非线性四阶薛定谔方程的高阶保能量方法

王一帆， 孙建强， 陈宵玮

(海南大学 信息科学技术学院， 海南 海口 570228)

非线性四阶薛定谔方程的高阶保能量方法

王一帆， 孙建强， 陈宵玮

(海南大学 信息科学技术学院， 海南 海口 570228)

利用四阶平均向量场方法和拟谱方法构造非线性四阶薛定谔方程的高阶保能量格式，并用构造的高阶保能量格式数值模拟方程孤立波的演化行为.结果表明:新的格式具有很好的稳定性，可以很好地模拟孤立波的演化行为，同时,保持了方程的离散能量守恒特性.

平均向量场方法； 高阶保能量方法； 非线性四阶薛定谔方程; 谱方法

Abstract： The fourth order energy preserving scheme for the nonlinear fourth-order Schrödinger equation is obtained by applying the fourth order average vector field method and the Fourier pseudo spectral method. The new fourth order energy preserving scheme is applied to simulate the solitary wave behaviors of the equation. Results show that the new scheme has nice stability and can well simulate the solitary wave evolution behaviors, moreover, it preserves the discrete energy conservation.

Keywords： average vector field method; energy-preserving method; nonlinear fourth-order Schrödinger equation； spectral method

在已有文献中，许多学者构造了非线性四阶薛定谔方程的不同数值算法.Kong等[1]基于分步数值方法和多辛龙格-库塔方法的思想，设计了一种新的多辛积分因子，即分步多辛(SSMS)方法.黄浪扬[2]构造了非线性四阶薛定谔方程的半显式多辛拟谱格式.这些格式在长时间精确数值模拟非线性四阶薛定谔方程的演化中具有重要的意义，但只能近似地保持方程的能量.近年来，有学者提出在时间方向上具有二阶精度的平均向量场方法，能保持微分方程固有能量守恒特性.二阶平均向量场方法已经广泛地应用于计算能量守恒的偏微分方程中[3-5]，并取得了很好的数值结果.如Quispel等[6]提出了具有高阶精度的平均向量场方法.本文利用四阶平均向量场方法和拟谱方法构造非线性四阶薛定谔方程的高阶保能量格式，并利用高阶保能量格式数值模拟非线性四阶薛定谔方程孤立波的演化行为.

1 非线性四阶薛定谔方程

考虑强激光光束传输过程中四阶色散项在具有克尔非线性的松散介质中的影响，文献[7-9]建立了四阶薛定谔方程，即

如果考虑外部受限的势能，则方程(1)为受限制的非线性四阶薛定谔方程.文中研究的非线性四阶薛定谔方程为

式(2)～(4)中：u0(x)为一个指定的复值函数；g(x)为绕原点的波函数.方程在研究动态玻色-爱因斯坦凝集态、非线性光学之类的问题中具有重要的应用.方程(2)在有限区域内具有能量守恒特性[10]，即

2 非线性四阶薛定谔方程的高阶保能量格式

下面给出非线性四阶薛定谔方程的离散格式.在实际计算中，只能给出方程在有限区域内的数值解.根据文献[1,10],取方程空间求解区域为[0,2π].

设u(x,t)=p(x,t)+q(x,t)i，方程(2)可表示为

方程(6),(7)可以转化为无穷维哈密尔顿系统,即

式(8)中:z=(p,q)T,哈密尔顿函数为

利用拟谱方法在空间方向离散非线性四阶薛定谔方程(8),空间积分区间Ω=[0,2π],L=2π，将Ω分为N等分，h=L/N为空间步长，N为一个正偶数.

空间置配点xj=a+hj,j=0,…,N-1.令pj为p(x,t)在配置点xj处的近似值.定义

SN={gj(x);-N/2≤j≤N/2-1}

其中:cl=1(|l|≠N/2)；c-N/2=cN/2=2；μ=2π/L.对任意p(x,t)∈C0(Ω)，定义的插值算子IN[11]为

(x).

正交的三角插值算子IN在置配点xj满足

INp(xj,t)=p(xj,t),j=0,…,N-1.

假设P=(p0,p1,…,pN-1)T，定义

称Dk为k阶微分矩阵.通过计算可以得到

D1,D2分别是一阶和二阶谱矩阵,即

利用二阶微分矩阵D2近似二阶偏导算子∂xx，可以得到方程(6),(7)的半离散拟谱格式，即

式(10)，(11)中:A=(D2)2；j=0,1,…,N-1.式(10)，(11)可以表示为有限维哈密尔顿系统，即

用四阶平均向量场方法离散哈密尔顿系统(12)，可得方程(2)的高阶保能量格式为

式(13)可以被表示为矩阵向量形式，即

式(15),(16)等价于

式(14)可以表示为

A(τ,h)Un+1=B(τ,h)Un+τF(Un+1,Un),n=1,2,….

3 数值模拟

为了验证高阶保能量格式(14)的保能量守恒特性，定义相对能量误差为

3.1数值模拟1

选择α=6，β=150，g(x)=sin2x，取方程(2)的初值条件为

周期L=2π,取时间步长τ=0.000 1，空间置配点N=20.非线性四阶薛定谔方程在t=2时刻的实部的数值解Re(μ)和虚部的数值解Im(μ),如图1所示.方程在t∈[0,2]内的相对能量误差RE，如图2所示.图2中：能量误差达到机器精度，可忽略.由图1，2可知：高阶保能量格式(14)可以很好地模拟方程孤立波的演化行为，且精确地保持了方程的离散能量守恒特性.

(a) 实部 (b) 虚部 图1 孤立波在t=2时的实部和虚部的数值解 图2 孤立波在t∈[0,2]内的相对能量误差变化Fig.1 Numerical solution of solitary wave at t=2 Fig.2 Relative energy errors of solitary wave at t∈[0,2]

3.2数值模拟2

取α=1,β=1,g(x)=cos2x，取方程(2)初值条件为

u(x,0)=exp(iπ/6)cosx.

L=2π,取时间步长τ=0.000 01，空间置配点N=20.方程在t=1时刻的实部和虚部的数值解,如图3所示.方程在t∈[0,1]内的相对能量误差，如图4所示.图4中：能量误差小，同样可忽略.因此，高阶保能量格式有好的计算精度，并且同样可以精确保持方程的离散能量守恒特性.

(a) 实部 (b) 虚部图3 孤立波在t=1时实部和虚部的数值解 图4 孤立波在t∈[0,1]内的相对能量误差变化Fig.3 Numerical solution of solitary wave at t=1 Fig.4 Relative energy errors of solitary wave at t∈[0,1]

4 结束语

基于四阶平均向量场方法,构造了非线性四阶薛定谔方程的高阶保能量格式.利用构造的高阶保能量格式数值模拟方程孤立波的演化并分析格式的相对能量误差变化.数值结果表明：高阶保能量格式可以精确地模拟非线性四阶薛定谔方程孤立波的实部和虚部的运动，同时，能精确地保持方程的的离散能量守恒特性.在保非线性四阶薛定谔方程的能量守恒特性方面，文中的格式具有优越性.

[1] KONG Linghua,HONG Jialin,WANG Lan.Symplectic integrator for nonlinear high order Schrödinger equation with a trapped term[J].Journal of Computation and Applied Mathematics,2009,231(2):664-679.

[2] 黄浪扬.非线性四阶薛定谔方程的半显式多辛拟谱格式[J].华侨大学学报(自然科学版),2013,34(6):706-709.

[3] GONG Yuezheng,CAI Jiaxiang,WANG Yushun.Some new strure-preserving algorithms for general muti-symplectic formulations of Hamiltonian PDEs[J].Journal of Computational Physics,2014,279:80-102.

[4] CELLEDONI E,GRIMM V,MCLAREN D I,etal.Preserving energy resp.dissipation in numerical PDEs using the "average vector filed" method[J].Communications of Computational Physics,2012,231(20):6770-6789.

[5] 蒋朝龙,黄荣芳,孙建强.耦合非线性薛定谔方程的平均离散梯度法[J].工程数学学报,2014,31(5):707-718.

[6] QUISPEL G R W,MCLAREN D I.A new class of energy-preserving numerical integration methods[J].Journal of Physics A Mathematical and Theoretical,2008,41(4):045206(1-7).

[7] KARPMAN V I.Stabilization of soliton instabilities by higher-order dispersion:Fourth order nonlinear Schrödinger-type equations[J].Physical Review E,1996(53):1336-1339.

[8] KARPMAN V I,SHAGALOV A G.Stability of soliton described by nonlinear equation Schrödinger-type with higher-order disperion[J].Physical D: Nonlinear Phenomena,2000(144):194-210.

[9] PAUSADER B.The cubic fourth-order Schrödinger equation[J].Journal of Functional Analysis, 2009, 256(8):2473-2517.

[10] HONG Jialin,KONG Linghua.Novel multi-symplectic integrators for nonlinear fourth-order Schrödinger equation with trapped term[J].Communications in Computational Physics,2010,7(3):613-630.

[11] CHEN Jingbo,QIN Mengzhao.Multi-symplectic Fourier pseudospectral method for the nonlinear Schrödinger equation[J].Electronic Trasactions on Numerical Analysis Publisher,2001,12(11):193-204.

(责任编辑： 钱筠英文审校： 黄心中)

HighOrderEnergyPreservingMethodforNonlinearFourth-OrderSchrödingerEquation

WANG Yifan, SUN Jianqiang, CHEN Xiaowei

(College of Information Science and Technology, Hainan University, Haikou 570228, China)

10.11830/ISSN.1000-5013.201611037

2016-11-12

孙建强(1971-)，男，教授，博士，主要从事微分方程数值解法的研究.E-mail:sunjq123@qq.com.

国家自然科学基金资助项目(11561018)； 海南省自然科学基金资助项目(114003).

O 241.5

A

1000-5013(2017)05-0742-05