基于切换系统下的DC型养老金的资产配置问题

刘誉洁

[摘 要]近年来，由于企业养老金本身发挥的作用越来越大，金融市场的不断动荡以及人口老龄化的加剧，对养老金的资产配置的研究越来越深入。文章将给付损失最小化作为目标函数，研究在养老金积累与支付的统一框架下，缴费与工资有关的养老金的资产配置问题，将资产置于与收益率有关的切换系统的投资组合中，利用随机最优控制理论，建立HJB方程，求解得出资产配置的最优比例以及给付水平的显式解。

[关键词]切换系统；DC型养老金；资产配置

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.28.055

1 引 言

随着经济的快速发展以及人们对未来生活水平要求的提高，养老金作为人们未来生活的保障在我国社会保障体系中发挥着举足轻重的影响。人口老龄化的加剧以及不断动荡的金融市场也对养老金的资产配置问题提出了更高的要求。目前，企业养老金主要分为两种类型，一种是给付确定型（DB型）养老金，另一种是缴费确定型（DC型）养老金。给付确定型养老金由企业采取统一账户的方式对养老金投资进行统一的管理，养老金领取者退休后给付额是事先确定的，只需根据投资收益来调整缴费额，投资的风险由企业承担。缴费确定型养老金采用个人账户的方式对养老金进行投资，养老金领取者的缴费额是事先确定的，未来的给付额则随着投资收益的变化而变化，投资风险由个人承担。由于各种不确定性因素使给付确定型养老金承担的风险越来越大，缴费确定型的养老金因成功地将养老金的投资风险转移给投保人而被广泛应用。目前，我国养老金主要采用DC型养老金的形式，经研究发现，在风险投资组合中，资产配置决定了投资的大部分的收益，因此DC 型养老金的资产配置问题成为了研究的热点。

Merton（1971）[1]最早提出了运用随机控制的方法来研究养老金最优资产配置问题，并将其用于投资消费决策中，给研究DC型养老金的资产配置提供了一种新的思路，之后随机最优控制理论在养老金的资产配置中的应用越来越广泛，如：Jianwu Xiao等（2007）[2]在风险资产价格服从CEV模型的假设下，运用随机最优控制方法建立HJB方程并求得养老金最优投资策略的解。虽然CEV模型较之几何布朗运动来说，对风险资产的不确定性做了更好的解释，但这个模型很难求解并且波动率随着风险资产价格的升高而减小的情况与现实不符。王力平、张元萍（2014）[3]假定死亡率服从指数分布，风险资产收益服从扩散过程，将养老金的积累过程与发放过程置于统一框架中，运用随机最优控制方法建立并求解HJB方程，得到统一框架下考虑死亡率的DC型养老金的最优资产配置比例，结果显示养老金积累阶段风险资产的投资比例比养老金支付阶段的比例低，但死亡强度的逐渐减小，使支付阶段的风险资产投资比例的变化过程变得相对缓慢。张初兵、荣喜民、常浩（2013）[4]假定风险资产服从CEV模型，将工资看作一个随机变化的过程，基于对数效用函数，研究有随机工资过程的DC型养老金的最优投资问题。Ball&Torous（1983）[5]证实了金融市场中风险资产的价格会因突发性事件的影响而呈现跳跃现象。赵培标、李远帅（2014）[6]则考虑风险资产的价格服从跳—扩散过程，将最大化期末财富的效用作为目标函数，运用随机最优控制方法建立基于对数效用函数的HJB方程，求解得出最优资产配置比例，并进一步研究工资服从跳—扩散过程，目标函数为均值—方差模型的DC型养老金的最优资产配置问题。

叶燕程、高随祥（2007）[7]将给付损失最小化作为目标函数，研究在固定缴费和随机缴费两种情形下，DC型养老金的最优投资策略和给付水平并运用蒙特卡洛方法对固定缴费的DC型养老金进行仿真模拟，得到最优投资比例随时间的推移而增大，而最优给付水平则出现相反的变化过程。Gerrad（2006）[8]将最小化财富水平的损失作为目标函数，得出了DC型养老金在有限时间和无限时间的情况下的最优投资问题的解。Paolo Battocchio等（2004）[9]用最大化财富效用作为目标函数，效用函数选取指数效用函数，得出考虑随机利率过程、随机通货膨胀过程的最优资产配置比例。Cairns等（2006）[10]基于幂效用函数的条件下，得出考虑随机工资过程的最优资产配置比例。将期末财富最大化作为目标函数，很难在现实中有很好的应用，由于效用函数的形式有多种，而效用函数的选择又没有统一的标准，因此效用函数的选择在实际的操作中面临很大的困难。鉴于效用函数的局限性，文章假定一个理想化的预期支付水平，将实际支付水平与预期支付水平差的平方的最小值作为目标函数。

然而，前人研究的DC型养老金的资产配置问题，未考虑到预期收益率对DC型养老金的最优投资比例的影响。当出现风险资产的预期收益率低于无风险资产的预期收益率的情形时，投资于风险资产的收益率不仅低而且还需承担风险，此时DC型养老金的最优投资比例有待研究。文章在预期收益率影响下的，将原本投资于风险资产的部分资产在风险资产和无风险资产之间进行切换，研究切换模型下的DC型养老金的最优投资比例。文章将实际支付水平与预期支付水平之间的差额平方的最小值作为目标函数，通过建立HJB方程并求解得到最优投资比例和给付水平的解。并对养老金的积累阶段与支付阶段分别进行讨论，得出退休前与退休后（即养老金积累阶段与发放阶段）的最优投资比例和给付水平。

2 模型建立

2.1 金融市场

在金融市场中，由两基金分离定理，市场由风险资产和无风险资产两部分组成。文章仅考虑将养老金投资于一个风险资产和一个无风险资产。无风险资产的动态价格变化过程服从下面的微分方程：

风险资产的动态价格變化过程服从下面的微分方程：

其中，r是无风险利率，r0是投资于风险资产的预期收益率，S0（t）是无风险资产在t时刻的价格，S1（t）是风险资产在t时刻的价格，μt是风险资产动态价格变化过程的漂移系数，σt是风险资产动态价格变化过程的扩散系数，Wt是标准布朗运动。endprint

假定养老金投资于风险资产的比例为πt，投资于无风险资产的比例为（1-πt）。由于市场因素的影响风险资产有很大的波动，很有可能出现风险资产的预期收益率低于无风险的预期收益率的情况，此时养老金持有者不会将养老金投资于风险资产，基于这种情况，文章将切换模型置于DC型养老金的资产配置问题中。投资价值的动态变化过程为：

2.2 养老金市场

已知缴费确定型养老金每期的缴费额或缴费率是确定的，文章假定缴费确定型养老金每期的缴费率是确定的，缴费率是一个常数k（k>0），缴费人在t时刻的工资水平为L（t），缴费人在t=0时刻开始缴费，退休时间为T。

缴费确定型养老金每期的支付额P（t）是不确定的，取决于养老金的投资收益。

2.3 養老金的财富过程

设养老金的财富水平为Rt，并且根据收益判断养老金投资于风险资产和无风险资产的比例。在养老金的财富过程中考虑养老金的积累或支付过程，可以得到养老金财富满足如下的微分方程：

2.4 目标函数

已知缴费确定型养老金的资产配置问题一般围绕最小化投资风险和最大化期末财富这两个最优化问题进行研究。文章给定了一个预期支付水平P1，定义了二次损失函数，将最小的实际支付水平与预期支付水平之间的差额平方作为目标。将目标函数写作：

3 最优化问题求解

综合目标函数以及养老金的财富过程，建立下面的最优化问题：

4 数值分析

4.1 养老金积累阶段

当0

4.2 养老金支付阶段

当t>T时，φt=0，即为退休后的养老金支付阶段，此时πt=-（μt-r）Rt+P13rRtχσ2t，P（t）=ρ+2r+（μt-r）2σ2t-P13r-Rt+P1，无须对养老金进行缴费，只需根据投资收益对养老金进行支付。若χ=0，此时投资风险资产的预期收益率低于投资无风险资产的预期收益率，仍将全部养老金投资于无风险资产以获得更大的收益。若χ=1时，πt=-（μt-r）Rt+P13rRtσ2t，当Rt<-P13r时，投资于风险资产的比例πt随风险资产波动率σt增大而降低，随风险资产风险溢价（μt-r）增大而提高，随预期支付额P1的增大而提高。最优支付额P（t），随风险资产波动率σt增大而减小，随风险资产风险溢价（μt-r）增大而增大，随预期支付额的增大而增大。

5 总 结

文章将给付损失最小化作为目标函数，研究在养老金积累与支付的统一框架下，缴费与工资有关的养老金的资产配置问题，将资产置于与收益率有关的切换模型的投资组合中，利用随机最优控制理论，建立HJB方程，求解得出资产配置的最优比例以及给付水平的显式解。结论显示，基于切换模型下的DC型养老金的资产配置，相较于其他模型在投资收益方面有更明显的优势且承担更小的风险。本文还将养老金的积累阶段与支付阶段分开讨论，研究缴费与工资有关的情况下，投资于风险资产的比例与工资之间的关系，可以看出，积累阶段的风险资产的投资比例随工资的增大而增大。支付阶段有预期支付额的情况下，投资于风险资产的比例与预期支付额之间的关系，可以得到，支付阶段的风险资产的投资比例随预期支付额的增大而增大。在今后的研究中，可以考虑工资水平含跳跃项的情况下，对DC型养老金的投资比例的影响，且本文的研究没有考虑通货膨胀这个因素，而通货膨胀的影响是不可避免的。

参考文献：

[1] Merton RC.Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous time model [J].Journal of Economic Theory，1971，3（12）： 373-413.

[2] Jianwu Xiao，Zhai Hong，Chenglin Qin.The Constant Elasticity of Variance（CEV）Model and the Legendre Transform Dual Solution for Annuity Contracts [J].Insurance： Mathematics and Economics，2007，40（2）： 302-310.

[3] 王力平，张元萍.考虑死亡率的DC型养老金资产配置研究的统一框架[J].保险研究，2014（4）： 121-127.

[4] 张初兵，荣喜民，常浩.CEV模型下有随机工资DC型养老金的最优投资[J].工程数学学报，2013（1）： 1-9.

[5] Clifford A.Ball，Walter N.Torous.A Simplified Jump Process for Common Stock Returns [J].Journal of Financial and Quantitative Analysis，1983，18（1）： 53-65.

[6] 李远帅.基于跳—扩散模型的DC型企业年金最优投资研究[D].南京：南京理工大学，2014.

[7] 叶燕程，高随祥.缴费确定型企业年金最优投资策略研究[J].中国科学院研究生院学报，2007（2）： 149-153.

[8] Gerrad R，Haberman S，Vigna E.The Management of Decumulation Risks in a Efined Contribution Pension Plan.North American Actuarial Journal.2006，10（1）： 84-110.

[9] Paolo Battocchio，Francesco Menoncin.Optimal Pension Management in a Stochastic Framework [J].Insurance： Mathematics and Economic，2004，34（1）： 79-95.

[10] Andrew J.G.Cairns，David Black，Kevin Dowd.Stochastic Lifestyling： Optimal Dynamic Asset Allocation for Defined-contribution Pension Plans [J].Journal of Economic Dynamic and Control，2006，30（5）： 843-877.