一个“以逐级设问为导向”的教学尝试案例——函数单调性的概念

☉云南省曲靖市第一中学 陈 润

一个“以逐级设问为导向”的教学尝试案例
——函数单调性的概念

☉云南省曲靖市第一中学 陈 润

一、教材分析

函数的单调性是高考的重点考查内容之一，是函数的一个重要性质，在比较几个数的大小、求函数值域、对函数的定性分析，以及与其他知识的综合上都有广泛的应用.通过对这一节课的学习，可以让学生加深对函数的本质认识.也为今后研究具体函数的性质做了充分准备，起到承上启下的作用.

教学重点：形成增（减）函数的形式化定义.

教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数的增减性用数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性.

二、教法

启发式教学，在教师的引导下，通过开放性问题的设置来启发学生，让学生在思考中体会数学概念形成过程中所蕴含的数学方法.

三、学法

采用着重于学生探索的方法，结合师生共同讨论、归纳.根据学生的认知水平，设计了五种方法：①创设情境——引入概念；②观察归纳——形成概念；③应用举例——深化概念；④即时训练——巩固新知；⑤总结反思——提高认识.

四、教学程序及设想

（一）创设情境——引入概念

由具体的实例引入：

问题1：观察下列各个函数的图像（图1，图2），说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律.

图1

图2

答：随x的增大，y的值有变化.

设问意图：给出学生这两个引例是从图像上激发学生对探索研究、学习新知识的热情，为导入新课及顺利完成教学任务做了思想上的准备.

问题2：画出一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的图像，从图像观察随x的增大，y的值有什么变化.以二次函数f（x）=x2为例，列出x，y对应值表，进行相应的分析.

答：在x∈（-∞，0）上，随着x的增大，y减小；在x∈（0，+∞）上，随着x的增大，y增大.

设问意图：为得出增函数与减函数的概念从图形和数值上做好了铺垫.

（二）观察归纳——形成概念

把图形语言转变成数学语言，借助点这个中间桥梁.（作为这一节的重点内容讲解）

问题1：构成图像的要数是什么？

答：点（x，y）是构成图像的基本要素.

设问意图：引入数与形结合的桥梁点（x，y）这个工具，为接下来的问题做好铺垫.

问题2：（1）图像的变化与点（x，y）的运动有关系吗？

答：有.

（2）看图像的实质是看什么？

答：看点（x，y）的变化.

设问意图：引导学生把构成图像的基本要素点（x，y）单列出来研究，这就为接下来的研究找准了方向.

问题3：能用定点（1，2）来刻画图像的运动变化吗？

答：不能，因为1，2是常数，定点（1，2）不能刻画图像的运动变化.

设问意图：引导学生用动点（x，y）来分析和刻画图像的运动变化.

问题4：（1）一个动点（x，y）能够刻画图像的变化吗？

答：不能.

（2）用三个动点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）能够刻画图像变化吗？

答：可以，但三个动点的刻画相对较为复杂.

（3）那最好用几个动点来刻画图像的运动变化？

答：两个动点（x1，y1），（x2，y2）.

设问意图：引导学生用动点来刻画图像，一个动点没有比较，突出不了变化的特性.三个动点可以刻画，但相互间的变化较为复杂.最好用两个动点，这样既可以刻画变化，也可以形成比较.

问题5：（1）点（x，y）由哪些要素组成？

答：横坐标x，纵坐标y.

（2）横坐标x、纵坐标y都是数，那么能用数来刻画图像的变化吗？

答：能.

设问意图：引导学生从形的特性向数的方向转移.

问题6：（1）点（x，y）的坐标体现的是几维的思想？

答：二维，一维由x确定，另一维由y确定.

（2）能把二维降为一维来研究吗？

答：能.

设问意图：引导学生用消元降维的思想研究问题.

问题7：（1）点运动时，横坐标x1，x2，纵坐标f（x1），f（x2）都是变数，对用数来刻画图像的变化会带来困难.那你会想到哪些更好的方法？

答：固定两个动点的横坐标x1，x2，纵坐标f（x1），f（x2）中某一类量之间的大小，去研究另一类坐标间的大小关系.

（2）那固定哪个坐标？

答：习惯研究横坐标x1，x2，那就固定横坐标x1＜x2.

设问意图：引导学生从已有的认知出发，让学生体会从研究四个量x1，x2，f（x1），f（x2），到只需研究两个量f（x1），f（x2），从研究横纵坐标两类量到只需研究纵坐标一类量的变化.

问题8：x1，x2是变化的，如何取x1，x2？

答：任取x1，x2∈D（D为定义域的子集）.

设问意图：让学生体会所取的x1，x2的变化应该用“任取”这两个字来刻画.

问题9：任取x1，x2∈D，且规定了x1，x2后，怎样研究f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）呢？

答：采用f（x1）-f（x2）＜0或f（x1）-f（x2）＞0的方法.

设问意图：让学生体会定义中的两个简单不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻画了函数递增或递减的性质.这就是数学魅力！

问题10：怎样完整地把以上想法用数学语言表达出来？

答：设函数y=f（x）定义域的子集为D，若对任意的x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2）），则f（x）为区间D上的增（减）函数.

设问意图：通过上述的问题，让学生体会怎样从已有的认知中提炼出增（减）函数的形式化定义.

问题11：定义中的关键词语是哪些？

答：通过学生的分析讨论得出以下几个关键词语：

（1）“定义域内某个区间”.这里包含两层意思：第一，函数的单调性只能在定义域内讨论；第二，函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，否则无法讨论其单调性.

（2）“任意两个”和“都有”.就是说这里的x1，x2在给定区间上具有任意性，不能用特殊值来判断函数的单调性（要特别强调），而且只要x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））恒成立.

设问意图：让学生正确地、深入地理解概念的关键.这教师应该启发引导学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力.

问题12：你对数学化的过程还有那些需要补充和改正？

答：如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以有函数值的大小去判断自变量的大小，即一般成立则特殊成立，反之不然.

设问意图：让学生体会辨证法中一般和特殊的关系.

（三）应用举例——深化概念

例1人教A版必修1课本P29页例1.

意图：（1）会根据图像写单调区间；（2）明确区间的端点值不影响函数在这一区间上的单调性.

例2人教A版必修1课本P29例2.

问：怎样用定义来证明呢？

要求：学生思索并动笔，教师不断点拨启发，最后师生共同完成（教师认真规范地板书证明过程，以对学生起到示范作用）.

意图：通过此题解题达到以下要求：

（1）总结归纳出用定义证明函数单调性的步骤.

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f（x1）-f（x2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f（x1）-f（x2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）.（2）变式训练：讨论函数y=k为常数，且k≠0）.

意图：通过变式训练使学生认识到反比例函数的单调性决定于系数k，同时训练了学生进行分类讨论的重要数学思想.

（四）即时训练——巩固新知

（1）人教A版必修1课本P32练习第1、2、3、4题.

意图：为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，设计了一组即时训练题，并且把课本的例题融入即时训练题中，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识.

（五）总结反思——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容：

函数的单调性一般是先根据图像判断，再利用定义证明.求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论.

意图：让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质.

反思：设问要注意问题的关联性，问题要紧扣知识的本质规律设置，同时要兼顾学生的认知规律.问题间最好有层次与递进关系，解答问题的同时应该起到知识积累的作用.

这种图像用动点研究的思维有没有生命力呢？

举例：解关于x的不等式ax+b≥0.

画出y=ax+b的图像.

提问：①图像变化与点运动有关系吗？看图像的实质是看什么？（看点）

②点由哪些要素组成？（横坐标、纵坐标）

③横、纵坐标都是数，那么能用数来刻画图像的变化吗？（能）

④点的坐标体现的是几维的思想？（二维）

⑤能把二维降为一维来研究吗？（能）

⑥解关于x的不等式，看图像时是看什么坐标？（不等式大于或小于0，实质是先看y的大小，然后把图像上满足y的变化的点往x轴方向做正投影，即可得到满足不等式的x的值，从而可解出不等式）

上面解不等式的思路可推广到更一般的（不等式对应函数的图像可画出）不等式.

以上，笔者仅从教材，学情，教法，学法，教学程序上以问题为导向，说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”.

1.中华人民共和国教育部.国家基础教育课程改革纲要（试行）［N］.中国教育报，2001（7）.