善于追问 一气呵成

黄相红

已知直线l：y=k（x-1），椭圆C：■+y2=1

判断直线l和椭圆C的位置关系.

（2） 若k=■，直线l和椭圆C相交于M，N求|MN|的值.

（3）设M N的中点P，是否存在k，使得OP⊥MN？

（4） 设MN的中点P，当k变化时候，请求出P点的轨迹方程.

题（1）分析

师：今天，老师为大家准备了这个内容，和大家探讨下。（弹出课题），停顿，请看题（1），（弹出几何画板，不过只弹出椭圆，由于直线中有k，暂时不弹出），巡视，谁有结论？

生：相交.

老师追问：你是怎么做的 ？

生：直线过椭圆内一点（1，0）

师赞叹：你太厉害了，做出图形，发现定点。（几何画板上标出直线）

师追问：那常规的其他方法有吗？

生：列方程组，判断解的个数.

师总结：判断直线和椭圆的位置关系，联列方程，消元，得出关于x的一元二次方程，若一元二次方程中△大于0，则直线和椭圆相交，若△等于0，则直线和椭圆相切，若△小于0，则直线和椭圆相离.

师：若△的值有时候大于0，有时候小于0呢？

众生：相交或相离.

师：什么时候可以由图像直接判断直线和椭圆的位置关系？

众生：直线上存在点在椭圆内.

【学情预设】学生会有两种可能解答此题，法一是列方程组，法二是发现直线通过椭圆内一点.最好先用繁琐的联立方程的方法，然后再简单，总结中提醒注意直线中右边=0，椭圆中右边=1，老师要思考上课用短句，指令准确，不可模糊。解答后板书直线和椭圆的位置关系判定的代数法和几何（直观观察交点个数）.

题（2）分析

师：同学们，在三种关系中，大量的问题集中在相交上，我们今天主要研究下相交时候的情形。请看题（2）。（停顿，巡视，发现相当多同学想把两点的坐标具体求出）

师提示：同学们，我们最终要求的是弦长，请先把两点距离公式中4个字母减少为x1，x2 （稍等，等学生写，老师自己直接同步在黑板书写）

师提示：请将x1，x2用求根公式直接代入.（巡视，老师黑板上给出弦长公式|MN|=■×■，）

师总结：请注意弦长公式使用时候先简单推导，写出|MN|=■，然后再给出|MN|=■×■，分清公式中三个字母，k代表直线斜率，a代表消掉y之后的关于x的一元二次方程的二次项系数，△是该一元二次方程中的.

师：请求出该题的弦长. 经过片刻后，老师给出答案：■

【学情预设】学生求点坐标，难解，卡住，此時老师提示用弦长公式，此时老师作好推导准备，若学生已知弦长公式，则直接写出公式，提醒注意是消y的，当然消x也可以，老师给出另外一条|MN|=■×■.并注意区别比较.另外值得注意的是对于学生不会的，老师要将不会的分解，切不可从头讲到底，卡在哪里，老师在卡的地方提示，让学生充分去发挥.待此题学生独自解完后，老师在黑板也留下老师所写的解答过程，学生把自己所写的和老师所写的进行比较，掌握正确的解答格式.

题（2）引申：

师：能否求AM的长呢？ A是（1，0），M在椭圆上方.巡视，停顿，学生发表.

老师提示：A是焦点。过焦点的直线有定义可利用.（巡视， 然后老师补充上图形，学生思绪有了，写完，校对，总结）

【学情预设】很多学生，想求出点M的坐标，但是发现数字繁琐，若学生用焦半径公式，老师说，焦半径公式是课外的，我们能否用书上现有的去解呢？求长度归纳到三角形中，或者求出两点坐标，学生在提示下用余弦定理完成长度的求法.此问加入是为了完善学生的知识结构，既要掌握弦长又要初步掌握特殊的半弦长——焦半径的求法.也是想把高中里求长度最重要的公式正余弦联系起来，培养学生的创新思维.

题（3）分析

师：同学们请回想下直线和圆相交时候，如何求弦长？

学生答：由弦心距，半径，半弦构造直角三角形；

老师提问：那么此处能否也像该方法去求呢？

学生运算后回答，不行，因为弦中点和原点相连的线没有和弦垂直.

老师追问，k不取根号3，取有些其他位置，是否存在垂直呢？

弹出问题3.巡视.

生：我发现有两个位置可以，分别是x=1，和y=0

其他学生： y=0时候O，P重合，没有构成线段，所以舍去.

师：非常好，在求解存在性问题，要注意验证.那么x=1是否也符合题意？

生：不行，因为此时k不存在.而题意要求是k存在.

师：太棒了，我们同学在解题时要注意你设的直线中有k，那就意味该直线不会和x轴垂直.

师：此题我们判断了两个特殊位置时候， OP和MN是不垂直的，那是否在其他位置有可能存在垂直？（巡视，适当时候提醒，将垂直问题转化为斜率相乘为-1）

生：他们不可能垂直，因为斜率之积为-■，椭圆中a，b不相等，所以斜率之积不是-1.

师：很好，圆中我们理解为-1，是因为椭圆变形成长轴，短轴相等，所以得出-1，看来呀，圆中的求弦长的由弦心距，半径，半弦构造直角三角形的求法在椭圆中的求法不可行.

师：能否用平面几何知识直接求解呢？

师：若存在k，使得OP⊥MN？P是MN的中点，则OM=ON，则M，N在以原点为圆心的圆上，作出圆和椭圆的图像，发现四个交点构成正方形.

【学情预设】先让学生思考，有学生用韦达，有学生用了OM=ON，得到圆，但是不可能。只有一种平放着，不行；竖直的，斜率不存在也，不行.总结：圆中相乘是-1，椭圆中不是-1，所以不垂直，让学生用代数手段解决垂直问题.经过推导，你发现什么定值问题吗？经过一番追问，上课的探究味道就出来了，学生的积极性得到很大的提高，此时老师做的几何画板派上用场，通过多媒体动态演示，发现定值为-■：一般情况-■，

题（3）引申： 师：请思考，这个定值问题能推广吗？即弦任意做，原先的弦是过定点（0，1），现在不过（0，1）.则Kmm×Kop=-■吗？（巡视，发现有学生设直线方程为点斜式，字母多）

师：请设直线为斜截式y=kx+b，（学生做，老师板书，写完校对）

【学情预设】任意做弦，然后取弦的中点，则弦和原点连线的斜率于弦的斜率相乘仍旧为定值。老师多媒体展示，得出定值，解完题目后，提醒学生，请同学们以后多一些思考，还有更多优美的结论。值得注意的是本课堂没有叫学生上黑板板演，而是学生在下面做，老师在黑板上写（或者学生写完，老师给出投影校对），写完做比较.解答题3时候有个步骤是直线和椭圆联列方程，然后消掉y，剩余的式子：（■+k2）x2-2k2+k2-1=0，这块内容要一直保留在黑板上.

题（4）分析：

师：接在题3后， 设MN的中点P，当k变化时候，请求出P点的轨迹方程.（巡视，提示将P的坐标都用k表示，然后消k.）

生：老师，我已经写出xp=■，接下来呢？

师：P点在直线MN上，所以yp=■，接下来请把k消除掉，得出xp，yp的等式.

生：k=■，代入yp=k（xp-1），得轨迹方程：2x2-2x-y2=0

【学情预设】轨迹方程的求法是学生的薄弱，此处除了上述解法外，还有种方法是设而不求法.或者利用题3的结论Kmm×Kop=-■，将Kmm=-■，代入kop=■.解答完后进行几何画板演示发现是一个椭圆内部的新椭圆.

最后总结：通性通法是联立方程，判别位置时候△，中点，弦长用到韦达定理。课后成绩好的补充两道题：

（5） 若k=■，求△FMN的面积.

（6）在x轴上是否存在点T，使得∠MTA=∠NTA始终成立.

因此一堂课是否成功激发了学生的求知欲，关键在于老师的追问，而追问的前提是巧妙设计，追问到底，一气呵成！让学生享受一堂课！endprint