Bloch型双调和映照

李西振, 陈行堤

(华侨大学 数学科学学院, 福建 泉州 362021)

Bloch型双调和映照

李西振, 陈行堤

(华侨大学 数学科学学院, 福建 泉州 362021)

研究 Bloch 型双调和函数的判别准则和系数估计.通过建立双调和函数的线性和复合性质，得到双调和函数的 Bloch 型判别法则.利用双调和的表示理论及调和函数的 Pre-Schwarz 导数估计，给出 Bloch 型双调和函数的单叶性判定定理及系数估计.

Bloch函数; 双调和映照; 系数估计; 拟正则映照

Abstract： This paper studies the criterion and coefficient estimate of Bloch-type biharmonic mappings. After establishing the linear and composite properties of biharmonic mappings, we give a criterion for biharmonic mappings to be Bloch-type. Combining the representation theorem of the biharmonic mappings with the estimation of Pre-Schwarz derivative of harmonic mappings, we obtain a univalent criterion and some coefficient estimates of biharmonic mappings for Bloch-type biharmonic mappings.

Keywords： Bloch function; biharmonic mapping; coefficient estimate; quasiregular mapping

1 预备知识

设f为单位圆盘D到自身上的保向映照，若它满足f∈ACL2(D)，且不等式|f(z)|2≤KJf(z)在D上几乎处处成立，则称f为D上的K-拟正则映照，其中，|f|=|fz|+||.

如果一个C2函数f满足

则称为Bloch型函数，记这类函数全体为B.如果f为D上的解析函数时，记这类函数全体为BA.如果f为D上的调和函数时，记这类函数全体为BH.如果f为D上的双调和函数时，记这类函数全体为BBH，则BA⊆BH⊆BBH⊆B.文献[7-13]对类Bloch型函数BA，BH开展了研究，其中,文献[10]证明了定理A,B.

本文主要研究具有表达式f=|z|2h的双调和映照类.同时，给出该类双调和Bloch型函数的系数估计.

2 主要结论及证明

2)f∘φα∈BBH.

证明 1) 由假设知，存在两个解析函数h1，h2满足

从而有

同理可得

因此,有

故由f∈BBH可知，F∈BBH.

2) 令F=f∘φα=|φα(z)|2h∘φα，则有

同理可得

从而有

因此，有β(f)=β(F)，这隐含着f∘φα∈BBH,证毕.

证明 令α∈D，定义

则Φ(z)在D上单叶调和，且满足Φ(0)=0，Φz(0)=1.因此，它的展开式的系数a2(α)的模有界，且满足

这隐含着

由于

假设函数ω∶D→D解析，定义

定理2假设f=|z|2h∈BBH，h=h1+h2，且f是K-拟正则的.对0<ε<1，令

证明 由假设f∈BBH，可得

又由于f为K-拟正则映照，有

上式隐含着

由于

所以可得

由定理C知函数F在D上单叶.证毕.

定理3若f=|z|2h∈BBH是K-拟正则的，且|h|

上式中：M为一正常数.

令z=reit，t∈(0,2π)，r∈(0,1)，则有

所以

又由于β(f)的定义可知，对∀z∈D，有

结合式(3)，可得∀z∈D.由

进而有

从而有

将z=reit,t∈(0,2π),r∈(0,1)代入，可得

由式(4)，(5)可得

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(责任编辑： 陈志贤英文审校： 黄心中)

OnBiharmonicBloch-TypeMappings

LI Xizhen, CHEN Xingdi

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

10.11830/ISSN.1000-5013.201609021

2016-09-15

陈行堤(1976-)，男，教授，博士，主要从事函数论的研究.E-mail:chxtt@hqu.edu.cn.

国家自然科学基金资助项目(11471128); 福建省自然科学基金计划资助项目(2014J01013); 华侨大学青年教师科研提升资助计划(ZQN-YX110)； 华侨大学研究生科研创新能力培育计划资助项目(1511313003)

O 174.55

A

1000-5013(2017)05-0737-05