逻辑的数学转向

朱建平

(苏州大学 政治与公共管理学院， 江苏 苏州 215123)

主持人语：

逻辑的数学转向

朱建平

(苏州大学 政治与公共管理学院， 江苏 苏州 215123)

19世纪中期是逻辑发展史上的一个重要时期。在这一时期出现的逻辑的数学转向使这门古典学术脱胎换骨，最终发展成为一门严格的形式化的学科，它的典范是在数学中使用的精确证明的方法。现代所谓的“符号”或“数理”逻辑在这段时间的发展是两千年逻辑史上最重要的，也可以说是人类理智史上最重要和最非凡的事件。

逻辑；数学；逻辑史

Abstract: The mid-19th century is a critical period in the development history of logic. The mathematical turn of logic appeared in this period thoroughly remold this old academic subject, which finally become a strict formal discipline. An example of it is using accurate methods of proof in mathematics. What now we called “symbol” or “ mathematical” logic gained a great development in this period. The development could be the most important and remarkable event in the history of the human intellect development.

Keywords: logic; mathematics; logic history

一、引言

逻辑的一个突出特征是在它的历史的每一转折点上，总有一些旧观念从历史舞台中退出，而一些新思想和技术则登上舞台。所有时代的逻辑思想家都拒绝将他们前辈思想作为无可置疑的真理接受，他们宁可通过自己的思考而为逻辑的发展奠定基础。发生于19世纪以亚里士多德逻辑概念和方法被现代符号逻辑所取代为标志的逻辑的数学转向，就是这样一场深刻的知识革命。每一位开拓者都为这场革命贡献了现在已成为标准形式的非凡思想、关键性概念和新颖的技术组件。莱布尼兹的“普遍语言”和“推理演算”为整个现代逻辑提供了灵感。德摩根、布尔、施罗德开辟了逻辑转向的代数方向，并为新逻辑的诞生铺平了道路；弗雷格、皮尔斯、皮亚诺开辟了逻辑转向的演算方向。现代逻辑的标准形式——命题和一阶谓词逻辑在他们那里形成。但是，他们的思想被整合为融语义学与句法学于一体、强调它们之间互动关系的框架——一个在其中元逻辑问题能够被提出和回答的框架——却花费了接近一个世纪的时间。如果我们从布尔1847年《逻辑的数学分析》的出版到海丁1947年博士论文的发表——该论文通过引入常数方法，进而将哥德尔的完全性定理扩展到被任意基数语言所阐述的理论——这恰好是一百年的时间。至此，现代逻辑的理论体系最终完成，逻辑也实现了向数学的转向。

二、旧逻辑的衰亡和现代逻辑的兴起

亚里士多德的逻辑是一个巨大的成就。亚里士多德的《前分析篇》是两千年来逻辑研究的基础。三段论是第一个成功的推理演算系统，也是亚里士多德最完善的逻辑。《前分析篇》的完美证明几乎就是三段论逻辑完全性(在现代意义上的)的完美演示。他是模态逻辑的创立者，他甚至对命题逻辑的研究也有贡献。特别值得关注的是，亚里士多德的逻辑不仅是公理化的，甚至还包括了一个简单的自然演绎系统。三段论逻辑在古代末期就确立起权威地位，并一直持续到中世纪、文艺复兴和近代。即便是在现代逻辑高度发达的今天，许多西方逻辑教科书仍为传统逻辑留有一席之地。

与此同时，历史上对亚里士多德逻辑——尤其是对他的三段论理论的批评一直没有停止。麦加拉-斯多葛的命题逻辑、中世纪逻辑学家的指代、预设理论用一种不同于三段论的方式表达了对亚里士多德逻辑的异议；文艺复兴思想家们对三段论的权威性提出挑战，笛卡尔、波尔·罗亚尔、洛克、莱布尼兹、康德和黑格尔都从各自的哲学立场出发对亚里士多德逻辑的时代合法性提出质疑。但在现代逻辑的曙光出现以前，亚里士多德的逻辑尽管经历了西方世界理智观的深刻变迁和严酷的批判性考察，仍为人们提供着一个可以用不同的洞察力重新解释或补充，却没有人能够超越或替代的复杂的系统框架。

所有这一切在19世纪都结束了。伴随着文艺复兴时期数学的发展，出现了改革逻辑的强烈呼声，而随着以英德美为代表的代数逻辑和逻辑演算的日臻成熟，新逻辑装备精良、功能强大的特点日益被人们所认识，于是对传统逻辑的取代可谓理由充分，水到渠成，无可置疑。

以下，我们从逻辑的角度对这一取代的合理性做一分析。我们假定成为逻辑的两个基本条件是：

(1)存在着一种能够由一种语言转换为另一种语言的语言结构，特别是该语言结构有一种将对象语言(如英语)翻译为标准符号语言的操作程序；

(2)承载真值的表达式其结构转换后是真值保持的。

从表面上看，三段论逻辑似乎也满足这两个条件。但是，① 它的系统是演绎的，但却不是一个形式符号系统，它对变项的使用十分有限，因而在抽象程度上远未达到现代符号逻辑的标准。② 三段论逻辑的基本结构是主谓式，而且它只承认一位谓词。在三段论中没有像“y 在x和z之间，因而y在z和x之间”这样的表达关系的句式和推理模式。其结果，尽管亚里士多德和欧几里得可能有相同的证明思想，但亚里士多德的逻辑仍无法分析在他那个时代已知的自然数不等式和几何学中相当简单的推理。逻辑与数学的脱节不能不说是三段论逻辑的一个严重缺陷。这也就是为什么三段论迟迟未能被解释为类逻辑的原因。③ 缺乏嵌套量词，三段论无法表达重叠量化句，三段论中的量词形同虚设(“所有人是动物”能表达为条件句“是人蕴涵是动物”，“有些人是魔鬼”能表达为合取的否定“是人而不是魔鬼”的否定)。④ 亚里士多德未能发展出系统的命题逻辑。从这种意义上说，他的逻辑是不完整的。⑤ 三段论的后承概念是模态性质的，与当代模型论后承概念相比显得过于僵硬和狭隘，三段论有效性是经典有效性，因而不满足自返性和单调性，也无法充分解释当代经典和非经典后承概念的多样性发展。这表明亚里士多德的逻辑在满足上述两个基本原则上都存在着问题。

有许多特征可用于区别现代逻辑和亚里士多德的逻辑或传统逻辑。最重要的有以下几个方面：

(1)现代逻辑基本上是一个演算系统，如同在数学中所做的那样，它的运算规则仅仅决定于所使用的符号的形状而与符号的内容无关。许多逻辑学家对数学取得的成果印象深刻，他们认为关于任何适当的数学结果不存在旷日持久的争论。C.S.皮尔斯注意到，即便是在评价定积分时，由于拉普拉斯的错误，而导致对月球绕轨道运行方面的错误持续近50年；然而，错误一旦被认识，迅即就被纠正，没有产生任何严重的争论。皮尔斯将这一点与围绕着传统逻辑的争论和不确定性，特别是与形而上学中的推理进行了比较。他的结论是真正“精确”的逻辑依赖于数学。遵循这些方法的人将免于出现错误，因为即便有错误也会迅速被纠正。

(2)现代逻辑是借助于定义和推理进行的逻辑建构，是一种构造性活动，而不只是纯粹抽象性的。例如，它不仅仅是从普通语言(或者从关于有效性的心理学直觉)开始，经过层层抽象而形成符号语言，它还需通过建构而形成一个演绎系统，尤其需要通过形式的方法建构形式系统。现代逻辑严格区别了句法与语义，区别了初始符号和被定义的符号，区别了公理和定理，区别了元语言和对象语言，甚至区别了表达式的“提述”和“使用”，这些区别决定了现代逻辑具有构造性和层次性特征。它也从普通语言中寻找一种解释。它的形式是符号的，即便是逻辑常项(中世纪逻辑学家称之为非范畴词)和范畴词项都在符号中被表达。

(3)最后，现代逻辑严格地避免了心理学、认识论和形而上学方面的问题。

三、逻辑的数学转向的四大群体

逻辑的数学转向至少是由4种不同但又相互联系的思想家群体合力促成的。这些逻辑发展的不同传统各自贡献的基本概念和希望达到的最终目标虽然不尽相同，但也许正是这种混合交错的力量，使现代逻辑成为最强大、最具生命力和最具可应用性的逻辑。

(一)传统逻辑群体的逻辑代数方向

推动逻辑的数学转向最早出现的群体，我们称之为传统逻辑学家[1]，因为他们的主要目标是用数学的方法刻画有效论证。所谓论证可以理解为是由前提和结论组成的语句序列。一个论证是有效的，当且仅当它的前提蕴涵它的结论。换句话说，它不可能前提为真而结论为假。古代和中世纪逻辑学家只考察了有效论证模式的很少一部分。亚里士多德的三段论只给出了24种有效论证模式，而其中他承认的只有19种。古代逻辑和现代逻辑的分水岭出现在1847年。在这一年，乔治·布尔在他的《数学的逻辑分析》一书中构造了一个能够产生具有任意复杂性和无穷多数目有效论证的演算系统[1]。属于这一传统的逻辑学家还包括德摩根、施罗德、皮尔斯、杰文斯和文恩。其中，德摩根首创了关系逻辑，布尔在逻辑计算上取得了实质性的成果，皮尔斯和施罗德发展了嵌套量词的理论。

逻辑代数并不是指一种特定类型的逻辑，而是处理逻辑的一种方式。在逻辑代数中概念和关系被用数学符号表达——例如“所有的A是B”表达为A=AB。这里数学主要指的是代数，即是关于某些集合的有穷运算的数学部分。代数逻辑利用了逻辑词项的运算与数的代数运算之间的类比，将正确推理规则处理为代数中的加和乘这类运算，并从某些相关的运算开始，清楚地阐明一共同的抽象结构，进而给出满足每一系统的公理集合。例如，布尔对逻辑问题的处理包括：将逻辑数据转化为适当的方程式、应用代数的技术解决这些方程式、转换这些结果到原初的语言中这样3个环节。逻辑问题的符号公式的表述和逻辑方程式的解决构成了布尔代数的特征。

逻辑的代数处理在逻辑的数学转向中具有重要的意义。数字符号和它们的性质与逻辑符号和它们的性质之间的联系在16世纪之前几乎是无法想象的。一般数的字母的使用，以及关于数的运算符号的系统使用是16至17世纪发展的结果。尽管亚里士多德的三段论理论使用了字母符号，一般词项用变元表示，但没有词项组合的概念，因而没有词项运算的概念。逻辑代数学家还明确阐明了一种现代逻辑哲学观。布尔认为代数是一种形式结构，推理在这一结构中被严格地阐述。逻辑应当是数学的分支，而不是哲学的一部分。这就将方法论、修辞学和认识论从逻辑中分离出去，在一定程度上与那个时代占统治地位的逻辑心理主义的解释划清了界限。随着施罗德对布尔类逻辑的批评性分析和对逻辑乘和逻辑加之间的二元性分析，逻辑代数的发展达到了顶点。逻辑更进一步的发展并不是沿着逻辑代数的方向进行的。从这种意义上说，逻辑代数已经完成了逻辑在数学转向中的历史使命。

(二)证明论群体的数理逻辑方向

第二个组群属于证明论(也称数理逻辑)传统，他们的主要目标是将所有理性科学话语内的基本逻辑编纂为一个单一的系统。他们认为逻辑不是基于对特定的学科和语境进行抽象而形成的话语系统，而是涉及所有实际精确话语，但与表达内容无关的一种具有形式特征的最普遍、最一般的知识。这一群体的成员包括弗雷格、皮亚诺、希尔伯特、罗素、前期怀特海、希尔波朗和艮岑。弗雷格发展了具有数学严格性的丰富形式语言。他使用了二维符号，但这并不影响他对诸如高阶性质的表达。弗雷格的目的是系统化数学推理，保证数学推理的所有假设都清晰无误，所有的推理步骤都严格精确。显然，这一目标是认识论的，是人类理性的基本要求，即避免矛盾、保持一致性。而希尔伯特的目标是使数学推理本身成为数学研究的对象，以便更好地论证无穷概念的合法性，这是一种新的数学研究方法。这一群体为现代逻辑设计了一套完整的符号和一阶逻辑的证明论。最早的一阶逻辑演算系统出现在弗雷格1879年的《概念文字》中[2]，该书是第一部系统讨论量词的著作。

逻辑的代数传统和证明论(或数理逻辑)传统的典型区别体现为：

(1)代数逻辑强调的是法则，而数理逻辑强调的是公理。

(2)在数理逻辑，特别是在罗素逻辑主义形式中，逻辑被认为包括了所有的数学，而代数逻辑只认为逻辑与代数有某种联系。

(4)在涉及量化式的解释时，在全称和存在的情况下解释为无穷合取和无穷析取，这是与无穷乘和加的代数的类比，是典型的代数传统。在数理逻辑中处理的问题比起在代数逻辑中的那些处理更加复杂。

(5)数理逻辑的传统并不预设各种不同的论域，其中的每一个论域可以作为语言的一种解释；相反，每一变元(一阶)可涉及任何对象。而代数传统一般假定的是由“数”组成的论域。

(6)代数传统的逻辑灵感来自于代数，而数理逻辑传统的灵感主要来自数学分析。受后者的影响，弗雷格给出了形式系统的精确定义，数学证明“通过精确阐明的语法规则给出”，他还引入了命题演算的真值函项解释。最重要的是，他将命题分析为函项和论元，而不是主词和谓词，并且给出了数学序列概念的逻辑定义。

在此，有两个问题需要进一步澄清：

第一个问题是关于两个传统划分的标准。当代评论家认为，实际推动逻辑转向的动力来自于两个彼此平行但在某些方面又彼此独立的传统的相互作用。朱德因(B.Jourdain)按照莱布尼兹普遍语言和推理演算之间的区别刻画了这些发展。在他看来，符号逻辑推理演算的一面是由布尔、德摩根、杰文斯、文恩、皮尔斯、施罗德、富兰克林和其他人发展起来的；普遍语言的一面是由弗雷格、皮亚诺和罗素发展起来的。当然，这两个领域之间没有一个硬性和不变的界限。因而，皮尔斯和施罗德早期开始的关系演算的算术基础的研究，并不能被看作是仅仅作为代数分支的逻辑演算的研究。进而，皮亚诺虽特别关注他的符号的演算的一面，但也不能由此将其划分为第一种传统。弗雷格认为他自己的符号系统既是一个推理演算的系统，同时也是一个普遍语言的系统。可见两个传统的划分只是相对的。

辛迪卡扩展了莱布尼兹关于语言和语言与世界关系的两个相对概念的区别：作为普遍媒介的语言和语言的模型论的两种观点，并按照这一标准将弗雷格刻画为前一种立场的代表，皮尔斯和施罗德以及他们的追随者被认为是模型论立场的代表。依据普遍语言的概念，语言的解释是预先被给出或者确定的。例如，在弗雷格的系统中约束个体变元的量词被看作是涉及所有的对象，而不仅仅是某些被选的随着语境的变化而变化的“话域”中的对象。罗素断言“逻辑与真实世界有关，就像动物学与真实世界有关是一样的，尽管它更加一般和更加的抽象”同样表达了这一观点。另一方面，按照模型论或者演算的传统，语言的解释是可变的。个体词项和变元涉及“话域”，该论域无需有任何独立的本体论的输入。话域只由语言使用者在某一确定语境中作为谈论对象的东西组成。按照这一划分，皮尔斯的大部分工作，例如早期布尔代数和关系逻辑很显然应划归逻辑演算的传统。这一点对他的后期著作也同样成立。

第二个问题涉及两个传统在推动逻辑的数学转向中的地位及相互关系。有一种观点认为逻辑代数不适合于新的研究目标，即整个数学的逻辑基础。但是，按照戈德法布(Goldfarb)的看法，19世纪逻辑的现代观点是由代数和数理逻辑两种传统组合编辑而成的。安德里克(Andreka)也认为代数逻辑的现代描述表明，在布尔创立的逻辑代数和当代逻辑代数之间存在着概念连续性。他认为代数逻辑能够被划分为两个主要部分：① 主要处理与逻辑有关的代数问题，它的方法基本是代数的；② 处理和研究建构代数社会和逻辑社会之间的桥梁，属于“代数社会”。通过①将它们转换为代数(代数化的程序)并解决代数问题，通过②将解题结果返还到逻辑。

不可否认的是，以布尔为代表的代数传统在皮亚诺和罗素的数理逻辑传统面前显得黯然失色。但从历史上看，数理逻辑来临之前逻辑代数已经完成了一种意义深刻、影响深远的文化变革。大约1850年前后，逻辑一直被视为是哲学而不是数学的一部分。到19世纪末，逻辑开始受到这两个学科的共同关注。布尔所代表的这种文化上的变化是毫无疑问的。的确，在表达力和表达范围方面，布尔逻辑系统远逊色于弗雷格系统，甚至在表达的严格性方面与亚里士多德的《前分析篇》也无法相比。但是，这一事实并不能掩盖我们对另一种真相的理解，而后者在这里是更重要的，即：布尔的亚里士多德语句形式的代数表达，与他的三段论推理的代数说明的结合，是数学的一部分。换一种说法，他表明了整个的演绎逻辑是完全对数学处理开放的。从这一观点看，布尔的历史地位应当给予充分肯定。

如果说第一种和第二种传统开辟了逻辑的数学转向，并赋予了它实质性内容，那么第三种传统则使逻辑完全汇入到数学学科中，使它真正成为数学的一部分。

(三)模型论群体的数学结构方向

第三种传统可上溯到欧几里得。这一群体的成员称为模型论学家，他们是从这些结构所服从的法则的观点来研究数学结构的，其成员包括戴德金、皮亚诺、希尔伯特、帕斯卡、魏步伦、哈密尔顿、海丁、策梅洛。他们对算术、几何、集合论和分析等数学的各个分支进行了公理化处理。例如，策梅洛在1908年对集合论进行了公理化处理，现在被称为策梅洛-富兰克林集合论的是由斯克伦、富兰克林和冯诺依曼等人修正和澄清的。与欧几里得不同，这一学派的一些成员(如希尔伯特和他的追随者)认为，重要的是在公理化发展中清晰地阐述推理规则，这是形式主义哲学的一部分。而海丁则认为，重要的是对所形成的直觉主义逻辑和直觉主义数学进行的公理化形式处理，而这种处理的目的是将这种形式与他们重新修正的直觉主义逻辑相对照，并最终强调后者相对于前者的重要性。

将语言和公理化本身作为数学研究的对象，标志着一个至关重要的发展阶段的开始。受非欧几何学出现的启发，模型论传统的思想家们开始考虑他们的语言的不同解释问题；与此同时，他们也开始考虑他们的系统的一致性、完全性、范畴性和独立性等元逻辑问题。波兰学派和希尔伯特形式主义数学学派发展了元数学研究的纲领，在他们的努力下，关于一致性和可推演性等句法学和证明的概念与可满足性和逻辑后承等语义学或模型论概念，被仔细地区别开来，这是一种重要的区别，是逻辑研究的一大进步。

元数学与数理逻辑的观点是不同的。数理逻辑的传统认为，逻辑系统是一个被解释的形式语言系统，其中的语言就其适用于各门学科和任何题材而言，是完全一般和普遍的。数理逻辑传统的学者一直将逻辑定位于“作为语言的逻辑”，而元数学和代数传统的学者则持守“作为演算的逻辑”概念。但两个学派之间还是产生了一些有意义的互动，其结果就形成当代逻辑的主流观点，即逻辑既是一种语言又是一种演算。

元数学问题的研究高潮是以哥德尔的成就为标志的，哥德尔也因此成为与亚里士多德和弗雷格相提并论的伟大逻辑学家。哥德尔在1925年的博士论文中，表明给定的一阶语句在通常的逻辑演绎系统中是可判定的，当且仅当它在被所有的解释所满足的意义上是真的。这就是众所周知的哥德尔不完全性定理。一年以后，他证明对于一个充分丰富的算术形式的系统存在着一个既不可证同时又不可反证的定理。这被称为哥德尔第二定理，统称哥德尔定理。

我们现在所理解的现代逻辑(即一阶逻辑)就是建立在1915至1935年间对这一群体研究的基础上的。这里的进步既是概念上的也是技术上的。逻辑史学家从这里似乎能感受得到历史前进的脉动，而日益增强的精确性是这一变化的重要的一部分。

(四)计算机和语言学的传统

第四种群体是由计算机学家和语言学家组成的，他们分别基于各自不同目的而认识到一阶逻辑对他们的目标的价值。在计算机领域，一方面，人们对计算机专业工作者需要研究逻辑已经形成共识，针对这一群体的一系列逻辑教科书大量涌入市场；但另一方面，对许多计算机科学应用而言，逻辑主要是作为一种训练，一阶逻辑本身并不是他们所选择的逻辑。简单地说，人工智能社会对逻辑有着迫切而广泛的需求，但是他们更偏好于模态的或内涵性的逻辑。总的来说，他们需要一种能够定义函数的规约性语言的逻辑，这使得他们合并了某些高阶逻辑的特征。通常情况下，计算机学家所关心的结构是有限的，对于有穷结构的划分而言，一阶逻辑似乎并不是他们最好的逻辑。

计算机科学家为一阶逻辑的发展提出了许多好的建议。例如，关于如何研究一种证明。从哲学上看，这并不是一个新的问题，从亚里士多德到莱布尼兹都研究过这一问题。它的真正新颖之处在于：将证明视为一种在形式演算中研究所有可能(证明)的一种系统的数学分析。这种类型的研究很自然地出现在自动定理证明中。罗伯特·科瓦尔斯基(R.Kowalski)提出人们能够将某些一阶逻辑语句解读为研究证明的指令[3]。程序语言的标准解释就是建立在他的思想基础之上的。另一个是形式证明的成本问题。按照所需要假定的时间数量以及每次被使用的假定的时间数量，研究人员已经建构起一个初步的一阶逻辑系统，这一系统的建立解决了人们对形式证明的成本的控制问题(详见Jean-Yves Girard关于邻里逻辑[4]，以及Dosen and Schroeder-Heister关于次结构逻辑的论文[5])。

该群体的另外组成部分是以当代形式语义学派为代表的语言学家。在20世纪50—60年代乔姆斯基的自然语言的句法学革命之后，许多语言学家将关注的重点从句法学转到语义学。人们假定在一种自然语言中句子的意义是从它的成分语词的意义中，按照一种反映句法的语法结构的方式建构起来的，语言学家的任务就在于描述这种意义的结构。人们从罗素的命题理论和20世纪早期英国哲学家的“逻辑形式”中看到这一解释的开端。但是，早期研究的目标经常表述得不够清晰。大约1970年前后，生成语义学中分析自然语言语句时，使用了来自一阶逻辑中的装置。他们的一些分析看上去非常像是现代逻辑学家为分析论证而采用的那种符号表征的方法。蒙太格使用逻辑的工具对某些英语的句法学和语义学片段给出了极为精确的分析，从而开辟了一条极富成效的研究路线[6]。例如，语言学家道蒂(Dowty)谈到，为了引入蒙太格语法，语法学家增加了许多来自蒙太格技术的自然语言语义学研究，这些技术已经超出了一阶逻辑。从此之后，更多的一阶证明论的思想被引入于语言学语义学研究之中，这些新颖的工具在一般的语法分析，特别是在莫里尔(Morrill)和开普森(Kempson)的语法分析中，具有出乎意料的作用[5]。

人们一般认为一阶逻辑的概念最早见于建立在希尔伯特1917—1922年演讲基础上形成的希尔伯特和阿克曼的《数理逻辑基础》。斯科伦的论文(1920)毫无疑问属于早期一阶逻辑经典论文之一。而怀特海和罗素的《数学原理》(1910)属于更早期的著作，它包括了我们现在看来属于一阶逻辑的某些概念、公理和定理。正因为这个原因，波斯特、朗福德、希尔伯特和哥德尔都引述他们的著作。但是，《数学原理》中的一阶部分与其他的著作并没有区别，特别是怀特海和罗素都还没有一个“精确的句法概念”或者说没有一个“在结构中公式解释的概念”。

四、转向的5个阶段以及转向期间逻辑与数学的关系

(一)转向的5个阶段

“转向”赋予我们一种新的视角，这种视角使得我们可以将逻辑的数学转向与逻辑的数学发展联系起来考察，进而可以从逻辑的数学转向看数理逻辑的发展。也就是说，逻辑的数学转向的阶段与现代逻辑的发展大致是重合的(当然，这里的划分与上述逻辑转向的4个群体也存在着某些重叠)。我们可以将转向划分为5个时期：

(1)从莱布尼兹到1847年的胚胎期。这期间逻辑演算的概念被讨论和发展，尤其体现在莱布尼兹身上，但并没有形成一个学派，没有形成连续发展的势头。

(2)从布尔的分析到施罗德逻辑教程时期。这一时期有更多的参与者，有更大的发展连续性。

(3)从弗雷格的《概念文字》到罗素和怀特海的《数学原理》的逻辑主义时期。这一时期被逻辑主义流派所主导，主要是将所有的数学和科学话语的逻辑完全归并为一个单一的统一的系统。逻辑主义的基本原理是：所有的数学真理是逻辑真理。他们对数学表述中的任何非逻辑概念均持不接受的态度。主要的逻辑主义者有弗雷格、罗素和早期维特根斯坦。该时期的顶峰是《数学原理》，这是一部重要的著作，它包括了对悖论的彻底考察，以及为解决悖论而提出的类型论理论(因为悖论的出现妨碍了逻辑主义纲领的实施)。

(5)二次世界大战以后的时期。数理逻辑分化为4个相互联系但彼此分离的领域：模型论、证明论、集合论和可计算性理论，其思想和方法开始影响到哲学。

(二)转向期间逻辑与数学的关系

一般认为，逻辑的数学转向在第4个时期已经完成。那么，转向期间逻辑与数学的关系又有怎样的变化？它对于逻辑的发展又意味着什么呢？

人们应当注意到，在弗雷格的《概念文字》诞生前的300年间，人们看不到逻辑的平稳连续的数学转向的演进轨迹，但是在这期间，逻辑是数学，哪怕是数学最一般的部分的思想，还是在一定程度上吸引着人们支持和推进逻辑的数学化这一目标的实现。但是，这不意味着转型期间逻辑和数学之间的关系就此变得融洽；相反，正如怀特海曾经指出的，符号逻辑和数学的关系并不“轻松”[7]。为什么会这样呢？为了理解怀特海“论题”，我们必须回到它们的历史环境中。

首先，从历史上看，现代逻辑真正成为关注的中心是与20世纪上半叶数学哲学的金色年代联系在一起的。逻辑主义、集合论悖论、数学危机和公理化集合论，尤其是“三大主义”的讨论使逻辑问题成为数学和哲学的焦点问题。而数学基础的讨论很快就结束了，经历了30—40年代的多产期之后，数学家和数学哲学家都厌倦了大主义的讨论，数学哲学又恢复了它的平静(尽管在分析哲学那里逻辑的金色年代持续的时间要长得多)。逻辑的转型基本上是在金色年代到达之前完成的，那时的数理逻辑犹如一只忙于整理自己羽毛的雏鸟，还在等待飞上蓝天的机会。直到20世纪50—60年代随着哲学逻辑学科群体的出现，它的第二个高峰才真正降临。

其次，为什么逻辑和数学的关系并不轻松呢？根据历史文献，我们认为有两方面原因，这些原因似乎并不涉及一些大的原则性问题，但正是这些“具体而细微”的问题构成那个时代逻辑与数学关系的真正描述。那种对二者关系恢弘而乐观的描述很少出现于严肃的历史研究的文献中。

1.哲学上的原因

(1)尽管在推动逻辑的数学转向方面方向一致，但在数学和逻辑究竟是什么关系，特别是在怎样理解数学“等同于”逻辑的问题上，人们的看法并不一致。例如，皮亚诺、罗素和怀特海用逻辑来建构数学。逻辑主义认为数学的大部分能够在一个被适宜建构的符号逻辑中表达。但是，若干思想家宁可对逻辑做一种代数处理，并认为逻辑应归结为代数。皮尔斯认为逻辑应用于数学并且数学也应用于逻辑。显然，这是一种更模糊的立场[8]。

(2)对有限与无限的看法有差异。对于数理逻辑传统的逻辑学家来说，逻辑始终是有限性的，不管是公式还是证明长度都是有限的。代数逻辑学家也接受了后者的有限性，但是在解释量词时他们允许无穷长的公式。全称和存在模式被理解为分别是对合取和析取的概括，他们甚至使用了无穷记号“Σ”和“Π”来表达量词。另外，罗素和弗雷格在数理逻辑传统中的处理包括了诸如整数，特别是实数和线的长度这种量的方面，他们的逻辑既给出了量又给出了质。代数逻辑尽管也涉及整数，但在逻辑的意义上并没有提出量的要求。

(3)语言的使用有差异。代数和证明论传统上都使用相当简单和理想化的语言，但是关注的焦点差异很大。代数逻辑一开始作为三段论的补充，后来又作为对三段论的替代。它所关注的是形容词和名词。而证明论关注如“所有”“有些”“某一个”“一些”和“这”等逻辑小品词。罗素的哲学背景使他特别关注“这”(the)。他的摹状词理论对包含有以“the”字开头的从句的命题的可指称性给出了精确的标准。关于连接词，代数学家使用方程，因此特别强调逻辑等值，以及合取和析取。皮尔斯特别强调蕴涵的重要性，从而对前者做了修正。在与证明有密切联系的数理逻辑传统中，蕴涵一开始就被赋予重要地位，尽管罗素对推理(inference)和衍推(entailment)是不分的。

2.学科之间的差异性

怀特海说，符号逻辑经常被许多逻辑学家所忽略，因为在他们看来它们是数学。同样，它们也经常被数学家所忽略，认为它们是逻辑。这说明逻辑的数学转向并不是一蹴而就的，学科之间的差异性将长期影响人们对逻辑与数学关系的看法。尽管上述问题有哲学方面的背景，但大多数都是技术性的，因而看上去讨论的问题与数学没有多少差别。然而，数学界对此却仍然兴趣不大。法国布尔巴基学派对把符号逻辑作为一个数学研究的合法领域持否定态度，尽管在他们的数学理论证明中也使用演绎定理。另外，数学家对符号逻辑的态度与对集合论的态度是非常不同的。集合论的技术和拓扑方面技术受到好评，于1890年代中期在程序测量理论和函数分析等领域得到应用。同时，作为数学基本语言的一部分被传播，并从1950年开始在本科层次上作为正式课程被讲授。在数学家看来，他们需要知道的逻辑不外乎对作为推理规则的肯定前件和否定后件式、必要和充分条件、定义和5个逻辑连接词，以及量词的理解。除此之外，似乎没有其他的了。对数学家来说，逻辑的其余部分是边缘性的，其结果，即便是“严格的”数学家对逻辑学家似乎也是相当不在意的。在逻辑学家看来，数学家实施的某些证明是逻辑草率的证据，而对数学家来说，这一详细的步骤的实施是迂腐的象征。两个学科的从业者之间的鸿沟就这样形成了。

哲学家对逻辑的关注也是很有限的。他们对符号逻辑的兴趣主要是在(形式化)语言和演绎定理，以及一般的指称和意义理论方面；也许符号逻辑对数学(也是对哲学)的最经久不衰的遗产是(数学)理论和它的元理论之间的不同逐渐被认识，并通过广泛的传播而被越来越多的人所承认，尽管后者经常处于一种非正式的状态。但是，这种局面正在被改变。韦尔是少数极为认真地对待符号逻辑的数学家之一。在一篇关于数学基础发展的论文中，韦尔对谓词和它的相关集合之间的不同给出了正确的和富有启发性的评论，这构成了他的逻辑和哲学重要的一部分。莫斯托夫斯基指出，数学家最感兴趣的是模型论和集合论的基础，以及直觉主义逻辑，它们和数学有一种最为一般的关系。莫斯托夫斯基也提到递归论和可计算性，它们以一种有意义的方式联系到计算，这在二战后，特别是在1950年以后开始产生出结果。尽管它们的开拓者包括了对逻辑有兴趣的数学家如图灵和诺依曼，但是后来的参与者除了在程序语言发展中使用了邱奇兰木达演算的技术之外，并没有在逻辑的技术细节上有足够的投入。目前，计算科学与逻辑展示了逻辑与数学联系的广度，然而人们并不知道数学界对这一问题是否有足够的认识。

五、转向后的逻辑与数学

逻辑的数学转向的一个直接后果就是作为数学一个独立分支的数理逻辑的诞生。早期逻辑与数学的“不轻松”的模糊暧昧关系，在数理逻辑成为数学的一个分支后也变得明朗。数理逻辑分化为4个相互关联但互不相同的研究领域：模型论、证明论、可计算性理论和集合论。

在集合论中，力迫法通过为构造模型和获取独立结果而提供的强健方法革新了这一领域。1962年，保罗·科恩引入了这一方法，以证明连续统的独立性和来自策梅洛-富兰克林集合论的选择公理。目前，集合论的基本方法已经被应用于数学基础，以及几乎所有的数学分支。可计算性理论在图灵、丘奇、克林和波斯特于1930至1940年间的工作中扎下了根，发展为抽象可计算性研究。在当代，这一理论被称为递归论。高阶可计算性理论的探索证明了它与集合论之间的联系。最终，作为描述复杂性研究的一个结果，计算复杂性理论的刻画也使用逻辑的词汇。作为数理逻辑一个分支的模型论研究特定数学理论(形式系统)与其解释或模型的关系。模型论通过给出各种模型可以论证一组语句的一致性或范畴性，以及一语句和一组语句的独立性。模型论的定理早在20世纪20年代就已出现，如勒文海姆-斯克伦定理、紧致性定理。50年代以后模型论逐渐形成一门独立的学科，得到了一系列重要的结果。在证明论中，经典数学和直觉主义数学之间的关系，被由乔治·克莱索尔(Georg Kreisel)和哥德尔的辩证解释所创造的方法澄清。库里-霍华德同构作为逻辑和计算机之间的更深的类比而出现，它包括了自然演绎系统和计算机科学中使用的类型的兰姆达演算之间的对应。其结果，这样一个形式系统开始处理逻辑和计算方面的研究。这一研究领域被称之为现代类型论。在诸如帕里斯-哈林顿定理这样的算法研究中，普通分析和独立结果的研究方面的进步也是显著的。

经历了20世纪上半叶数理逻辑和逻辑哲学的迅猛发展，逻辑学家和数学家似乎失去了早期关于逻辑与数学关系的哲学争论的热情。然而，逻辑和数学、逻辑哲学和数学哲学仍在继续发展。新的问题又很快进入当代争论的视野。在当代视域内，我们可以更好地审视逻辑与哲学的关系。

1.逻辑和数学之间的联系是异常紧密的

出现于弗雷格、罗素、哥德尔和塔斯基著作中的经典逻辑，其主要目的并不是给出判断一个统一的说明，也不是为了处理自然语言中的量词问题，也不是为了处理模糊性，而是处理数学性的问题。从演算和演算概念严格性的发展，到集合论的悖论，它的目的在于概念的澄清，在于使得数学中的演绎有效的形式变得明确。我们如何看待数学和如何看待逻辑这两个问题是相互交织在一起的。

2.数学并不是逻辑

尽管逻辑学家和数学家不间断地试图对逻辑进行数学化的改造，到现代，甚至一直试图把逻辑强加为数学的一部分，但是从数学与逻辑的关系来看，真正的数学要求的逻辑是十分有限的。例如，在最直觉的意义上，“等同”似乎是一个数学概念，而不是一个逻辑的概念。数学要求直觉，它涉及公理的意义，它要求发现公理，而逻辑则要求遵循公理。数学要求创造性和见识力，它们与大脑中的联想和启发力流程类型有极大的联系，而与逻辑关联不大。最后，与数学相关联的任务类型与一般的理智联系更强，而与概念形成的任务的联系则并不是那么强。

3.逻辑对数学是重要的

只有联想是构不成数学的事实的，只有经过了严格的逻辑的证明才可被接受为数学真理。真正有效的数学分析只有在逻辑严格性中才能够做到。因为存在着这种依赖性，数学家们仔细地发展和形式化了逻辑，而经过数学家们处理的逻辑其严格性远远超过常识意义的逻辑。它具备了无歧义地表达、交流和探讨数学思想所要求的严格性和灵活性。这样一种发展的结果最终便成为当代的符号化的逻辑，借助于这种符号逻辑和规则的使用，我们能够发现和重写那些复杂的逻辑陈述，就像我们处理代数陈述时那样。逻辑是数学基础的一部分，逻辑研究应当反映一般科学，特别是数学的演绎实践。

最后，逻辑在20世纪的前50年所获得的研究结果对于我们理解句法学和语义学之间的数学关系，理解语言结构和推理结构的代数性质具有重要意义。这一结果具有里程碑式的重要性，它使逻辑的工具在众多的领域中被广泛应用，从语言学到计算机科学到人工智能，从科学方法论到特定的物理学问题。每一个涉及数学基础的问题和答案的形式表达依赖于这种工具。数理逻辑已经改变了哲学的面貌。

[1] BOOLE G.The Mathematical analysis of Logic[M].London:Walton and Maberley,1854.

[2] FREGE G.Begriffsschrift[M].Halle:[s.n.],1967.

[3] KOWALSKI R.Logic for problem solving[M].New York:North Holland,1979.

[4] GIRARD J Y.Linear logic:its syntax and semantic[G]//Advances in Linear Logic.Combridge:Combridge University Press,1995:1-42.

[5] DOSEN K.Substructure Logics[M].Oxford:Oxford University Press,1993.

[6] MONTAGUE R.Montague Formal Philosophy[M].New Haven:Yale University Press,1974.

[7] MORRILL.Beyond first order logic:the historical interplay between mathematical logic and axiomatic set theory[G]//History and philosophy of logic.1[S.l.]:[s.n.],1980.

[8] GABBAY,WOODS.Handbook of the history of logic:vol 3[K].[S.l.]:[s.n.],2004.

(责任编辑张佑法)

OnMathematicalTurnofLogic

ZHU Jianping

(School of Politics and Public Administration, Suzhou University, Suzhou 215123, China)

中国逻辑学会会长邹崇理研究员

B81

A

1674-8425(2017)09-0008-10

2017-06-07

朱建平(1956—)，男，山东济南人，教授，博士生导师，研究方向：西方逻辑史。

朱建平.逻辑的数学转向[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2017(9):8-17.

formatZHU Jianping.On Mathematical Turn of Logic[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(9):8-17.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.09.002

朱建平教授的《逻辑的数学转向》一文指出，19世纪中期是逻辑发展史上的一个重要时期，这段时期是旧逻辑衰亡和现代逻辑兴起的时期。朱教授讨论了逻辑的数学转向的四大群体、转向的5个阶段以及转向期间逻辑与数学的关系等问题，并认为现代所谓的“符号”或“数理”逻辑在这段时间的发展是两千年逻辑史上最重要的，也可以说是人类理智史上最重要和最非凡的事件。就深刻理解现代数理逻辑的实质而言，此文值得一读。

长期以来，模糊理论由于缺乏坚实的数学基础在学界引起很大争议，对模糊集合论进行公理化就是为模糊理论提供一个坚实的数学基础的考量。李娜教授等的文章《一种模糊集合论的公理化方法》尝试将夏平基于扎德的模糊集概念创立的第一个公理化模糊集合论Za扩张为NBG。这样的扩张可以作为从非经典逻辑如模糊逻辑出发建立集合论的一个基础。该文论证思路清晰、语言表述准确。