果怎么样？“=”

如果不需要计算，你可以谈谈下面的关系是否相等吗？为什么？

75×2+75×3（=）75×（2+3）

因为：2个75相加+3个75相加就是5个（2+3）75相加。所以左边与右边的算式表达的意义相同，结果也一定相等。

【设计意图：利用学生生活中经常经历的经验去思考和提出解决的方法，在阅读、分析、探讨中初步感受解决这类问题的模型方法，用意义来初步构建出乘法分配律的基本模型。从感知中培养学生的数学思维。】

二、数形结合，验证模型。

结合图，与同桌说说等式（6+4）×3=6×3+4×3为什么会成立。

【设计意图：在学生基本感知两数的和乘一个数=这两个数分别乘同一个数的关系后，通过出示具体的直观的方格图，用形象的图形，直观清晰的让学生明确为什么（6+4）×3=6×3+4×3，借用“形”来确立“数”的关系。使四年级的孩子更容易的接受抽象的乘法分配律，更形象的理解和建立乘法分配律。】

片段（二）节选自西关培正小学 唐嘉欣老师执教的《解决问题-铺地砖》

一、情境导入

问：（1）、能用学过的面积知识求出综合电教室地板的面积吗？（只列式不计算）

（2）每块砖块的面积能计算吗？（只列式不计算）

（3）综合电教室里用了多少块这样的地砖吗？

展示两种不同的铺砖方法

【设计意图：充分运用学生生活中的情景，感受数学问题来源于生活，运用数学知识解决问题是生活的必要手段。通过研究学生身边的综合电教室的铺砖问题，初步感知解决铺砖问题的数学模型。】

二、新授知识

1、阅读理解

出示主题图

请学生阅读图意

2、分析与解答

1）动手操作，验证想法

2）汇报、展示。

3）列式解答。

3、回顾与反思

如何检验解答结果是否正确？

通过电脑平台再一次展示铺砖的两种方式

4、小结：

要解决铺地砖的问题可以有哪些方法？

【设计意图：通过直观的操作，让学生自我实践如何铺地砖，铺地砖时要知道什么，铺的时候可以怎样铺。从而形成解决铺地砖问题的具体方法的模型，从之前的感知模型顺利上升到验证模型形成模型。通过最后的回顾与反思，借助平台的显示，再一次强化了铺地砖问题的解决模型，在学生形成了深刻的印象，便于学生理解和掌握。使知识进一步升华。即给予了学生知识，更给予学生思考的方法，更有利于学生日后的学习与提升。】

片段（三） 长方形、正方形面积的计算

教学内容：人教版小学三年级数学下册66页例4及相关的练习

教学目标：

1、经历长方形、正方形面积公式的推导过程，获得从度量到计算来研究长方形、正方形面积的方法。

2、理解长方形、正方形面积公式的意义，掌握长、正方形面积计算公式，能运用公式进行长方形和正方形的面积计算，并能解决简单的实际问题。

3、在动手操作中体验和激发学习数学的兴趣，再通过自主探究得出结论，从中体会成功的快乐。

教学课时：第一课时

教学重难点：

重点：理解并掌握长方形、正方形面积的计算公式。

难点：理解长方形面积公式的意义。

教学准备：

面积单位若干个（每个小组一份），方格纸、长方形图形等。

教学过程endprint

（一）激活旧知，回顾铺垫。

下面每组图形是由若干个面积是1平方厘米的小正方形所拼成的，请说出每个图形的面积，并比较每组图形面积的大小，看看你有什么发现？

1）

（ ）平方厘米 ○（ ）平方厘米

通过上面的比较，你什么的发现？

预设1：它们都用了6个1平方厘米大的小正方形所拼成，所以它们的面积一样。

预设2：它们的形狀不同，但面积一样。

师：为什么形状不同，可面积还是一样呢？

预测：它们的面积单位的个数相同，都是6个。

师：同学们真厉害，只有知道了图形所含面积单位的个数，就是这个图形的面积。下面看看这个长方形，你们是否能求出它的面积？

【设计思路：通过直观的数一数，让学生再一次明确，直接给出面积单位时，可以通过数面积单位的个数来确定图形的大小。通过形象直观的数据来比较，从比较中体会决定图形的大小，是由图形所含有面积单位的个数来决定，与形状无关，不同的形状，面积也有可能相同。使学生再一次强化守恒的原理。】

（二）、经历感悟，探究新知

1、提出问题，突出度量的本质。

出示例4：一个长方形长5厘米、宽3厘米，你能求出它的面积吗？

5厘米 （为学生提供足够数量的面积单位）

3厘米

请孩子们自己动手摆一摆，看你能不能求出它的面积。

2、汇报交流，边摆边说你是怎样求的它的面积的。

预设1：用小正方形（面积是1平方厘米）铺满这个长方形，发现一共要用15个，所以这个长方形的面积是15平方厘米。

预设2：我不需要把这个长方形摆满面积单位，我只摆在长边上摆了5个面积单位，宽上摆了3个面积单位，因为每行摆了5个面积单位，摆了3行，正好能铺满，所以用乘法：3×5=15（个），15个小正方形的面积之和也就是15平方厘米。

3、根据摆的两种现象，思考以下问题：

师：通过刚才的摆一摆，你能够思考下面两个问题吗？1、图形面积的大小是由什么决定？2、通过哪两个条件可以知道图形含有多少个面积单位？

预设：图形面积的大小是由这个图形所含有面积单位的个数决定。

预设：通过每行的个数和行数就能知道图形含有多少个面积单位。

小结：同学们都很厉害，能用不同的方法求出这个长方形的面积，长方形的面积就是由这个长方形所含面积单位的个数决定的。

【设计思路：用动手摆一摆，屏幕根据学生的演说一一显示两种摆放的全过程，让学生明白两种摆法的不同，让学生感受二维面积的度量就是面积计算的本质，知道和掌握用面积单位把图形铺满，所用面积单位的个数就是这个图形的面积。初步感知每行的个数和行数能帮助计算面积的大小。】

4、感悟关系，探索面积计算公式。

1）老师为每两位同学提供了12个大小是1平方厘米的小正方形，每次都要全部用这些小正方形，请各位同学拼出不同的长方形，一边操作，一边记录到下表中。

每行的个数 行数 面积 长方形的长 长方形的宽

1

2

3

4

5

分工合作，两位同学都要动起来，参与到操作活动中。

2）汇报，寻找面积计算的方法。

分别汇报出各自摆放的长方形的每行的个数和相应的行数，数或算出拼成的长方形的面积是多少？

3）引导观察，归纳公式。

用课件一一展示学生拼成的长方形，在图中，让学生明确的认知到长方形的每行的个数就是长方形的长，行数就是长方形的宽度，长方形的面等于每行的个数乘行数，也就是长×宽。

板书：

长方形的面积=每行的个数×行数

长方形的面积= 长 × 宽

简单介绍字母表示法。

小结：长方形的面积由长与宽的乘积决定。知道了长方形的长和宽，就能求出这个长方形的面积是多少？

【设计意图：通过学生自己摆和记录，使学生掌握收集数据，分析数据的数学能力，通过数据的分析体会每行摆的个数就是长方形的长，摆的行数就是长方形的宽，长方行的面积=每行的个数×行数=长×宽。】

感悟和反思：

数学建模对学生的训练和传统数学课程相比较很不一样，建模能培养学生观察力、想象力、逻辑思维能力以及分析、解决实际问题的总和素养。

数学建模只用数学语言描述实际现象的过程，是一种数学的思考方法，是运用数学的言语和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。

而以上三个片段中均使用了直观形象的图形、铺砖、摆小正方形等手段，直接演示出所研究知识的内在联系，通过建模去构建计算关系、计算公式、解决问题等不同的知识点，有效的突破了知识点中的重点与难点。

在建模中可以从以下环节入手，构建模型：

1、重视情境创设，为学生建模构出雏形。

数学知识都源于生活，数学知识也服务于生活。所以从孩子们最为熟悉的环境入手，充分挖掘他们的生活经历，运用这些素材创设出与教学内容相关的生活数学信息，让学生赶到亲切和陌生，研究的兴致会更高，凭借孩子的生活经验，能够对所研究的问题或知识起到启蒙或初步感知构建，使学生在心中对所探讨的知识构出雏形，更有利于后面的学习和研究。

2、猜测、验证模型，用数形结合强化模型。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值。在片段中，三位老师均采用了数形结合的方式来构建出知识的模型，她们主要在猜测与验证的过程中，借助直观的几何形体，以形塑数，用几何形体的内在联系，塑造出“数”的关系，从而形成了模型。

3、巩固强化模型，从“形”回归到“数”。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。在课堂教学中，我们使用直观的几何形体构建出模型，在强化巩固模型的过程中，一定要把“形”回归到“数”，才能达到解法简单。形是研讨的一个过程，数才是最后要达到的目标。

本人认为数学建模专业化程度高，面向的人很少。但用数形结合来构建数学模型，则更适合小学阶段的孩子，更有利于培养孩子由具体到抽象，由空间到数学符号化的发展。其实数学建模离我们并不遥远，只要对数学感兴趣，勇于探索，勇于思考。建模则随时发生。endprint