基于比较可能度的多属性决策方法

胡 鑫，常文军，孙超平

(1.合肥工业大学 管理学院，合肥 230009； 2.过程优化与智能决策教育部重点实验室，合肥 230009)

(*通信作者电子邮箱changwenjay@163.com)

基于比较可能度的多属性决策方法

胡 鑫1,2，常文军1,2*，孙超平1,2

(1.合肥工业大学 管理学院，合肥 230009； 2.过程优化与智能决策教育部重点实验室，合肥 230009)

(*通信作者电子邮箱changwenjay@163.com)

围绕多等级上同时考虑优于、劣于、无差异和不确定等四种成对方案间关系的不同分布式偏好关系(DPR)，提出一种基于其比较可能度的属性权重未知的多属性决策方法。首先，利用各等级的得分值将分布式偏好关系转为得分值区间，并基于得分值区间构造服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度；其次，通过理论分析证明其与未考虑分布的比较可能度间的大小关系及其取值差异范围；最后运用提出的比较可能度形成属性权重未知的多属性决策流程，产生高辨识度的决策解。将提出的方法运用于求解芜湖市战略性新兴产业的评估问题，验证了方法的正确性和有效性。

分布式偏好关系；得分值区间；比较可能度；多属性决策；属性权重

0 引言

互联网、云计算、大数据等新兴信息技术的发展及其在工业、农业、商业等不同行业的应用，在为不同行业中的决策提供更为强大、全面的技术和信息基础的同时，也将相关决策置于一个高度动态不确定的环境中，正改变着人们的决策思维方式。在新的不确定决策环境中，对方案进行成对比较相对于直接给出方案评价更易为决策者所接受，能够更便捷、有效地刻画决策者的偏好。

已有的方案成对比较表示方法大体上包括三种：1)层次分析法[1]；2)模糊偏好关系[2]；3)分布式偏好关系[3]。层次分析法和模糊偏好关系是两种经典的方案成对比较表示方法，两者都是在单等级上描述成对方案间的优于(劣于)关系，前者运用9标度描述决策者认为方案1优于(劣于)方案2的程度，后者运用[0, 1]区间上的连续值刻画决策者认为方案1优于(劣于)方案2的不同程度，两种表示方法之间存在等价转换关系[4]。直觉模糊偏好关系[5]和模糊语言偏好关系[6-9]是模糊偏好关系的两种典型扩展，前者在单等级上描述成对方案间的优于、劣于和不确定三种关系，而后者则在多等级上描述成对方案间的优于、劣于和无差异三种关系。不同于前面这两种方法，分布式偏好关系在多等级上同时刻画成对方案间的优于、劣于、无差异和不确定四种关系[3,10]，从而更为全面、柔性地描述成对方案间的比较关系，更好地应对高度动态不确定环境下的决策问题。

利用分布式偏好关系进行多属性决策问题求解时，必须对分布式偏好关系进行比较，从而产生合理的决策解。文献[3]构建的多属性决策方法利用等级得分值(见1.1节)将成对方案间的分布式偏好关系转化为得分值区间，基于文献[11]中的区间数比较方法，构建不考虑概率分布的分布式偏好关系的比较可能度，进而产生决策解。此比较可能度的提出仅考虑了得分值区间的上下限，对得分值区间自身的概率分布缺乏考虑。一般而言，在决策者提供详细信息的条件下，可考虑得分值区间服从相应的概率分布；而在没有进一步信息支撑的情况下，成对方案比较的全局无知可随机分配到各个等级，得分值区间内的每个点成为决策方案的综合评价值是等可能的，在这种情况下，决策方案的综合评价值在得分值区间内服从均匀分布。因此，有必要考虑分布式偏好关系得分值区间服从均匀分布的比较可能度，并运用于决策问题求解中。在进行多属性决策问题求解时，经常出现由于决策过程中知识的缺乏或者决策者的主观判断而导致属性权重未知的情形。针对此情形，考虑得分值区间服从均匀分布，同时产生高辨识度的决策解，本文提出一种基于服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度的多属性决策方法。

以下首先介绍分布式偏好关系及其未考虑分布的比较可能度；而后基于文献[12]中的区间数比较方法构造服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度，从理论上分析并证明了与未考虑分布的比较可能度相比，其具有更高的辨识度；进而基于提出的比较可能度提出属性权重未知的多属性决策方法。最后，将提出的方法运用于求解芜湖市战略性新兴产业评估问题，验证了方法的有效性与合理性。

1 相关基础

1.1 分布式偏好关系

分布式偏好关系是定义在多等级对称框架上，同时刻画成对方案间的优于、劣于、无差异和不确定四种关系的方案成对比较表示方法，规范化定义如下。

定义1[3]设X={x1,x2, …,xm}表示一组方案集，Ω={H1,H2, …,HN}(N为奇数)为一个对称的评价等级框架，其中H(N+1)/2+1,H(N+1)/2+2, …,HN表示递增的优于强度，H1,H2, …,H(N+1)/2-1表示递减的劣于强度，H(N+1)/2表示无差异，且HN-n+1与Hn(n=1, 2, …, (N+1)/2-1)对称。任给一对方案xi和xj，它们之间的分布式偏好关系表示为dij={(Hn,mij(Hn)),n=1, 2, …,N; (Ω,mij(Ω))}，其中mij(Hn)和mij(Ω)分别表示等级Hn上的信念度和全局无知上的信念度(不确定度)，满足:

0≤mij(Hn),mij(Ω)≤1;n=1, 2, …,N

(1)

(2)

mij(Hn)=mji(HN-n+1);n∈{1, 2, …,N}

(3)

mij(Ω)=mji(Ω)

(4)

mii(H(N+1)/2)=1

(5)

分布式偏好关系等级框架Ω={H1,H2, …,HN}一般可通过决策者依据自身偏好和经验信息，综合专家意见来确定的。通过Saaty[1]提出的层次分析法可知，从心理学规律上来看，由决策者给出方案xi优于xj的等级标度不超过9。分布式偏好关系的对称等级框架包括优于、劣于以及无差异三种关系，依据层次分析法中的9标度，一般而言，在实际决策过程中，分布式偏好关系的等级标度满足N≤17。

为了度量各等级的差异，定义各等级上的得分值，如下所示。

定义2[3]设Ω={H1,H2, …,HN}(N为奇数)为表达定义1中分布式偏好关系的对称框架，则其对应的等级得分值s(Hn)满足：

0

(6)

s(H(N+1)/2)=0

(7)

s(Hn)=s(HN-n+1)；n∈{1, 2, …,N}

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由式(6)～(12)易知，sij和sji满足[3]：

(13)

(14)

1.2 分布式偏好关系的比较可能度

为了比较分布式偏好关系形成决策解，文献[3]基于分布式偏好关系的得分值区间，利用文献[11, 13]中的区间数比较方法(NSG区间数比较方法[14]的变形)构造不考虑均匀分布的分布式偏好关系的比较可能度，具体如下。

(15)

定义3中的比较可能度仅考虑利用得分值区间的上下限对方案进行优劣比较，未考虑得分值区间上随机变量的概率分布，得分值区间是由等级得分值、等级信念度和全局无知产生的，一般而言，全局无知被分配到各个等级的概率是相同的，那么由此产生的得分值区间服从均匀分布。为了定义分布式偏好关系得分值区间服从均匀分布的比较可能度, 本文首先介绍一种服从均匀分布的区间数比较方法，具体如下。

定义4[12, 15]设a=[a-,a+]和b=[b-,b+]为两个区间数，其上随机变量均服从均匀分布，则a优于b的可能度为：

(16)

以下将利用式(16)构造服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度，并与定义3中的比较可能度进行理论对比分析，探讨两者的大小关系和取值差异，进而论证本文提出的比较可能度具有更高的辨识度。

2 服从均匀分布的比较可能度

在利用分布式偏好关系构建的多属性决策问题中，对分布式偏好关系进行比较，首先要产生其间的比较可能度，以下将从分布式偏好关系得分值区间出发，考虑其概率分布，探讨服从均匀分布的分布式偏好关系的比较可能度。

(17)

依据定义5，在多属性决策中成对方案间的优劣关系可定义如下。

基于得分值区间服从均匀分布，定义5提出了一种新的分布式偏好关系比较可能度，且与定义3中的比较可能度p(sij≥sji)相比，两者在一定条件下存在固定的大小关系。

(18)

(19)

证毕。

由定理1可知，对于相同的一对方案，定义6中的比较可能度始终大于定义3中的比较可能度，且两者之间的取值差异规约在一定范围内。

(20)

(21)

证毕。

综合定理1和定理2可知，与不考虑概率分布的比较可能度相比，考虑服从均匀分布的比较可能度产生的决策解具有更高的辨识度。

3 多属性决策方法

在真实决策过程中，经常出现属性权重未知的情形。针对此情形，本章对多属性决策问题进行建模，进而设计一种基于服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度的多属性决策方法。

3.1 问题建模

3.2 问题求解

对于3.1节中建模的多属性决策问题，首先要确定各属性的相对权重。

给定各属性上成对方案间的分布式偏好关系d(ei(alk)) (∀i∈{1, 2, …,L}, ∀l,k∈{1, 2, …,m})，计算出各属性上成对方案间的得分值区间，标记为s(ei(alk))=[s-(ei(alk)),s+(ei(alk))] (∀i∈{1, 2, …,L}, ∀l,k∈{1, 2, …,m})。

为了衡量在各属性上成对方案间的差异，需要考虑度量不同得分值区间之间的距离。针对这个问题，借鉴文献[16]中的两区间数的距离公式，即设a=[a-,a+]和b=[b-,b+]为两个区间数，则：

(22)

其中，d(a,b)为区间数a与b之间的距离。

依据式(22)计算在各属性上每个方案与其余方案间的平均距离，将其标记为d(ei(al)) (∀i∈{1, 2, …,L}, ∀l∈{1, 2, …,m})，即:

(23)

基于式(23)度量在各属性上所有方案间的平均距离，以此作为各属性上的方案差异度，并将其标记为di(∀i∈{1, 2, …,L})，即:

(24)

依据式(24)，利用各属性的方案差异度di(i=1, 2, …,L)来度量各属性权重wi(∀i∈{1, 2, …,L})，即:

(25)

从而得到各属性的相对权重w=(w1,w2, …,wL)。

综上，给出基于分布式偏好关系比较可能度属性权重未知的多属性决策方法流程。

步骤1 针对3.1节建模的多属性决策问题，决策者依据自身偏好，综合考虑专家意见，确定等级框架Ω={H1,H2, …,HN}(N为奇数)，等级得分值s(Hn) (n=1, 2, …,N)。

步骤2 决策者给出属性集E上成对方案间的分布式偏好关系d(ei(alk)) (∀i∈{1, 2, …,L}, ∀l,k∈{1, 2, …,m})。

步骤3 计算各属性上成对方案间的得分值区间，依据式(23)～(25)确定各属性的相对权重wi(i=1, 2, …,L)。

步骤4 运用文献[3]中的属性集结方法，得到完全的分布式偏好关系，形成得分值矩阵S。

4 案例分析

为了构建国内先进产业基地以及现代高端产业体系，芜湖市决定实行战略性新兴产业重点培育和发展。芜湖市发改委选定了4个产业作为备选方案，包括装备制造、电子信息、新材料以及新能源。由芜湖市发改委官员担任决策者，邀请来自政府有关部门、相关产业以及合作高校的10位专家，选取产业发展潜力(e1)、产业发展基础(e2)、对低碳和环境保护的影响(e3)、促进科技的产业效应(e4)、盈利能力(e5)、就业吸纳能力(e6)等6个属性，并实现对4个产业的有效评估。由于针对每个属性，需要考虑的子属性颇多，且专家们相关意见繁杂不统一，获取6个属性的相对权重相当困难。以下将针对属性权重未知的情形，用本文提出的决策方法进行问题求解，流程如下：

1)决策者结合自身知识和偏好，综合专家意见，确定对称的等级框架为Ω={H1,H2, …,H11}={绝对弱, 非常弱, 很弱, 一般弱, 稍弱, 无差异, 稍强, 一般强, 很强, 非常强, 绝对强}，其等级得分值为s(Hn) (n=1,2,…,11)=(-1,-0.8,-0.6, -0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1)。

2)针对上述4个产业，给出成对方案间的分布式偏好关系，如表1所示。其中，4个产业表示为Il(l=1, 2, …, 4)，成对产业在属性上的分布式偏好关系表示为d(ei(Ilk)) (i=1, 2, …, 6;l,k=1, 2, …, 4)。

3)依据式(9)～(12)，将各属性上成对方案间的分布式偏好关系转化为相应的得分值区间s(ei(Ilk))， (∀i∈{1, 2, …, 6}, ∀l,k∈{1, 2, …, 4})，具体如表2所示。

基于表2，利用式(23)计算各属性上每个方案与其余方案间的平均差距d(ei(Il))，如表3所示。

依据式(24)求取各属性上成对方案间的平均差距di(i=1,2,…,6)=(0.418 2,0.772 3,0.471 8,0.387 8,0.552 7,0.883)。进而利用式(25)求得各属性的相对权重wi(i=1,2,…,6)=(0.112,0.221 6,0.135 3,0.111 2,0.158 6,0.253 3)。

4)运用文献[3]中的属性集结方法，将各属性上成对方案间的分布式偏好关系d(ei(Ilk)) (∀i∈{1, 2, …, 6}, ∀l,k∈{1, 2, …, 4})集结为成对方案间的分布式偏好关系d(Ilk)，如表4所示。

表1 成对产业在属性上的分布式偏好关系Tab. 1 Distributed preference relations on attributes of pairwise industries

表2 成对产业在属性上的得分值区间Tab. 2 Score intervals on attributes of pairwise industries

表3 各属性上每个方案与其余方案间的平均差距Tab. 3 Average difference on attributes of each alternative and other alternatives

将d(Ilk)转化为对应的得分值区间s(Ilk)=[s-(Ilk),s+(Ilk)]，进而得到完全的得分值矩阵如下：

5) 基于分布式偏好关系得分值矩阵S，利用式(17)求取服从均匀分布的可能度矩阵:

表4 成对产业间的分布式偏好关系Tab. 4 Distributed preference relations of pairwise industries

5 结语

本文针对利用分布式偏好关系建模的多属性决策问题，提出了一种基于其比较可能度的属性权重未知的多属性决策方法。首先构造了一种服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度，进而运用此可能度阐述了一种属性权重未知的多属性决策方法。最后，利用提出的多属性方法求解芜湖市战略性新兴产业评估问题，诠释该方法的实现过程，验证了其应用性和合理性。同时，与文献[3]中的方法进行了对比，突出了本文方法在考虑均匀分布合理性、深入挖掘决策信息、产生高辨识度的决策解等方面的优点。

本文提出的分布式偏好关系比较可能度，能产生较高辨识度的决策结果，但仍不能保证比较可能度自身的传递性。下一步拟将设计新的区间数比较方法，实现比较可能度的传递性，并设计相应的多属性决策方法。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (71201043, 71571060), the Ministry of Education, Humanities and Social Sciences Planning Project (14YJA630051).

HUXin, born in 1994, M. S. candidate. Her research interests include decision making theory and method.

CHANGWenjun, born in 1991, M. S. candidate. His research interests include decision making theory and method.

SUNChaoping, born in 1973, Ph. D., associate professor. His research interests include management decision method in cloud computing.

Multi-attributedecisionmakingmethodbasedoncomparisonpossibilitydegree

HU Xin1,2, CHANG Wenjun1,2*, SUN Chaoping1,2

(1.SchoolofManagement,HefeiUniversityofTechnology,HefeiAnhui230009,China；2.KeyLaboratoryofProcessOptimizationandIntelligentDecision-making,MinistryofEducation,HefeiAnhui230009,China)

Based on comparison possibility degree of Distributed Preference Relation (DPR) considering four pairwise relations of alternatives including superiority, inferiority, indifference and uncertainty, a multi-attribute decision making method with unknown attribute weights was proposed. Firstly, DPRs were transformed to score intervals by using grade scores. Based on the score intervals, the comparison possibility degree of DPR with consideration of uniform distribution was constructed. Secondly, the relationship between comparison possibility degree and the difference range of values of the proposed possibility degree and the possibility degree without considering probability distribution were theoretically analyzed and proven. At last, by using the proposed possibility degree, a multiple attribute decision making process considering unknown attribute weights was generated. Meanwhile, a high recognizable decision solution was created. The proposed method was applied to evaluate the strategic emerging industries of Wuhu, which verified the applicability and validity of the method.

Distributed Preference Relation (DPR); score interval; comparison possibility degree; multi-attribute decision making; attribute weight

TP18

A

2017- 02- 20;

2017- 04- 24。

国家自然科学基金资助项目(71201043，71571060)；教育部人文社会科学研究规划基金项目(14YJA630051)。

胡鑫(1994—)，女，辽宁铁岭人，硕士研究生，主要研究方向：决策理论与方法； 常文军(1991—)，男，安徽芜湖人，硕士研究生，主要研究方向：决策理论与方法； 孙超平(1973—)，男，安徽怀宁人，副教授，博士，主要研究方向：云计算环境下管理决策方法。

1001- 9081(2017)08- 2223- 06

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.08.2223