“一类功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析”一文的注记

魏长城，林 记

（1.铜陵学院 数学与计算机学院，安徽 铜陵 244000；2.阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

“一类功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析”一文的注记

魏长城1，林 记2

（1.铜陵学院 数学与计算机学院，安徽 铜陵 244000；2.阜阳师范学院 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

本文对“一类功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析”中功能反应的食饵-捕食者系统重新进行了分析，构造了Dulac函数，利用Bendixson-Dulac定理，给出了系统极限环不存在性的结论，纠正了其中关于极限环存在定理。同时分析了系统在第一象限内轨线的拓扑结构。

捕食系统；Dulac函数；极限环；拓扑结构

2002年，文[1]对如下的系统

做了定性分析。经过分析，发现其中有些处理方法和结论值得商榷。

这里b＞0,A0＞0,A1＞0。同时文[1]依据系统（2）的奇点（0,0）为鞍点，自然诱导出系统（1）的奇点是鞍点，进一步构造外境界线，利用Bendixson定理给出了系统极限环存在定理。但是忽略了在x=0处是不可导的。因此系统（1）和（2）仅在区域D={(x,y)|x＞0,y∈R}上是等价的。因此，考虑到系统(1)的生物意义，本文限在区域上内研究，对文[1]反应的食饵-捕食者系统重新进行了分析，构造了Dulac函数，利用Bendixson-Dulac定理，给出了系统极限环不存在性的结论，纠正了文[1]中关于极限环存在定理。同时分析了系统在第一象限内轨线的拓扑结构。

1 系统（2）的奇点及性态

（1）有限远奇点分析

基于文[1]，经过计算在上有奇点，当A1≥b时，在上有奇点。

引理1 当A1＞b时，点为系统(2)的鞍点；当A1＜b时，点为稳定结点；当A1=b时，点为高阶奇点，且为鞍结点；当A1＞2b时，点为不稳定的结点（或焦点）；当b＜A1＜2b时，点为稳定的结点（或焦点）；当A1=2b时，点为中心。

证明 经计算，有

于是,当A1＞b时，B1为鞍点；当A1＜b时，有detJ1＞0,trJ1＜0和

当A1=b时，此时detJ1=0，于是为高阶奇点。此时，对系统(2)做变换。变换以后的仍用x,y记之，于是模型变为

令上式的三次项为零，即

（2）无穷远奇点分析

令z=0,有u=0。故只有奇点C(0,0)。

所以C(0,0)是不稳定结点。

研究奇点D(0,0)：

做变换T:ξ=v,η=y+P2(x+y)，由隐函数存在定理，在D(0,0)的充分小领域内，存在逆变换

计算得

为了简单起见，将(4)式写为

易知k=2,bn≠0,n＜m，故是D(0,0)鞍结点。

2 极限环的不存在性定理

考虑方程

这里P,Q∈C1(G)。

定理 系统（2）在={(x,y)|x＞0,y≥0}上不存在极限环。

证明 由于y=0是系统（2）的积分直线，所以仅需在={(x,y)|x＞0,y＞0}上考虑极限环的存在和不存在问题。

构造Dulac函数，令B(x,y)=xαyβ(x＞0,y＞0)，这里待定α,β。计算

考虑线性代数方程

有唯一解。进一步当A1≠2b时，有α≠0，于是有

利用引理2知系统（2）在上不存在极限环。

定理得证。

3 旋转向量场

考虑系统(2)，易见只有参数A0变动时向量场(X(x,y,A0),Y(x,y,A0))的奇点不变。

于是对任意点P(x,y)∈,并不能保证上式恒大于0或恒小于0。故系统(2)不是广义旋转向量场。

4 系统（2）的全局结构

基于前面结论，给出了系统（2）的全局结构，如图1所示。

图1 系统（2）的全局结构

5 结束语

本文对文[1]中的功能反应的食饵-捕食者系统重新进行了分析，构造了Dulac函数，利用Bendixson-Dulac定理，给出了系统极限环不存在性的结论，纠正了文[1]中关于极限环存在定理。得出了较为有意义的结果。

[1]程容福,蔡淑文.一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析[J].生物数学学报,2002,17(4)：406-410.

[2]陈兰荪.数学生态学模型与研究方法[M].北京：科学出版社，1988：174-198.

[3]张芷芬，丁同仁，黄文灶，等.微分方程定性理论[M].北京：科学出版社，1985：106-110.

[4]张锦炎，冯贝叶.常微分方程几何理论与分支问题[M].北京：北京大学出版社，2000：194-197.

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[6]吴承强.一类具功能反应的捕食-食饵系统的极限环[J].福州大学学报(自然科学版)，2004，32（4）：410-412.

[7]颜向平，张存华.一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析[J].生物数学学报，2004，19（3）：323-327.

A note on the paper“A qualitative of a kind of food with functional response-two group types of predators”

WEI Chang-cheng1,LIN Ji2
(1.School of Mathematics and Computer Science,Tongling University,Tongling Anhui244000,China;2.School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037，China)

In this paper,we consider the kind of food with functional response two-group types of predators again,which has already been studied by article“A qualitative analysis of a food with functional response-two group types of predators”.By structuring Dulac function and using Bendixson-Dulac theorem,we give nonexistence of limit cycles on system(1)and correct the existence of limit cycle of(1).Moreover,we analyze the topological structure of the system(2)in first quadrant.

predator-prey system;Dulac function;limit cycle;topology structure

O175

A

1004-4329（2017）03-018-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-018-05

2017-05-05

2017年度高校优秀青年人才支持计划项目（gxyq2017081）；安徽省质量工程项目（2015jyxm225）资助。

魏长城（1984- ），男，硕士，讲师，研究方向：微分方程稳定性。