与高中衔接的数学中考题分析及复习措施

颜丽芳

【摘要】 中考是初高中衔接的一个着力点，对初中教师的教学起到指导性作用，在数学中考题中延伸高中数学思想方法，渗透高中数学概念，补充初中知识和数学思想，是提升学生学习能力的一个渠道。本文分析了与高中衔接中考题的特征：语言叙述具有高中特色；`问题背景源于高中知识；在解题中渗透高中知识。同时为了更好的与高中衔接，对九年级复习提出了几点措施：理清初高中知识联系，注重知识衔接；比较初高中教法异同，适时教法衔接；比较初高中学法异同，注重学法指导。旨在提高学习数学的科学素养，促进学生后续学习。

关键词 衔接 中考 初中 高中

中考一直处于改革之中，但由于中考的选拔功能，而以高中数学知识为背景，或体现高中数学中常用的数学思想方法和推理方法的试题能够较好的考查学生的自学能力、快速阅读理解能力以及观察分析、类比、数学归纳能力，命题者往往比较青睐。同时，在每年的高一学生返校期间经常抱怨高中数学很难，考试成绩与中考成绩相比，有明显的下降，学习成绩分化比初中更加严重，整体学习成绩呈下滑态势。因此我们必须思考：经过中考的选拔跨入高中，我们学生都对自己充满信心，有很强的求知欲，怎么会出现相当部分学生不适应高中数学学习？

一、与高中衔接中考题分析

从“以学生的发展为根本”这一教学理念出发，中考题除了考察学生对初中知识的掌握程度外，还应为学生适应高中学习做适当的衔接。笔者以近几年来年全国各地中考题为例。

（1）语言叙述具有高中特色

数学语言可归结为文字语言、符号语言、图形语言三类。有些中考试题中的语言叙述有浓烈的高中特色。

例1.（绍兴市中考题）如果一个序列{ai}满足a1=2，an+1=an+2n（n为自然数），那么a100是 .

解析：∵a1=2，an+1=an+2n（n为自然数），∴a2=2+2×1， a3=2+2×1+2×2=2+2×3，…，an=2+n（n-1），∴a100=2+100×（100-1）=9902.

点评：这是一道数列题，它也是初中数学常见的规律题。但因题目的叙述方式采用了高中数学语言，学生就出现了看不懂题目的意思或解题方法想不到。

例2.（杭州中考题）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（ ）

A.a（x1﹣x2）=d B.a（x2﹣x1）=d C.a（x1﹣x2）2=d D.a（x1+ x2）2=d

解析：首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=（x﹣x1）[a（x﹣x2）+d]；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2是二次函数，且它的顶点在x轴上，即y=y1+y2=a（x﹣x1）2，推得a（x﹣x2）+d=a（x﹣x1），令x=x2，即可判断出a（x2﹣x1）=d.

点评：含有参数的函数、方程、不等式，初中数学只作定量研究，而这部分内容却是高中数学的重点和难点。本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y1+y2是二次函数，且y=y1+y2=a（x﹣x1）2。值得我们非常关注的是：含有参数的函数、方程、不等式已经成为杭州市数学中考的一大特色。

（2）问题背景源于高中知識

有一些中考试题以高中数学为背景，而考查的仍是初中数学知识。

例3.（衢州中考题）将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成 ，定义 =ad-bc，上述记号就叫做二阶行列式，若 =8，则x= .

解析： =8得：（x+1）（x+1）—（x—1）（1—x）=8.

点评：本题以高中行列式知识为背景，考查知识为初中整式的混合运算和解一元二次方程，要求学生能够读懂二阶行列式，并运用二阶行列式的计算法则得到方程来求解。

例4.（咸宁中考题）某集团决定将下属的一个分公司对外承包，有符合条件的甲、乙两个企业分别拟定上缴利润，方案如下：甲每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元；乙每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元.

（1）如果承包4年，你认为应该承包给哪家公司？总公司可获利多少？

（2）如果承包n年呢？请用含有n的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额.

解析：这在高中就是一道等差数列问题，可以直接利用公式S=计算。①甲上缴利润10万元；乙上缴利润10.8万元；②如果承包n年， ，。

点评：本题背景来自高中数学中等差数列求和公式，事实上，从小学开始等差数列就一直出现，所以对一些等差数列的基本内容，可以针对学情，适当补充。

（3）在解题中渗透高中知识

①通过合情推理得出高中知识

合情推理是从已有的事实出发，通过归纳和类比推断某些结果，其功能是探索思路，发现结结论，因此，中考经常会出现一些问题考查学生的合情推理能力，而答案往往是高中知识。

例5.（深圳中考题）阅读下面的短文，并回答下列问题：

我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）.设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则 ；又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则 .

第一、下列几何体中，一定属于相似体的是______.

A、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体.

第二、请归纳出相似体的三条主要性质：

第三、寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元.康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意.

解析：用学生非常熟悉的立方体相似，可以得出相似体的三条主要性质（2）：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比，相似体表面积的比等于相似比的平方，相似体体积的比等于相似比的立方；（3）因为同一种鱼的密度一样，所以它们的质量比等于体积比，质量比等于2.197，而它们的价格比为15：10=1.5，∴买15元一条的鱼更合算。

点评：从学生熟悉的相似形类比到学生第一次接触的相似体，是由低维（平面）到高维（空间）的类比。本题要求学生分析、类比、归纳，整个解题过程是一个探究新知识的过程，也是一个新知识形成的过程，充分体现了由特殊到一般的推理方法。

②渗透高中数学概念

在中考题中渗透数学概念，主要考查学生的自学能力、应变能力、运用新知识解决问题的能力，有利于学生学习能力和数学素养的培养，是学生“可持续发展”理念的具体体现。

例6（长沙中考题）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b].对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”.

第一、反比例函数是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

第二、若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；

第三、若二次函数是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a、b的值。

解析：（1）“闭函数”（2）当k>0时，∴此函数的解析式是y=x；当k<0时，y=-x+m+n；（3）或。

点评：先给出闭区间和闭函数的定义，需要学生利用增减性去理解，考查学生的阅读能力和和解决问题能力。本题实质是高中函数的定义域和值域的问题，但可以用初中的函数增减性来解决。此类问题有利于学生在获得解答的过程中，养成探索习惯提高自学水平和数学素养，使学生既能“学会”，又能“会学”。

③渗透高中数学解题技巧

代数推理题问题综合了函数、方程、数列等多个知识点，需要采用多种数学思想方法才能解决，是高考的一个热点，在数学中考中也倍受重视。

例7.（兰州中考题）为了求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，则2S=2+22+23+24…+22015，因此2S-S=22015-1，仿照以上推理计算出1+5+51+52+53+…+52014的值是（ ）

A.52014-1 B.52015-1 C. D.

解析：从范例入手，令S=1+5+51+52+53+…+52014，则5S=5+51+52+53+…+52014+52015，5S—S=52015-1， 故答案是。

点评：本题实质就是高中数学的等比数列求和问题，采用的是构造法，先给出求1+2+22+23+…+22014的值的范例，要求学生用用类比法解决问题，事实上解题的过程也是推导等比数列求和公式的过程。

二、九年级复习阶段的衔接措施

初中数学是高中数学的基础，作为初中数学教师有必要了解初中数学与高中数学哪些知识是连续的，可深入的？在数学思想方法和学习能力的上可作怎样的提升？根据初中学生的发展水平在九年级复习阶段采取衔接措施。

（1）理清初高中知识联系，注重知识衔接

高中数学由实数拓展到了复数；含有参数的函数、方程、不等式，初中只作定量研究，而这部分内容确是高中的重点和难点；射影定理、平行线分线段比例定理、相交弦定理、切割线定理等，初中深度不够，而高中应用频繁；初中的平面图形、三视图、投影、表面展开图与高中的立体几何联系；初中找规律题经常是高中等差、等比数列；初中三角函数与高中三角函数、正弦余弦定理关系。对于这些初高中相联系的知识在九年级复习阶段可做如下操作。

①把握契机，合理拓展

十字相乘法能够大大提高学生的计算速度，因此在因式分解和解一元二次方程的时可以让学生学会；韦达定理揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系， 可让学生求根公式去验证x1+x2=，x1·x2=，并鼓励学生应用；在相似三角形中，可让学生利用母子直角三角形相似推出射影定理，并鼓励他们在解题时运用这个（射影）定理，提高解题速度；通过三角形的外接圆（如图），将任意三角形问题转化为直角三角形问题，得出a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，故，即正弦定理。

②为高中学习留有铺垫

初中主要学习平面几何，学生对两直线的位置关系理解为不是相交就是平行，作为教师需要借助空间指出异面不平行也没交点的直线实例，使学生有立体几何的感悟。函数知识比较抽象，是初中数学的一大难点，在复习时总是围着一次函数、反比例函数和二次函数进行问题解决，易给学生造成函数只有这三种的错觉，比如：中自变量x的取值范围？教师不仅仅是教会求解，还应该从函数的定义出发告诉学生函数有很多种，高中我们还会学习指数函数、对数函数、幂函数等其它函数。再如初中阶段数扩张到实数，此时可以明确告诉学生高中还会进行扩张，會学虚数。教师有意识的为高中数学学习做一些铺垫，能激发学生对今后数学学习的兴趣和向往。

特别是高中立体几何需要学生很强的立体感和空间观念，事实上，高中的很多立体几何初中都有涉及，比如棱柱及其表面展开图、圆柱、圆锥、线线关系和线面关系、三视图、投影等，初中数学一般是把立体几何的问题转化为平面图形，在转化中要能抓住那些不变的量，而不变量的计算主要是在原平面图形中完成的。所以学好平面几何是高中学习立体几何的基础。

（2）比较初高中教法异同，适时教法衔接

高考数学改革一个重要关注点是立足基础，能力立意，突出思想，淡化运算，其实这也是中考数学关注点。九年级复习阶段是对整个初中阶段数学的整合复习，在课堂教学中要注意不断改进教学方法，培养高中所需要的学习能力。

①重视定义在解题中的运用

数学家波利亚说过：“当我遇到问题的时候，回到定义中去”。数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其特有的属性在思维中的反映，是数学思维存在的基本形式。在九年级复习阶段要注重定义在解题中的作用。

比如“绝对值”在教材上有几何意义和代数意义两种定义，在复习时要注意要数形结合，可以设计如下几道练习：第一、数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为____；第二、数轴上表示和两点之间的距离为_________；第三、若表示一个有理数，且，则；第四、利用数轴求出的最小值；第五、|x-1|+| x -2|+| x -3|+…+| x -n|的最小值。还可以换个问题背景：有A、B、C、D、E 5位同学依次站在某圆周上，每人手上分别拿有小旗16、8、12、4、15面，现要使每人手中的小旗数相等.要求相邻的同学之间相互调整（不相邻的不作相互调整），设A给B有x1面（x1>0时即为A给B有x1面；x1

②重视知识整理，使知识系统化

知识整理主要对所复习的内容进行分类归纳，有序整理，使其系统化。在复习教学中将同种类型、相同知识点、或者相同的解题方法的问题放在一起，系统地思考，或用思维导图将整章节的知识点串连起来，给学生一个较为清晰的认知网络结构，达到融会贯通、触类旁通，同时提高了学生的归纳整理能力。

四边形思维导图：

③重视题目变式和拓展

教师要善于对题目进行适当的改编和拓展，对同类问题做进一步探索，这样不仅能更好的掌握知识，而且在不断演变和练习中能做到举一反三，触类旁通，这也是学好高中数学所必需的能力。

（3）比较初高中学法异同，注重学法指导

学好数学必须要有勤奋、刻苦的学习态度，严谨、认真的学习习惯和方法，勇于挑战和战胜困难的信心。

①教学生学会听课

听课是学生在校学习的关键性环节，它对学生获得知识技能起着至关重要的作用。听课要达到几个目的：真正听懂、抓住重点、触类旁通、形成框架、完全记住，具体的来说就是应让学生在听的过程中明确：每节课的学习目的和学习要求；新知识的引入及知识的形成过程；理解教师对新课的重点、难点的剖析（尤其是预习中的疑问）；例题解法的思路和数学思想方法的体现。所以听课，重要的不是“听”，而是“想”，听是前提，随之是积极地思维，要全身心地投入课堂学习，做到耳到、眼到、心到、口到、手到。

②注重自主学习，激励钻研精神

《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖记忆与模仿，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。达尔文说过：“最有价值的知识是关于方法的知识。”要学生做到自主学习，关键是教给学生学习的方法和策略， 使学生逐步掌握正确的思维方法，培养学生的归纳、比较、分析、综合、抽象、概括等数学能力，逐步掌握学习方法，成为学习的主人。特别注意的是，对于学生解题思路的独创性与钻研精神要大力表扬肯定，激励他们再接再厉。

③学会反思，树立学好数学信心

数学的解题教学，关键在于“指导学生将注意力转移到对数学过程和自己的解题过程的反省上来”。 对待难度较大的题目，一定要有拿下这道题目的信心和决心，首先需要找到你在哪一步出问题，是基本算式技巧还是理论不够透彻，明白自己的瓶颈在哪，再有意识解决，也就是要随时反思自己的知识体系。

树立学好数学的信心，是伴随学生整个学习过程的一个重要任务。学习过程中难免会遇到困难和挫折，需要教会学生：学会多与同学交流学习心得和体会，互相鼓舞学习信心，激发学习动机；学会学习他人的成功经验，增强自己的学习信心；学会遇到困难和挫折时，正确分析它们产生的原因，及时寻求教师、同学和其他人的帮助，找到解决问题的办法消除它们带来的不良心理影响。

中考题的多方面、多层次变化，决定了初中教师要站在更高的平台上展望，初高中衔接的中考题，是对初中知识和数学思想进行补充，对初中教师的教学起到指导性作用。需要注意的是试题的设计虽与高中有关，但解决的方法是初中所学的知识，因此，教师在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新课程的中考要求。

参考文献

[1] 数学课程标准

[2] 黃仪，《从初高中衔接的视角看数学中考》，中学数学研究（华南师范大学版），2013年18期

[3] 李燕，《浅谈初高中数学教学的衔接》[J]，中学生数理化（教与学），2011年07期

[4]胡启山，《基于高中学习的初高中数学衔接初探》[J]，福建中学数学，2012年12期

（作者单位：杭州市余杭区崇贤中学）