一道高考题的解法赏析及拓展延伸

☉山东省邹平县黄山中学 陈秀群

一道高考题的解法赏析及拓展延伸

☉山东省邹平县黄山中学 陈秀群

一年一度的高考刚刚落下帷幕，赏析高考题成为了笔者多年的习惯，尤其欣赏那些可以从多个视角进行问题解决的考题，这样的考题不是“孤题”，可以让懂原理、会方法的学生将自己的能力展示出来，更可以作为典型性例题拿到数学课堂学习（尤其是高三数学复习）中来，通过一道题可以有效复习到多个知识和方法，甚至还可以以此为母题向外拓展延伸，本文以2017年的一道高考题为例进行简单的分析与探讨.

一、考题呈现

考题 （2017年全国新课标Ⅰ卷理10）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）.

A.16B.14C.12D.10

二、多维度探寻考题解法

笔者运用高中数学知识、方法对该题进行分析，发现该题的解法至少有如下几种：

解法1：（设直线解决）由题意得焦点为F（1，0），l1，l2与坐标轴不平行，设l1：y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y）1，B（x2，y2），将y=k（x-1）代入y2=4x得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，故x1+.由弦AB是焦点弦且p=2，故|AB|=x1+x2+p=4.由l⊥l，则l的斜率为代替k得|DE|=4k2+4，122所以|AB|+|DE|=4k2++8≥16，当且仅当k=±1时，取得最小值16.

这种解法是常规方法，也是通法，运用的基本原则是已知直线过定点，那就设出斜率解决.

解法2：（设出倾斜角）由题意得焦点为F（1，0），l1，l2与坐标轴不平行，不妨设直线l的倾斜角为α（ 0＜α＜），设

1|FA|=r1，|FB|=r2，则点A的坐标为A（r1cosα+1，r1sinα）.由点A在抛物线C上，得sin2α=4（rcosα+1），即（sin2α-（4cosα）r-114=0，由求根公式得r=（其中r=＜0舍去）.11由点B对应的角为π+α，用π+α代替α得r=2，故|AB|=r+r=，同理得|DE|=12.所以|AB|+|DE|=≥16，当且仅当α=时，取得最小值16.

这种解法用的是三角函数定义及点在曲线上的思想，求解焦半径的长，同时用抛物线的定义、性质解决.

解法3：（利用参数方程）由题意得焦点为F（1，0），l1，l2与坐标轴不平行，不妨设直线l1的倾斜角为α （ 0＜α＜），则l的参数方程为1交点A，B对应的参数为t，t，将，代入y2=4x，得12（sin2α）t2-（4cosα）t-4=0，故t1+t2=，故.由l1⊥l2，得l2的倾斜角为+α，用+α代替α得|DE|=，所以|AB|+|DE|==≥16，当且仅当α=时，取得最小值16.

这种解法用的是直线参数方程，也是求弦长问题的有效方法.

图1

解法4：（利用抛物线的定义）由题意知焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，不妨设直线l的倾斜角为α （ 0＜α＜），1如图1，作AA′垂直于准线，垂足为A′，则|AF|=|AA′|=|AF|cosα+|KF|=|AF|cosα+2，故|AF|=，同理|BF|=，所以|AB|==.由l⊥1l，得l的倾斜角为+α，用+α代替α得|DE|=22，所以|AB|+|DE|===16，当且仅当α=时，取得最小值16.

这种解法是利用抛物线的定义，体现了解析几何的几何属性，运用几何性质解题.

解法5：（利用极坐标）由题意得p=2，则以焦点为极点，开口向右的抛物线的极坐标方程为，设点A的极角为α，则点B的极角为π+α，故，ρ=B，所以|AB|=，同理|DE|=，以下同解法2或解法3.

这种解法用的是极坐标方程，避免了直线与抛物线方程的联立，大大减少了计算量.

解法6：（利用极坐标和基本不等式解决）前面解法求得弦长|AB|，|DE|后，可以发现，则|AB|+）（|AB|+|DE|）=4（ 1+1）≥）=16，当且仅当|AB|=|DE|=8时，取得最小值16.

这种解法体现了极坐标与基本不等式的综合应用，起点高，落点低.

三、基于考题的拓展性研究

结论1：过抛物线E：y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于A，B两点，直线l2与E交于C，D两点，则

我们知道，抛物线、椭圆、双曲线都是圆锥曲线，其性质都可以类比得到，上述结论也可以推导到圆锥曲线中.

推论1：过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于A，B两点，直线l2与E交于C，D两点，则

推论2：过双曲线E：=1的一个焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于A，B两点，直线l2与E交于C，D两点，不妨设直线l1的斜率为k，当（b2-a2k2）（b2k2-a2）＞0时，则；当（b2-a2k2）（b2k2-a2）＜0时，则 （.限于篇幅，此处两个推论的证明过程略）

四、对数学学习的几点启示

1.练好基础，提升能力

没有坚实的基础知识，能力也只是空中楼阁.因此我们要注重扎实基础，练就“硬功夫”.若对基础知识理解不到位、掌握不牢固、运用不灵活，就无法果断选择解题方向，无法顺利推进解题思路，更难以灵光闪现生成数学直觉、产生解题顿悟.本题的六种解法，综合了所学的基本知识，处处体现了学生的基本能力.所以，扎实的基础是攻克难题、萌生灵感的前提，是养成程序化思考问题的习惯的关键，也是战胜高考的后盾.在高三的复习教学中，要指导学生练好基础.

2.培养核心素养，发展数学品格

章建跃博士指出：“理解数学、理解学生、理解教学是落实数学核心素养的关键.”复习教学中，不宜笃信题海战术从量上追求“练过”，而应着眼于发展核心素养从质上追求“练透”.若逻辑推理、数学运算等核心素养没跟上，即使年年岁岁考题相似，还是岁岁年年熟而不会.高考对圆锥曲线的考查重点比较综合，试题构成元素主要是圆锥曲线和直线，但是元素的复合形式、设问角度及参数调控多种多样，掌握以不变应万变的的良方，唯有发展良好的数学核心素养，即应具备适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和数学关键能力.在圆锥曲线问题的解决中，必备的“关键能力”主要是逻辑推理与数学运算素养.例如，本题的几种解法中，要帮助学生理清思路、开阔思维；让学生领悟解题路径及思路要领，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，熟练掌握运算法则、清晰选择运算方法.

1.张艳玉.是“亮点”，还是“败笔”——由一道“一题多解”数学题教学引发的思考［J］.数学教学通讯，2011（15）.

2.陈晓明.关注新问题的生成，反思试卷讲评课的有效性——以一道直线方程试题为例［J］.上海中学数学，2015（11）.

3.赵炜.“教”让道于“悟”——一道调研测试题的讲评教学实录及反思［J］.中学数学月刊，2013（9）.