浅谈麦克斯韦方程组

摘 要：麦克斯韦方程组（Maxwells equations）是电磁场的运动方程，是经典电磁学理论的基础，是光学、磁学、电学相互统一的电磁学理论，它全面的对电磁场规律进行了总结。本文主要在麦克斯韦方程组的来源、电荷守恒定律、毕奥——萨伐尔定律的基础上，探讨了对麦克斯韦方程组所反映的电磁场的普遍规律，并加强了对麦克斯韦方程组的认识。

关键词：麦克斯韦方程组；电磁场；普遍规律

1 麦克斯韦方程组的来源

众所周知，静止的电荷会产生电场，而随着时代的发展，社会的进步，人们开始对突变电场研究和应用，使得人们对电磁场的认识发生了质的飞越。

经过大量的实验证明，人们发现激发电场的有电荷、电流，并且变化的电场和磁场还会相互激发，电场和磁场构成了一个统一的整体——电磁场。与恒定的电磁场相比，变化的电磁场主要是：法拉第电磁感应定律—变化的磁场激发电场和麦克斯韦位移电流假说—变化的电场激发磁场。

在19世纪，英国的物理学家詹姆斯麦克斯韦总结了前人的经验，把大量实验得到的普遍规律加以总结凝练，得到了麦克斯韦方程组，将电荷、电流、电场、磁场联系统一在一起，建立起了他们之间的普遍联系，标志着经典电动力学的建立。麦克斯韦方程组的具体形式如下：

其中ρ为自由电荷的体密度，J为传到电流密度。上式仅仅表示在真空中麥克斯韦方程组的基本形式，而在介质中时，电位移矢量D=ε0εrE，磁感应强度B=μ0 μrH，传到电流J=σE。而介质中的麦克斯韦方程组为：

从上面方程组可以看出在一般情况下电荷、电流激发电磁场以及电场和磁場相互激发的规律。

2 电荷守恒定律

电荷守恒定律描述的是电荷不可能被产生也不可能凭空的消失，它只能从物体的一部份转移到物体的另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。也就是说，在任何物理过程中电荷的代数和是守恒的。

一般情况下，我们在描述导线上的电流是如何分布的时候，通常用通过导线横截面的总电流I表示。有的时候，我们不仅要知道通过导线横截面上的总电流I的多少，而且还必须明白导线内部电流是如何分布的。对于直流电流，电流在导线内部是均匀分布的，而对于高频的交流电流，电流几乎集中的存在于导线的表面上。对此情况，我们还需要引入电流密度J来对导线内部的电流分布进行描述。

电流密度J 的方向同电流的方向是一致的，大小等于1s内通过单位面积的电荷数量的多少。通过截面dS的电流dI为：dI=J·dS。则通过任何一个面积S的总电流为I=J·dS。

若电流被一种运动的带电粒子构成，设这种带电粒子的电荷密度为ρ，运动的平均速度为v，则总电流I为I=ρvdS。若电流是由多种运动的带电粒子组成的，则总电流为I=∑i ρividS。

根据电荷守恒定律：考虑存在一确定的区域V，它的边界为闭合的曲面S，如果有电荷从这个区域流出去，则区域V中的电荷数量就会减少，通过界面流出去的总电流I就应该等于区域V中电荷数量的减少率，所以有JdS=-dV。有根据高斯定理，JdS=[Δ]JdV，故可以得到[Δ]J=-，即[Δ]·J+=0，该式称为电流的连续性方程，也称为电荷守恒定律的微分形式。

此方程亦可根据麦克斯韦方程组的[Δ]×H=J+式推导得到。利用麦克斯韦方程组中的[Δ]×H=J+式，对[Δ]×H=J+求散度有[Δ]·（[Δ]×H）=[Δ]·J+[Δ]·，又根据式[Δ]·D=ρ和[Δ]·（[Δ]×H）=0可以得到[Δ]·J+=0。通过此方法也可以得到电流的连续性方程。故利用麦克斯韦方程组可以推导得到电荷守恒定律。

3 毕奥——萨伐尔定律

毕奥——萨伐尔定律是电流和磁场相互作用的结果，在实验中，可以测出两个电流之间的相互作用力，而这个作用力需要磁场这种物质对其进行传递。 如果一个电流激发了磁场，另一电流就会在这个磁场中受到力的作用。磁场对电流有作用力是磁场的特征性质。

而一个电流元Idl在磁场中受力可表示为dF=Idl×B，B称为磁感应强度。而细导线上恒定电流激发的磁场的毕奥——萨伐尔定律应写为：B（x）=∮L，毕奥——萨伐尔定律是恒定电流激发的磁场分布规律的积分形式。

利用麦克斯韦方程组中的[Δ]×H=J+式也可推证得到毕奥——萨伐尔定律。在恒定电场中，[Δ]×H=J，则有[Δ]×B=μJ。设磁矢势为A，B=[Δ]×A。所以[Δ]×B=[Δ]×（[Δ]×A）=[Δ]·（[Δ]·A）-[Δ]2A，取A满足规范条件[Δ]·A=0，所以[Δ]×B=-[Δ]2A=μJ，所以[Δ]2A=-μJ，经计算可得到A（x）=。

因此B=[Δ]×A=[Δ]×=[Δ]×J（x）dV=dV，又因为JdV=Idl，故所以B=，这就是利用麦克斯韦方程组推证得到的毕奥——萨伐尔定律。

4 结语

麦克斯韦方程组是经过大量的实验、理论基础和科学假设得到的，它不仅完善了电磁学基本理论，促进了物理学的发展，而且预言了电磁波的存在，为后来电磁波的发现提供了理论依据。本篇文章通过对麦克斯韦方程组的来源、电荷守恒定律、毕奥—萨伐尔定律的探讨，对麦克斯韦方程组有了进一步更深刻的认识。从电磁场的基本理论出发，通过利用麦克斯韦方程组推证得到了想要的结果。

麦克斯韦方程组是电磁理论的核心，它的地位与牛顿定律的地位一样高，麦克斯韦方程组的提出，为后面物理学家揭示自然界一个又一个相互作用规律奠定了基础。对于麦克斯韦方程组，我们只有去进一步了解其中蕴含的深层意义，才能更好的理解与应用麦克斯韦方程组。

参考文献：

[1] 赵凯华.电磁学[M].北京：高等教育出版社，2006，12：109-111.

[2] 郭硕鸿.电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008，6：8-16.

[3] 肖志俊.对麦克斯韦方程组的探讨[J].通信技术，2008年第09期.

作者简介：王倩（1994-），女，汉族，四川广汉人，物理学本科，研究方向：物理学理论知识。