先练后教 分层达标——例谈中考压轴题的复习策略

黄昌军

（湖北省宜昌市第二十九中学）

先练后教 分层达标
——例谈中考压轴题的复习策略

黄昌军

（湖北省宜昌市第二十九中学）

在中考压轴题的复习中，根据中考压轴题分步设问、起点低、坡度缓、尾巴翘的特点，坚持“先练后教”，让学生在交流中体会解决问题的方法的多样性，克服畏难情绪，提高解决中考压轴题的信心；同时坚持分层要求，分层达标，既保证全体学生学有所获，又让优等生的能力得到提升，从而让中考压轴题的复习教学更有效.

压轴题；先练后教；分层达标

近年来，各地的中考压轴题往往以函数与几何的综合为载体来考查学生综合运用函数与几何知识的能力，需要学生从已知条件和函数图象中获取相关信息，结合几何图形之间的位置关系，以形析数，以数释形，根据数与形的相互转化建立方程或不等式来解决问题.由于函数与几何综合题考查的知识覆盖面广，涉及的数学思想较多，学生在有限的时间内，完成解答的难度很大，基础较差的学生因为能力不够，对此望而生畏，基础较好的学生因为信心不足，往往半途而废.教师方面，由于受到面向全体学生的思想的影响，认为花太多的时间进行专门的函数与几何综合题的复习教学，对大多数学生而言效果较差，在中考前的紧张时刻，往往草草收兵，有些教师甚至不敢计划函数与几何综合题的专题复习，全凭个别辅导.但仔细分析历年中考压轴题，即可发现：这类问题具有分步设问、起点低、坡度缓、尾巴翘的特点，只要对不同的学生分层要求，耐心引导，各层次学生在中考压轴题上都可以达到相应的目标.多年来，我们认真分析历年中考压轴题，对其考查的数学思想、基本图形等进行归类，每天完成一道题，训练中坚持“先练后教，分层达标”的方法来提高函数与几何综合题的复习教学的有效性.下面以湖北省宜昌市2015年4月调考中的压轴题为例，通过教学中的一些片断来介绍“先练后教，分层达标”的教学方法.

题目已知抛物线的表达式为y=ax2+(1-a)x+1-2a（a为常数，且a≠0），无论a为何值，上述抛物线始终经过x轴上的一定点A与第一象限内的另一定点B.

（1）如图1，当抛物线与x轴只有一个公共点时，求a的值；

（2）写出A，B两点的坐标：

A（___，0），B（____，____）；

（3）如图2，当a＜0时，若上述抛物线顶点是D，与x轴的另一个交点为C，且A，B，C，D中没有两个点相互重合.

①△ABC能否是直角三角形，为什么？

②若使得△ABD是直角三角形，试求出a的值.

图1

图2

一、学生独立解答，基础问题全员达标

出示问题后，教师并不急于征集答案或是讲解，而是给学生留足思考的时间.一般情况下，函数与几何综合题的第一小题起点较低，是大多数学生能独立解决的，只是学生的基础和态度不同，解决问题的时间长短有别.在这个阶段，我们不主张让学生讨论，而是保证学生在相对集中的课堂时间内独立解答，基础好点的学生完成两道小题的时间，基础差点的学生能完成一道小题，都是一种成功.对于第（1）小题，学生可以根据“无论a为何值，抛物线始终经过x轴上的一定点A”和“抛物线与x轴只有一个公共点”的条件，由这种题型平时训练已达模式化，学生入手并不困难.

二、师生交流，中等生从中受益

当学生独立思考却不能解决问题时，学生可以询问教师.由于不同的学生解决问题的出发点可能不一样，学生中经常有一些新鲜或不成熟的想法，可能是教师课前没有预设到的，此时需要教师耐心地倾听和评判，对正确的思路给予鼓励，不正确的想法及时矫正，重在指导方法，不必在意学生最后的结论如何，这样有助于拓宽学生的视野.学生在第（2）小题的解答中，方法呈现出了多样化，每一种想法笔者都鼓励学生继续做下去.特选取以下五名学生的解答片断.

生1：由（1）得，当时，抛物线与x轴的唯一公共点就是点A，当时，二次函数解析式为当y=0时，x=－1，从而求出点A的坐标为A(－1，0).

如何求点B的坐标？学生之间产生了不同意见.

生2：分别取x=0，1，2，进行尝试，发现：当x=0时，y=1-2a；当x=1时，y=2-2a；当x=2时，y=3，y的值与a无关，所以点B的坐标为B(2，3).

生3：你这是运气好，试到第三个数就把结果碰巧试出来了，还有没有其他点呢？

生4：可不可以这样，既然无论a为何值，抛物线始终经过x轴上的一定点A与第一象限内的另一定点B，那么我们可以任取两个符合条件的a值，得到两条不同的抛物线，A，B就是这两条抛物线的交点.

师：同学们，按照生4的方法试试看.如取a=1和所以点A，B的坐标分别为

师：除了上述两种方法外，还有没有其他方法呢？

生5：根据题意，无论a为何值，抛物线始终经过x轴上的一定点A与第一象限内的另一定点B，也就是说A，B两点的横、纵坐标值不受a的影响，我们可以对抛物线解析式进行如下变形：y=ax2+(1-a)x+1-所以a的系数为0，即x2-x-2=0.解得x1=-1，x2=2.当x1=-1时，y1=0；当x2=2时，y2=3.所以点A，B的坐标分别为

其他学生满是惊喜.在这里，五名学生实际上分别代表着不同的层次，说明每一个层次的学生均有可能在自己的基础上完成相应的解答.通过交流，中等生由原来勉强得到答案到同时了解到多种解法，并比较各种解法的优劣，在比较中能力得到提升.“先做后教”有效约束了教师的教学行为，改变以教师为中心的一言堂的局面.教师的作用就是一位交换不同意见的集中者，不断地激励、鼓舞着学生新的发现.

三、生生交流，激发中上等水平的学生

生生交流就是学生之间的交流，这是师生交流的重要补充，便于不敢与教师交流想法的学生，以及基础差点的学生借此机会有所提高，至少他们可以学会一种解决问题的方法，哪怕是第（1）小题的解答方法.面向全体学生，让每一名学生都有收获是教学的底限.对于第（3）小题第①问，一般只有成绩在中上等水平的学生才能参与解答，本来只想给学生讲授一下，没想到学生在讨论出∠ABC=90°后，产生了多种不同想法，笔者选取以下五名学生的解答.

生6：如图3，过点B作BE⊥Ox于点E，则AE=BE=3,∠BAC=45°.因为a＜0，且点B为抛物线在第一象限内的点，C是抛物线与x轴的交点，所以∠ACB≠ 90°，即∠ABC=90°.

图3

生7：由A(-1，0)，B(2，3)，得直线AB的解析式为y=x+1.根据BC⊥AB，设直线BC的解析式为y=-x+b，代入B(2，3)，求得b=5.所以直线BC的解析式为y=-x+5.因为BC与x轴交点为C(5，0)，将C(5，0)代 入y=ax2+(1-a)x+1-2a中，得

生8:由点A，B求出直线AB的解析式为y=x+1.设C(xC，0)，因为点A的坐标为A(-1，0)，且A，C是y=ax2+(1-a)x+1-2a与x轴的交点，所以-1与xc是一元二次方程ax2+(1-a)x+1-2a=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系，得得所以设直线BC的解析式为y=kx+b，将代入，得由BC⊥AB，得3a×1=-1.所以

生9：求出直线AB的解析式y=x+1.根据BC⊥AB，设直线BC的解析式为y=-x+b，将B(2，3)代入，得b=5.所以直线BC的解析式为y=-x+5.因为点C的坐标为代入BC的解析式，得

生10：因为 ∠BAE=45°，所以当 ∠ABC=90°时，∠ACB=45°.所以AE=EB=EC=3.设C(xC，0)，所以xC-2=3，即xC=5.所以点C的坐标为C(5，0).所以解得

做到这里，学生长吁一口气.没人在意“A，B，C，D中没有两个点相互重合”这一条件的用意，笔者特意提醒“A，B，C，D中没有两个点相互重合”是什么意思？并引导学生思考：当时，抛物线的解析式为其顶点D(2，3)与点B(2，3)重合，不符合题意，因此△ABC不可能是直角三角形.

从课程理论来看，“先练后教”能有效地转变学生依赖模仿的学习方式，学会自主探究与合作交流，教师可以组织学生之间在自己已有知识的基础上进行广泛的合作与交流，让学生在意犹未尽的氛围中学习，让中上等水平的学生在不知不觉中得到了锻炼和提升的机会.教师在课堂上只是给了学生合作交流的机会，充当着维护秩序的管理者，学生越战越勇，给你惊喜.

四、整理与展示，向优等生提出挑战

“先练后教”的中心是学生，为了照顾全体学生，很多时候，我们在教学中不得不采取就低不就高的原则，而且一节课的时间在解决前面的几个问题后也几乎耗尽，这样一来，优等生的思维往往处于停顿或空耗状态，导致优等生在自己已有知识的基础上往往并没有得到提升.为了解决这一问题，此题第（3）小题第②问给优等生提出挑战，让他们讨论整理.笔者选取了两名学生的解答在全班进行展示.

（3）②情况1：如图4，若考虑在△ABD中，∠ABD=90°，延长DB交x轴于点F.

图4

生11：由A(-1，0)，B(2，3)，得直线AB的解析式为y=x+1.根据BD⊥AB，设直线BD的解析式为y=-x+b，将点B(2，3)代入，求得b=5.所以直线BD的解析式为y=-x+5.由抛物线y=ax2+(1-a)x+1-2a的顶点为且点D在直线BF上，得化简，得3a2+4a+1=0.所以a2=-1.因为时，顶点D(2，3)与点B(2，3)重合，不符合题意，所以a=-1.

生12：我求直线BD的解析式的方法与生11不同.因为∠ABD=90°，∠ABD+∠ABF=180°，所以∠ABF=90°.因为 ∠BAE=45°，所以 ∠ABE=45°. 所以 ∠FBE=∠ABE=45°. 又 ∠AEB=∠BEF=90°，BE=BE，得△ABE≌△FBE.所以AE=EF=3，点F的坐标为F(5，0).根据B(2，3)和F(5，0)，得直线BF的解析式为y=-x+5.

情况2：全班有两名学生讨论出一种方法，介绍如下（称之为方法1）.

方法1：若∠ADB=90°，由于y=ax2+(1-a)x+1-2a的顶点为

设直线AD的解析式为y=k1x+b1，

由于a＜0，所以

设直线BD的解析式为y=k2x+b2，

由k1·k2=-1，得

因为a＜0，所以

考虑到这种方法涉及用两直线垂直时直线斜率之积为-1的结论，由数释形，受他们的启发，笔者特意为学生介绍方法2，构造相似三角形的基本图形，由形析数.

方法2：若 ∠ADB=90°，如图5所示，过点D作y轴的垂线DM，过点A作x轴的垂线，交DM于点M，过点B作DM的垂线，交MD的延长线于点N.

图5

因为∠ADB=90°，M，D，N三点在同一直线上，

所以∠MDA+∠BDN=90°.

因为AM⊥MD，

所以∠M=90°，∠MAD+∠MDA=90°.

所以∠BDN=∠MAD.

又∠M=∠N=90°，

所以△MAD∽△NDB.

在函数与几何综合题复习中，要想真正通过课堂教学来培养学生的能力，就要从学生的现实中看到不同学生的智力发展的差异性，同一班级学生对同一问题理解的多种可能性，教师不要为了高效，画一个高效的“圈”，把不同的学生拉入统一的教学模式“圈”中，搞题海战术，讲究一节课完成多少道题，这看似很高效，实际上学生对解题方法是囫囵吞枣，教师的教法是强行灌输，与其这样，不如精选例题，先练后教，分层达标，落实更有效.

［1］薛红霞.课堂教学应该教什么：由两道中考题想到的［J］.中国数学教育（初中版），2007（11）：5-6.

［2］施巍.把握《标准》要求追求教学实效：浅谈中考数学复习［J］.中国数学教育（初中版），2008（3）：21-22.

［3］王亚权.关于课堂小组合作学习评价的实践与思考［J］.中国数学教育（初中版），2008（4）：5-7.

2017—07—13

黄昌军（1972—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究.