圆与等腰三角形存在性问题综合一例——浅谈确定性思想及因果关系分析法

段广猛

（江苏省高邮市赞化学校）

圆与等腰三角形存在性问题综合一例
——浅谈确定性思想及因果关系分析法

段广猛

（江苏省高邮市赞化学校）

笔者结合沈岳夫老师“点动图变思构图 分类探求寻突破——对一道九年级期末复习题的思路突破与感悟”一文中的例题重点阐释确定性思想及因果关系分析法在解题、审题中的重要作用，采取抓不变角的解题策略解决与等腰三角形有关的存在性问题，借助三线合一进行比例口算．

解题教学；确定性思想；因果关系分析法；抓不变量

一、确定性思想及因果关系分析法简介

首先谈一谈笔者所理解的确定性思想及因果分析法这两大审题法宝．

确定性思想，即一个问题如果是确定性的，譬如一个角的大小是确定的，再比如一条线段的长度是确定的，那么就注定是可解、可求的．学生审题要时常问自己以下几个问题：这个问题中哪些元素是确定的？这些确定性的元素是如何确定下来的？又如何把这些确定性元素求出来呢？

因果分析法是一种重要的思考问题的方式与方法，由因导果、执果索因是分析问题、解决问题的重要途径．如果某个量是确定的，就要找到确定这个元素的所有条件，再由这些条件进行求解即可．一个问题是怎么确定下来的，就可以怎么进行求解．

上述两个概念结合可称为基于确定性思想的因果关系分析法，它是我们解题、审题的一种重要思考方式及策略．这也正符合伟大的数学家华罗庚先生谈到解题时所说的，退到最原始的地方去，是解决问题的一个诀窍．如何退？就是由因导果、执果索因.

下面笔者将结合沈岳夫老师发表于《中国数学教育》（初中版）2016年第12期《点动图变思构图 分类探求寻突破——对一道九年级期末复习题的思路突破与感悟》一文中的例题浅谈这两种思想方法的运用．

二、问题提出

题目如图1，在平面直角坐标系中，点M在x轴的正半轴上，☉M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为的中点，连接CE，AE，CB，EB，AE与y轴交于点F，已知A(-2，0)，C(0，4)．

（1）求证：AF=CF；

（2）求☉M的半径及EB的长；

（3）如图2，P为x轴下方半圆弧上的一个动点，连接PE交CB于点R，当△CRE为等腰三角形时，直接写出EP的长．

图1

图2

三、解法探究

1．重视审题过程，巧识基本图形

审题时，脑海中要始终萦绕确定性思想，时常思考，在这个问题中，有哪些元素是确定性的？这是思考问题的第一步，即审题，具体操作如下.

图1中，由题意知A，C两点是确定的，由☉M的对称性知，点D也是确定的，从而由不共线的三个点可以确定一个圆，得到☉M是一个确定的圆．因而︵点B的坐标及☉M的半径也是确定的．由条件“C为AE的中点”及A，C两点是确定的，得点E也是确定的，从而BE的长也是确定的．当然图中还有很多确定的角元素等，这些确定性的元素也是可求的.如何去求呢？必然也是由于A，C两点及☉M的对称性这个最初始的原因去求解计算．这就是笔者要表达的基于确定性思想的因果关系分析法．

对于第（1）小题，如图3所示，要证明AF=CF，可连接AC，只要证明∠ACF=∠CAF即可，而这两个角都是确定的角，它们所对的弧分别为这两条弧也是确定的，易知它们都等于（前者是因为“垂径定理”；而后者是因为条件“C为的中点”），从而结论成立．

图3

上面解法是通过“弧等—角等—线等”的方式进行的，借助了圆中弧的概念，是一种常见的思考圆的问题的方法．也可以不借助于弧，而是通过角的转化来完成．

如图4，识别到基本图形“射影型”（由Rt△CAB及斜边上的高CO组成），易知∠ACF=∠ABC.又由C为的中点，知从而有∠CAF=∠ABC，因而∠ACF=∠CAF，结论成立．

图4

在第（1）小题中，笔者重点阐释了如何用确定性思想及因果关系分析法来分析问题、解决问题，看似简单，但确实是我们应该重点关注的解题思维方法，尤其是在稍微复杂些的题目中，要经常问自己几个问题：哪些东西是确定的？这些确定的东西是怎么确定下来的？究竟由哪些“因”而导致的“果”？那就可以拿这些“因”去求这个“果”了嘛.

对于第（2）小题，沈老师主要借助于勾股定理进行计算，如图5所示.下面主要谈谈笔者对这个问题的一些认知.

图5

由之前的分析知道，☉M的半径及BE的长都是确定的，而且是由条件“C为的中点”及A，C两点坐标来确定的．

首先是求☉M的半径.对于计算边长问题，笔者常跟学生讲，方法就是勾股定理、三角形相似、面积法，此问也可以由射影定理易知CO2=OA·OB，可得OB=8.从而直径AB=10，半径为5．对于此类问题，这个射影型基本图形的识别与构造也是极其重要的．

上述解法中体现出来的基本图形的识别与构造，应该是教师平时教学及解题中要重点传授给学生的知识与方法，沈老师采用勾股定理法，笔者采用了相似法，两种方法相得益彰，是计算边长的两种重要方法．

其次是对于EB的求法.沈老师构造△AOC≌△CGA，利用全等三角形计算AG的长，进而求出了EB的长，方法巧妙，而且利用了第（1）小题的暗示，但有可能这个全等三角形学生未必都能发现．相比而言，学生还是较容易发现一对斜“A字型”相似，即△AOF∽△AEB，然后将问题转化为解Rt△AOF.这样能很好地利用第（1）小题及☉M的半径，体现问题设置的环环相扣．另外，如果借助基于确定性思想的因果关系来分析此题，结合比例法，口算则更有趣，即在Rt△ABE中，AB=10，要求EB，只要求 ∠EAB（或者其三角函数值）即可，而这个角（即为∠OAF）显然也是确定的，既然是确定的，就是可解的．具体分析如下.

由第（1）小题，可设AF=CF=x，则OF=4-x.在Rt△AOF中，由勾股定理，得4+(4-x)2=x2.解得故OF∶OA∶AF=3∶4∶5，易知EB∶EA∶AB=3∶4∶5.因而

上述求EB的长度，主要借助确定性思想，结合比例法口算，这个分析过程学生容易上手，且牢牢抓住一些因果关系，更加符合学生的认知生成，便于掌握．此外，还可以做如下分析.

设图3中的BC与AE的交点为点Q.由AF=CF，知∠CAF=∠ACF是确定的角，由Rt△ACO知其所在的直角三角形三边之比为从而在Rt△ACQ中则从而又知∠EBQ=∠CAQ，从而Rt△EBQ的三边之比也为

这个求EB的方法从头至尾只需牢牢抓住∠ACF及与其相等的角所在的直角三角形三边之比，借助于比例法，由AC算出CQ，再算出BQ及EB，几乎口算即可完成，可以看出这种基于确定性思想的因果关系分析法的重要性及简洁性．

另外，求EB的长，还可以直接在Rt△ABE中解决.在Rt△ABE中，AB=10是确定的，∠ABE=2∠ABC也是确定，而且出现了倍半角，可借助于一些倍半角模型，由∠ABC的三角函数值求出∠ABE的三角函数值，进而用比例法口算出EB的长．注意到据此下面提供三种构造倍半角的方法去求图5中∠ABE的三角函数值．

方法1：如图6，构造出一个含α角的Rt△ABC.设作斜边AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，构造出等腰三角形ABD，则∠B=∠DAB=α，∠ADC=2α.从而构造出2α角，而且此2α角恰好在Rt△ACD中.设CD=x，则AD=BD=2-x.在Rt△ACD中，由勾股定理得x2+12=(2-x)2.解得可求出故图5中的从而EB∶EA∶AB=3∶4∶5.故EB=

图6

图7

方法2：在图6中的Rt△ABC基础上，利用轴对称，构造出如图7所示的等腰三角形ABD，利用面积法可求出从而在 Rt△BDE中有故图5中的从而EB∶EA∶AB=3∶4∶5.故

方法3：构造如图8所示的图形，使 ∠ABC=∠ABE=α，则∠BEF=∠EBC=2α.由题意可设DE=1，DA=AC=2，则CB=4，EF=3，BF=4.从而在Rt△BEF中故图5中的从 而EB∶EA∶AB=3∶4∶5.故

图8

上面这三种由半角到倍角的构造方式值得学生关注，它们在中考综合计算题中有时会起到意想不到的妙用．

2．以不变应万变，巧用比例口算

对于第（3）小题，解题前，思考：在这个问题中，哪些元素是确定性的？哪些元素是变化着的？这些变化的元素之间又具备怎样的因果关系？在变化中又有哪些不变的量？是的，笔者会紧扣确定性思想及因果分析法，再结合以不变应万变的解题策略进行，具体操作如下.

第一步，思考：哪些量在变？谁随着谁的变化而变化？很明显点P，R在动，且点R随着点P的运动而运动，也会随着点P的确定而确定，这就导致了△CRE也在变化，不妨称点P是主动点，点R是从动点，△CRE是从动三角形，此题问的是“当点P运动到什么位置时，△CRE为等腰三角形”，也可以说成是“当△CRE为等腰三角形时，点P运动到什么位置，即EP为多长”．

第二步，知道了题目提问的目标△CRE在变化后，继续追问“在这个三角形变化的过程中，有哪些不变的量？”不管怎么变化，△CRE三个顶点中C，E两点始终不变，导致始终有一条边CE保持不变，另外有一个内角∠ECR始终保持不变，这就是解题的关键所在，抓住这个不变的角，利用这个角所在的直角三角形三边最简整数比，则可以使问题的解决事半功倍．

第三步，抓住上面的两个不变量，即不变的边CE及不变的∠ECR画图分析，假设点R从点C到点B连续运动，去寻找符合△CRE为等腰三角形的点R，也可以借助尺规作图，利用经典的两圆一线法寻找到点R的精确位置，找到后再想办法求解，模型如图13所示，找到符合条件的三个点R1，R2，R3．

图9

第四步，利用上面找到的三个点R1，R2，R3，分三种情况，依次求解，在求解中仅仅抓住∠ECR为不变角（从而其所在直角三角形的三边之最简整数比也是确定的）及CE的长也是确定的．

由∠ECR=∠EAB，且Rt△EAB的三边EB∶EA∶AB=3∶4∶5，知∠ECR所在的直角三角形三边之比也一定恒为3∶4∶5．这个方法本质上就是相似，但笔者之所以称之为比例法，是因为在学生解题过程中，无论是计算（包括口算），还是分析思路和方法，都能起到意想不到的效果，当然书写上不太规范，仍应该按相似写法或者三角函数来书写，这就是笔者跟学生经常讲的，“相似—三角—比例”本就是一家.具体操作如下.

情形1：如图10，当RC=RE时，即当∠REC=∠RCE时，过点R作RH⊥CE于点H，

图10

在Rt△RHC中，易知

由上面分析得到EB∶EA∶AB=3∶4∶5.

再利用圆中相交弦定理，知PR·ER=BR·CR.

情形1中的解法，看上去比沈老师的方法烦琐了一些，但是此种解法与接下来的两种情形中的方法具有一致性，而且更具有一般性，与笔者阐释的确定性思想、因果分析法，及以不变应万变联系更加紧密，可称之为等腰三角形存在性问题的几何通性解法．

情形2：如图11，当RC=EC时，即当∠REC=∠ERC时，作RH⊥CE于点H，

图11

则在Rt△RHC中，易知

同理，由EB∶EA∶AB=3∶4∶5，

在Rt△RHE中，由勾股定理得

情形2中依然是紧紧地抓住了∠ECR这个不变的角及不变的边CE来完成，通过作等腰三角形CRE的腰CE上的高RH构造了Rt△CRH，借助比例法几乎口算完成，当然稍遗憾地是，最后还是涉及到了用相交弦定理求PR的长，方法与情形1一样．在这里，如果还是通过构造等腰三角形三线合一的辅助线来解的话，如图12所示，作CH⊥RE于点H，这个不变的∠ECR就被破坏了，但此处惊现倍半角关系，可借助确定性思想结合倍半角模型求解，具体分析如下.

图12

图13

如图12，作CH⊥RE于点H.因为也是一个确定的角，所以其所在的直角三角形三边整数比也是唯一确定的.易知构造如图13所示的倍半角模型，易知图12中的tan∠ECH等于图13中的所以在Rt△EHC中，有用比例法口算出由等腰三角形的三线合一知ER=下略（同情形2即可）．

对比上面的常规解法及倍半角模型解法，两者各有裨益，前者紧紧抓住不变的∠ECR，通过构造直角三角形，利用比例法口算，而且尽量不要破坏这个不变的角.后者尽管破坏了这个不变的角，但可以通过倍、半角模型来弥补，而且是等腰三角形中最重要的辅助线，与其他情形的解法至少在辅助线的添加上完全统一了，稍遗憾的是可能有部分教师比较排斥倍半角模型，学生需要课外用心琢磨好这个模型，才能熟练使用此种方法．

情形3：如图14，当EC=ER时，即当∠ECR=∠ERC时，过点E作EH⊥CR于点H，方法与沈老师方法如出一辙，下略．

图14

综上所述，当△CRE为等腰三角形时，EP的长为

四、归纳反思

沈老师做法对基本图形的识别与构造要求较高，而笔者的解法中只要始终抓住不变的角与不变的边，借助三线合一等构造直角三角形，巧妙利用比例法即可.因为最后求的是EP的长，所以都用到了相交弦定理来计算PR的值．

教师解题教学时、学生在审题解题时，应该做到三问：一问在这个问题中有哪些已知条件，哪些是不变量（即确定性条件），又有哪些是变化的量（即不确定的条件），由这些条件可以得到什么，这个过程即为由因导果；二问题目中要求的是什么结论，怎么得到这个结论，它跟已知条件有没有什么联系，这个过程即为执果索因；三问以前做过哪些类似的题目或相关结论，自己脑海中储备着哪些相关的基本题型、公式、法则等，即为基本图形的识别与构造．另外，要注意一个确定性的元素是如何确定下来，就怎么求解，执果索因，由因导果，因果循环，妙趣横生．

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012．

［2］沈岳夫.点动图变思构图分类探求寻突破：对一道九年级期末复习题的思路突破与感悟［J］.中国数学教育（初中版），2016（12）：54-57，64．

2017—07—06

段广猛（1989—），男，新聘教师，理学硕士，主要从事教育教学及中学数学解题研究.