两类二阶变系数非齐次方程求解方法

2017-10-12侯致武张璐祝学亮

山东科学 2017年5期

关键词：二阶线性学报

侯致武，张璐，祝学亮

(延安大学西安创新学院理工系，陕西西安 710100)

两类二阶变系数非齐次方程求解方法

侯致武，张璐，祝学亮

(延安大学西安创新学院理工系，陕西西安 710100)

使用常系数化法和不变量法对二阶变系数非齐次线性微分方程的求解问题进行了讨论，分析与比较了两种方法的优缺点，并通过具体的例子说明了方法的可行性。

非齐次；变系数；微分方程；求解方法

Abstract∶The solutions to some kinds of second-order non-homogeneous linear differential equations with variable coefficients were discussed by using constant coefficient method and invariant method. The advantages and disadvantages of the two methods were analyzed and compared, and the feasibility of the two methods was illustrated by a concrete example.

Key words∶non-homogeneous；variable coefficients；differential equation；solutions

二阶变系数线性微分方程在微分方程理论中具有广泛的应用[1-2]。对于二阶非齐次线性微分方程通解的结构认识已经很完美了，但求解二阶变系数非齐次线性微分方程却无一般的方法，在实践中能用初等积分法求解的方程更是相对较少。在有关二阶变系数线性微分方程求解方法研究[3-7]的基础上，本文使用常系数化法和不变量法导出了两类二阶变系数非齐次线性微分方程的求解方法和具体步骤，并举例说明了方法的可行性。

1 预备知识

考虑二阶非齐次线性微分方程：

y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x),

(1)

其中，P(x)、Q(x)和f(x)都是定义域I上的连续函数。

引理[8]若存在可导函数φ(x)满足不变量关系

I=2P′(x)+P2(x)-4Q(x)=2φ′(x)+φ2(x),

(2)

则经变换

(3)

可将方程(1)化为可解的一阶线性微分方程

(4)

其中，w=z′(x)。

注：文中c和c1、c2均为任意常数。

2 求解方法

2.1常系数化法

证明作变换y=φ(x)z，则方程(1)化为

求解步骤：

第3步用比较系数法求出常系数非齐次线性微分方程的解。

z″+z=ex。

(5)

故方程(5)的通解为

从而所给方程的通解为

2.2不变量法

由引理可知，二阶线性微分方程(1)的可行解完全取决于不变量关系式(2)中函数φ(x)的存在，而且此方法将无序寻求P(x)、Q(x)的关系，变成有序的求解方程(2)中的函数φ(x)。

求解步骤：

第1步由P(x)、Q(x)及不变量关系式(3)可以求得函数φ(x)；

第2步方程(1)经变换(3)化为可解的一阶线性微分方程(4)；

第3步由一阶非齐次线性微分方程的通解公式求得z′=w，两端积分求出z，再将其代入(4)式，即可求得方程(1)的通解。

例2 求解方程xlnxy″+(2xln2x-1)y′+5xyln3x=x2(lnx-1)ln2x。

求得其通解并两端积分得

故所给方程的通解为

3 方法的分析与比较

本文对二阶变系数非齐次线性微分方程(1)给出了两种求解方法。显然，常系数化法简单便捷，只需判断I(x)是否为常数。若是，则可很便捷地求出某些方程的通解；不变量法的程序化求解将方程(1)的求解问题转化为一阶非齐次线性微分方程求解问题。常系数化法较不变量法简单易行，但存在局限性；相比较而言，不变量法更具有一般性。

[1]周义仓,靳祯,秦军林.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2003.

[2]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京:高等教育出版社,2005.

[3]李鸿祥.两类二阶变系数线性微分方程的求解[J].高等数学研究,2002,5(2):10-13.

[4]许尔伟,李曼生.变系数二阶齐次线性方程在一定条件下的解[J].甘肃高师学报,2014,19(5):4-5.

[5]李高，李殊璇，常秀芳.二阶变系数线性微分方程可解的研究[J].河北北方学院学报(自然科学版),2013,29(2):1-2.

[6]张玉兰.二阶变系数线性齐次微分方程的通解[J].长沙大学学报,2013,27(2):1-3.

[7]王伟.几类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解[J].新乡学院学报(自然科学版),2013,30(6):408-410.

[8]赵临龙.二阶变系数线性微分方程的不变量解法[J].长沙大学学报,1998 (2):5-8.

The discussion of solutions for two classes of second order non-homogeneous equations with variable coefficients

HOU Zhi-wu, ZHANG Lu, ZHU Xue-liang

(Department of Science and Technology, Xi'an Innovation College of Yan'an University, Xi'an 710100, China)

O175.11